УРОК 13 Тема уроку

Скачати 40.06 Kb.

Назва	УРОК 13 Тема уроку
Дата	16.04.2013
Розмір	40.06 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

УРОК 13

Тема уроку: Зростання і спадання функції.

Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції.

І. Аналіз контрольної роботи.

ІІ. Сприймання і усвідомлення ознаки спадання та зростання функції на деякому проміжку.

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) > f(x₁).

Д

отична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).

Виходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(x_o), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова:

.

Ф

ункція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать цьому проміжку, із умови х₂ > х₁ випливає, що f(x₂) < f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної функції (рис. 33) утворює з віссю ОХ або тупий кут, або кут, що дорівнює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, виконується умова f'(x) < О.

Н

а рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному проміжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер поведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її похідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зростаючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(x) диференційована і зростає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не від'ємна.

Якщо функція у = f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.

П

роте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які виражають ознаки зростання і спадання функції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(x) додатні на деякому проміжку, тобто f'(x) > 0. Оскільки f'(x) = tg α, то із умови tg α > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напрямом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35).

Я

кщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ тупий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тобто функція f(x) спадає (рис. 36).

Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називаються ознаками зростання (спадання) функції на проміжку.

Строге доведення цих тверджень виходить за рамки шкільного курсу математики.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають проміжками монотонності цієї функції.

Приклад 1. Доведіть, що функція f(x) = х + зростає на проміжку (1; +

Розв'язання

Знайдемо похідну: .

Якщо х > 1, то тобто f'(x) > 0 при х > 1, і тому функція зростає на проміжку (1; +

).
Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:

1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).

2. Знайти похідну f'(x).

3. Розв'язати нерівності:

а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x);

б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x)·
Приклад. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х³ - 3х².

Розв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х² - 6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці нерівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі похідної: 3х² - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і визначаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)² - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

а) у' > 0 в кожному із проміжків (-

; 0); (2; +

), отже, функція на цих проміжках зростає.

б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (-

;0);(2;+

); спадає на проміжку (0; 2).
III. Формування умінь учнів знаходити проміжки монотонності функції.

Виконання вправ № 1 (2; 8; 13; 15; 14) до розділу VIII.
IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 1. Запитання і завдання для повторення розділу VIII № 2, 4. Вправи до розділу VIII № 1 (3; 11).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 13

Схожі:

Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині	УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку ...	УРОК №28 Тема уроку ...
Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе	Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості	Уроку: Урок Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання