УРОК 37 Тема уроку

Скачати 73.4 Kb.

Назва	УРОК 37 Тема уроку
Дата	15.04.2013
Розмір	73.4 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Математика > Урок

УРОК 37

Тема уроку: Комбінації. Трикутник Паскаля.

Мета уроку: Познайомити учнів з комбінаціями без повторень, виведення формули для числа комбінацій з n елементів по m елементів без повторень. Вивчення властивостей чисел

, познайомити учнів з трикутником Паскаля.

І. Перевірка домашнього завдання.

Фронтальна бесіда за запитаннями .№№ 11—13, 15—16 із «Запитання і завдання для повторення» до розділу XII та перевірка правильності виконання домашніх вправ.

№ 17. Число n фотокарток, які були роздані,— це число розміщень з 35 по 2:

n =

= 35 · 34 = 1190.

№ 22. а)

;

б)

.

II. Сприймання і усвідомлення поняття комбінації без повторень, формули числа комбінацій з n елементів по т.

Нехай дано множину {а, b, с}. З елементів цієї множини можна утворити 6 двохелементних розміщень. ab, ас, bс, bа, са, сb.

Це впорядковані підмножини даної множини. А скільки не-впорядкованих двохелементних підмножин можна скласти з тих самих елементів? Тільки три: {ab}, {ас}, {be}.

Будь-яка підмножина з т елементів даної множини, яка містить n елементів, називається комбінацією з n елементів по т елементів.

Число комбінацій з n елементів по т позначають символом

. Наприклад:

= 3.

З чотирьох елементів множини {a, b, c, d} можна утворити 6 комбінацій по 2 елементи: {а, b}, {а, с}, {а, d}, {b, с}, {с, а}, {b. d}; 3 комбінації по 3 елементи: {а, b, с}, {а, b, d}, {b, с, d}.

Таким чином,

= 6,

= 3.

Домовилися вважати, що

= 1,

= n ,

= 1.

Виведемо формулу для знаходження значень

, для цього порівняємо числа

при одних і тих же значеннях т і п.

Кожну m-елементну комбінацію можна впорядкувати Р_m способами. У результаті з однієї комбінації утворюється

розміщень (упорядкованих підмножин) з тих самих елементів. Отже, число m-елементних комбінацій у Р_m разів менше за число розміщень з тих самих елементів. Тобто

•

, звідси

Число комбінацій з n елементів по т дорівнює дробу, чисельник якого е добуток т послідовних натуральних чисел, найбільше з яких n, а знаменник дробу — добуток т послідовних натуральних чисел.

Враховуючи, що

можна одержати

. Отже,

Приклад. Обчислити a)

; б)

.

a)

; б)

Задача. Скількома способами з 25 учнів можна вибрати 3 чергових.

Розв'язання

Вибір 3 чергових із 25 учнів — це комбінація 3 учнів із 25 учнів. Отже,

п =

= 2300.

Відповідь: 2300 способами.

Виконання вправ______________________________

1. Випишіть комбінації трьох елементів з множини {a, b, c, d, h}.

Відповідь: {а, b, c}, {Ь, c, d}, {c, d, h}, {а, b, d}, {b, c, h], {а, b, h}, {b, d, h},

{а, c, d}, {а, d, h}, {а, c, h}.

2. Обчисліть:

а)

; б)

; в)

; г)

.

Відповіді: а) 28; б) 28; в) 6; г) 101.

3. Із 20 робітників треба виділити 6 для роботи на елеваторі. Скількома способами це можна зробити?

Відповідь:

= 38 760.

4. На полиці є 35 книжок. Скількома способами можна вибрати дві із них?

Відповідь:

= 595.

5. Скількома способами можна закреслити 6 номерів із 49 в картці «Спортлото».

Відповідь:

=13 983 816.

6. Скільки існує відрізків, кінцями яких є n даних точок?

Відповідь:

.

7. Скільки різних площин можна провести через n точок простору, із яких жодні чотири не лежать в одній площині, якщо кожна площина проходить через три із даних точок.

Відповідь:

.

8. У скількох точках перетинаються діагоналі опуклого n-кутника, якщо жодні три з них не перетинаються в одній точці?

Відповідь:

.

9. У турнірі брало участь n шахістів, і кожні два шахісти зустрілись один раз. Скільки матчів було зіграно в турнірі?

Відповідь:

·

10. Скільки чоловік приймало участь у шаховому турнірі, якщо відомо, що кожний учасник зіграв з кожним із останніх по одній партії, а всього було зіграно 210 партій?

Відповідь: 21 чоловік.

11. Розв'язати рівняння:

а)

=21; б) 5

; в)

= 15 (x -1); г)

= 15 (у - 2).

Відповіді: а) 7; б) 14; в) 9; г) 10.

III. Сприймання і усвідомлення деяких властивостей числа комбінацій та поняття трикутника Паскаля.

Нехай дано множину, яка містить n елементів. Виберемо одну комбінацію із та елементів, цій комбінації відповідає одна комбінація невибраних (n — т) елементів. Кількість комбінацій із n елементів по т дорівнює , а кількість комбінацій з n елементів по (п - т) елементів дорівнює . Поскільки кожній комбінації вибраних т елементів відповідає одна комбінація невибраних (п - т) елементів, то = . Отже, для будь-яких п і т (0 т п) справедлива рівність:

.

Цей же результат можна одержати безпосередньо із формули числа комбінацій, якщо записати її за допомогою факторіалів:

.

Ця властивість дає змогу спростити обчислення числа комбінацій.

Приклад. Обчислити

Розв'язання

.

2. Розглянемо множину, яка містить п елементів. Виділимо т-елементні підмножини, і поділимо їх на дві групи: підмножини, до складу яких входить деякий елемент а даної множини, і підмножини, до складу яких а не входить. Число підмножин у першій групі дорівнює

, бо кожну таку підмножину дістають приєднанням до а деякої (т-1)-елементної підмножини. Число підмножин у другій групі дорівнює

. Отже,

. Цю рівність можна довести і по-іншому:

.

3. Справедлива рівність

+…+

= 2ⁿ.

Оскільки

— число m-елементних підмножин деякої множини, що містить n елементів, то

+…+

— число всіх підмножин множини із n елементів. Доведемо, що число всіх підмножин множини, що містить n елементів, дорівнює 2ⁿ.

Пронумеруємо елементи множини і для кожної підмножини даної множини побудуємо послідовність довжини n з нулів та одиниць за таким правилом: на m-му місці пишемо 1, якщо елемент з номером т входить до підмножини, і 0, якщо елемент з номером т не входить до підмножини. Отже, кожній підмножині відповідає своя послідовність нулів та одиниць. Наприклад, порожній множині відповідає послідовність з одних нулів, всій множині — послідовність з одних одиниць. Число всіх підмножин дорівнює числу всіх можливих послідовностей довжини п, складених з нулів та одиниць, і дорівнює 2 · 2 ·... · 2 = 2ⁿ.

Виконання вправ______________________________

1. Обчисліть

а)

; б)

; в)

; г)

.

Відповіді: а) 100; б) 1000; в) 161 700; г) 499 500.

2. Випишіть всі підмножини множини {а, b, с}.

Відповідь:

, {a}, {b}, {с}, {а, b}, {а, с}, {b, с}, {а, b, с}.

3. Скільки підмножин має множина, яка містить:

а) 6 елементів; б) 10 елементів; в) не містить елементів; г) п елементів. Відповіді: а) 2⁶ = 64; б) 2¹⁰ = 1024; в) 2° = 1; г) 2ⁿ.

4. Покажіть, що істинна рівність:

= 2⁶.

5. Доведіть справедливість рівностей:

а)

; б)

.

6. Обчисліть:

а)

; б)

.

Відповіді: а) 64; б) 64.

7. Учень має по одній монеті в 1 коп., 2 коп., 5 коп., 10 коп., 25 коп. Скількома способами він може ці монети розкласти в дві кишені?

Відповідь: 2⁵ =32.

8. У деякому царстві немає двох людей, які б мали однаковий набір зубів. Скільки людей мешкає там, якщо кількість зубів у мешканців утворює всю множину можливих варіантів?

Відповідь:

+…+

= 2³² = 4 294 967 296.

Запишемо всі можливі значення

(п = 0, 1, 2, ..., т = 0, 1, 2, ... п) у вигляді трикутної таблиці.

Враховуючи властивості числа комбінацій

, а саме:

1)

=…=

= 1.

2)

, тоді цю таблицю легко записати у числовому вигляді:

Ця таблиця побудована так: у першому рядку записано 1, у другому — з боків від неї по одиниці. У кожному наступному рядку перші та останні числа — одиниці, а кожне інше дорівнює сумі двох найближчих від нього чисел зверху (властивість 2).

Слід зазначити, що числа ряду розміщені на однаковій відстані від його кінців, рівні між собою. Це випливає з рівності:

. Сума чисел т-го рядка дорівнює 2^m.

Цю трикутну таблицю називають трикутником Паскаля за ім'ям французького математика Б. Паскаля (1623—1662), який займався дослідженням властивостей цієї таблиці й застосуванням їх до розв'язування задач та вправ.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ XII § 2; Запитання і завдання для повторення розділу XII №№ 18—21. Вправи №№ 18, 24, 29.

Роганін Алгебра 11 клас, урок 37

Схожі:

Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині	УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку ...	УРОК №28 Тема уроку ...
Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе	Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості	Уроку: Урок Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання