УРОК №56 Тема уроку. Піраміда. Площа поверхні та об'єм піраміди

Скачати 87.78 Kb.

Назва	УРОК №56 Тема уроку. Піраміда. Площа поверхні та об'єм піраміди
Дата	12.07.2013
Розмір	87.78 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Інформатика > Урок

Тема 6. Початкові відомості зі стереометрії

УРОК № 56

Тема уроку. Піраміда. Площа поверхні та об'єм піраміди.

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про піраміди, площу поверхні та об'єм піраміди.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця «Початкові відомості стереометрії» [13]; моделі пірамід.

Вимоги до рівня підготовки учнів: пояснюють, що таке піраміда та її елементи; зображають і знаходять на рисунку піраміду; записують і пояснюють-формули площі поверхні та об'єму піраміди; застосовують вивчений матеріал до розв'язування задач, у тому числі прикладного змісту.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв'язання

1) Нехай ABCDFKA₁B₁C₁D₁F₁K₁ — правильна призма (рис. 249),
АВ = 6 см, АА₁ = 5 см. S_бічн = 6 ∙ AB ∙ AA₁ = 6 ∙ 6 ∙ 5 = 180 (см²).

S_осн = 6 ∙ S_Δ_AOB = 6 ∙

= 6 ∙

= 54

(см²).

V = S_осн ∙ AA₁ = 54

∙ 5 = 270

(см³).

Відповідь. 180 см² і 270

см³.

2) Нехай у прямій призмі АВСА₁В₁С₁ (рис. 250)

B = 90°, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА₁ = 10 см.

S_осн =

АВ ∙ ВС =

∙ 3 ∙ 4 = 6 (см²). V = S ∙ AА₁ = 6 ∙ 10 = 60 (см³).

Із трикутника ABC маємо: АС =

= 5 (см).

S_бічн = (AB + BC + AC) ∙ AA₁ = (3 + 4 + 5) ∙ 10 = 120(см²).

S_пр = S_бічн + 2S_осн = 120 + 2 ∙ 6 = 132 (cм²).

Відповідь. 60 см³, 132 см².

3) Нехай у правильній призмі АВСА₁В₁С₁ (рис. 251) S_осн = 4

см², АА₁ = 10 см.

Оскільки S_осн =

, то 4

, АВ² = 16, звідси АВ = 4 см.

S_бічн = 3 ∙ AB ∙ АА₁= 3 ∙ 4 ∙ 10 = 120 (см²).

Відповідь. 120 см².
Фронтальна бесіда

Дайте означення п-кутної призми.
Які властивості призми вам відомі?
Яка призма називається прямою? правильною?
Як обчислюється площа повної поверхні призми?
Чому дорівнює площа бічної поверхні прямої призми?
Чому дорівнює об'єм призми?

Завдання класу

Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які — неправильними:

На рис. 251 зображено пряму трикутну призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник ABC (B = 90°), АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА₁ = 10 см.

а) Площа основи призми дорівнює 6 см².

б) Об'єм призми дорівнює 120 см³.

в) АС = 7 см.

г) Площа найменшої бічної грані дорівнює 50 см².

На рис. 251 зображено пряму трикутну призму, в основі якої лежить правильний трикутник ABC, АВ = 10 см, АА₁ = 5.

а) Бічні грані мають однакову площу.

б) Площа бічної поверхні дорівнює 50 см².

в

) Площа основи призми дорівнює 5

см².

г) Об'єм призми дорівнює 125

см³.

В основі прямої призми (рис. 252) лежить квадрат. Діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з бічним ребром кут α.

а) Висота призми дорівнює d sin ос.

б) Сторона основи призми дорівнює dsinα.

в) Площа бічної поверхні призми дорівнює 4d²sinαcosα.

г) Об'єм призми дорівнює d³sinαcos²α.
ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи
ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Піраміда та її елементи

п-кутпною пірамідою називається многогранник, одна грань якого — довільний п-кутник, а всі інші п граней — трикутники, що мають спільну вершину.

(Демонструються моделі пірамід.)

Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань — основою, а всі інші грані — бічними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди.

На рис. 253 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точка S — її вершина, ABCD — основа; SA, SB, SC, SD — бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD — ребра основи; SO — висота піраміди.

Трикутну піраміду називають також тетраедром. Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди, треба до площі S_бічн її бічної поверхні додати площу S_осн основи: S_mp = S_бічн + S_осн.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника (рис. 254). (Демонструються моделі правильних пірамід.)

Усі бічні ребра правильної піраміди рівні, усі бічні грані — рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. На рис. 254 SF DC , SF — апофема.
Завдання класу

Скільки граней, ребер, вершин має п-кутна піраміда?
Кожне ребро тетраедра дорівнює 2 см. Знайдіть площу поверхні тетраедра.
Побудуйте трикутну і чотирикутну піраміди.

Площа поверхні та об'єм піраміди

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Доведення

Нехай а — сторона основи правильної п-кутної піраміди (рис. 255). SHBC, SH = m.

Тоді площа бічної грані правильної піраміди дорівнює

am, а площа бічної поверхні S_бічн =

атп. Оскільки

ап = р, де р — півпериметр основи піраміди, то S_бічн = pm.

Об'єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: V =

S_осн ∙ H.

Завдання класу

Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12 см, а апофема 10 см.
Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16 см, а бічне ребро 10 см.
Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а висота 10 см.

Учні складають конспект (зразок наведено у табл. 11).

Таблиця 11

Піраміда
п-кутна піраміда — многогранник, одна грань якого — довільний n-кутник, а всі інші п граней — трикутники, що мають спільну вершину
S — вершина піраміди; ABCD — основа піраміди; ASAB, ASBC, ASCD, ASDA — бічні грані; SA, SB, SC, SD — бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD — ребра основи; SO — висота, SO ABCD
Основа правильної піраміди — правильний многокутник, а основа висоти — центр многокутника, SF — апофема, SF DC . Площа бічної поверхні правильної піраміди S_бічн = тр , де т — апофема, р — півпериметр основи. Об'єм піраміди V = S_осн ∙ H

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв'язування задач

В основі піраміди SABC, зображеної на рис. 256, лежить прямокутний трикутник ABC (C = 90°), AC = 3 см, ВС = 4 см. Обчисліть об'єм піраміди, якщо висота SA дорівнює 5 см. (Відповідь. 10 см³.)
В основі ABCD правильної піраміди SABCD лежить квадрат зі стороною 10 см. Висота SO піраміди дорівнює 12 см. Знайдіть площу поверхні та об'єм піраміди. (Відповідь. 360 см², 400 см³.)
Основа піраміди — прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см. Висота піраміди 10 см. Знайдіть об'єм піраміди. (Відповідь. 50 см³.)
Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює а. (Відповідь. а³.)
Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й мають довжини 3 см, 4 см і 5 см. Знайдіть її об'єм. (Відповідь. 10 см³.)
У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 10 см. Знайдіть:

а) висоту піраміди, якщо діагональ основи дорівнює 16 см;

б) апофему піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12 см.

Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 12 см і утворює з висотою піраміди кут 30°.
Одна з найвеличніших споруд давнини — піраміда Хеопса — має форму правильної чотирикутної піраміди, висота якої дорівнює 150 м, а бічне ребро — 220 м. Знайдіть площу основи піраміди. (Відповідь. 51800м².)
На рис. 257 зображено розгортку чотирикутної піраміди, в основі якої лежить квадрат зі стороною 6 см, бічні грані піраміди — правильні трикутники. Знайдіть висоту піраміди і її об'єм. (Відповідь. 3см і 36см³.)
В основі піраміди лежить прямокутник з діагоналлю d і кутом а між діагоналями. Висота піраміди дорівнює Н, основа висоти піраміди — точка перетину діагоналей прямокутника. Знайдіть об'єм піраміди. (Відповідь. Hd²sinα.)

V. Самостійна робота

Варіант 1

У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6 см, а діагональ основи — 16 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.
Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 2 см.
Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює з висотою піраміди кут 30°. Знайдіть об'єм піраміди.

Варіант 2

У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а апофема — 3 см. Знайдіть бічне ребро піраміди.
Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 2 см, а висота піраміди — 6 см.
Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60°. Знайдіть об'єм піраміди.

Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант 1. 1. 10 см. 2. 3

см². 3.

см³.

Варіант 2. 1. 5 см. 2. 8см³. 3. 12

см³.

VI. Домашнє завдання

Вивчити формули площі поверхні та об'єму правильної піраміди.
Розв'язати задачі.

Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює а.
В основі піраміди лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Висота піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть об'єм піраміди.
Знайдіть об'єм правильної чотирикутної піраміди, діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 45°.

VII. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

Що називається п-кутною пірамідою?
Яка піраміда називається правильною?
Які властивості правильної піраміди вам відомі?
Чому дорівнює площа поверхні піраміди?
Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди?
Чому дорівнює об'єм піраміди?

РоРоганін О.М. Геометрія 9клас: Розробки уроків Урок № 56

Схожі:

Тема уроку. Піраміда. Мета уроку Мета уроку: формування понять піраміда, основа, вершина, бічні ребра, висота піраміди, вмінь учнів знаходити елементи піраміди	Тема уроку. Вписані та описані піраміди і конуси. Мета уроку Мета уроку: формування понять піраміда, вписана в конус; площина, дотична до конуса; піраміда, описана навколо конуса, та вмінь знаходити...
УРОК №55 Тема уроку. Пряма призма. Площа поверхні та об'єм призми Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про многогранники, пряму призму, площу поверхні та об'єм призми	Тема уроку. Площа бічної і повної поверхні конуса. Мета уроку Мета уроку: виведення формули для площі бічної поверхні конуса; формування вмінь знаходити площу поверхні конуса
Тема уроку. Зрізана піраміда. Мета уроку Мета уроку: вивчення властивості площини, яка перетинає піраміду і паралельна основі; формування поняття зрізаної піраміди	Уроку. Тематичне оцінювання №2 Знайдіть площу поверхні трикутної піраміди, у якої кожне ребро дорівнює см. (3 бали)
УРОКИ 3, 4 Тема. Перпендикуляр до площини. Многогранник, Пряма призма. Піраміда Мета: ввести поняття перпендикуляра до площини, многогранника і окремих його видів: прямої призми і піраміди; розвивати логічне...	УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур....
1. (2 бали) Конус описано навколо піраміди, в основі якої лежить... Бали Знайти об'єм кулі, описаної навколо циліндра, площа осьового перерізу якого дорівнює S, а діагональ цього перерізу нахилена...	УРОК №21 Тема уроку. Площа круга та його частин Мета уроку: виведення формули для знаходження площі круга, кругового сектора, кругового сегмента. Формування вмінь учнів застосовувати...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання