2.1.8 Розв`яжемо ще одну «олімпіадну» задачу на основі (Т.13)
При яких значеннях параметра а рівняння аx6+1=a2 має єдиний корінь?
Розв’язання: розглянемо функцію f(x)=ax6+1-a2. Вона є парною,
f(-x)=f(x), а тому має єдиний корінь х=0. Підставивши x=0 в дане рівняння маємо a*+1=a2* : а2=1 а=
При а=1, рівняння  згідно (Т.5) має один корінь.
При а=-1, рівняння  має і інші корені крім х=0. Наприклад х=1.
Відповідь: а=1.
2.1.9. Т.2 є основою функціонально – графічного методу розв`язування рівнянь і нерівностей
Визначати кількість коренів рівнянь │x-a│+2│x+1│=3 залежно від значення параметра а.
Розв’язання: │х-а│=3-2│х+1│
Розглянемо функції f (х)=│х -а│і q(x)=3-2│х+1│. З’ясуємо, скільки точок перетину залежно від значення параметра а мають графіки функцій f (х) і q(x).
Графіком f (х) є сім`я графіків, розміщених залежно від а. Значення параметра а можна знайти, підставивши у рівняння у= │х -а│ координати точки С.
Маємо 3=│-1-а│⇒а=-4 або а=2
Отже, А(-4;0), В(2;0).
Відповідь:
1) Якщо а<-4 або а>2, то ø.
2) Якщо а=-4 або а=2, то один корінь.
3) Якщо -4<�а<2, то два корені.
2.1.10. Доведення нерівностей на основі властивостей функцій (Т.10).
Відомо, що х є [0;1], у є [0;1], z є [0;1]
Довести нерівність x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)≤1
Розв’язання: розглянемо різницю лівої і правої частини нерівності.
х(1-y)+y(1-z)+z(1-x)-1=x(1-y-z)-yz+y+z-1
Вважаючи y і z параметрами, розглянемо функцію f(x)=(1-y-z)х-yz+y+z-1, вона є лінійною і при D(f)=[0;1] її графіком є відрізок. Свого найбільшого значення f(x) набуває на одному з кінців відрізка. Маємо:
f(0)=-yz+y+z-1=-(y-1)(z-1)≤0
f(1)=1-y-z-yz+y+z-1=-yz≤0
Отже, f (0) ≤0, f(1)≤0. Тому maх f(х)≤0. Це означає, що для будь-якого х f( х )≤0, а тому х(1-у)+у(1-z)+z(1-x)≤1. [1]
2.1.11. Розв’язати систему нерівностей 
Розв’язання: в системі координат Оху будуємо графіки функції
f(x)= і q(x)=│x│-2.
Відповідь: розв’язками системи нерівностей є координати точок заштрихованої фігури.
2.2. Задачі на екстремум (мінімум та максимум)
У світі не відбувається нічого, в чому не було б видно суті якого-небудь максимуму або мінімуму/.8/
Л.Ейлер
У математиці,галузях виробництва, у житті зустрічається особливий тип математичних задач – так звані задачі на максимум і мінімум: як за різноманітних можливостей використання наявних засобів отримати найкращий ефект.
Будуємо математичну модель екстремальної задачі за планом:
1)вибір найважливішої ознаки оптимальності.
2)опис умови задачі у вигляді рівняння, рисунка, математичних співвідношень;
3)вибір найкращого елементарного способу розв’язати серед кількох можливих, зокрема функціональним методом з використанням властивостей функцій.
2.2.1.
Вписати у заданий круг прямокутник найбільшої площі
(задача Кеплера)
Розв’язання: І спосіб. Дано круг з діаметром d і в нього вписано прямокутник,діагональ якого є діаметром круга. Якщо одна з сторін прямокутника x,то друга - , а площа
Sпр. = x= . Оцінимо величинуS,використавши нерівність Коші: 
ІІ спосіб (функціональний). Обмеженість області значень функції (Т.10) . Так як sinα 1, Sпр=0,5d2 sinα, де α – кут між діагоналями прямокутника. Тоді Smax= . Отже, найбільшу площу матиме квадрат. ∆
Порівняння цих методів на користь останнього.
2.2.2
Розкласти число 8 на 2 доданки так, щоб їх добуток був найбільшим
Розв’язання. Позначимо один з доданків через x, тоді другий 8-x, а їх добуток y=x(8-x), у =-x2+8x. Найбільше значення квадратичної функції при а<0 рівне  при x= (T.14). Отже,  при 
Відповідь: 8=4+4
2.2.3
Є дріт довжини L. Треба зігнути його так, щоб дістати прямокутник, що обмежує найбільшу площу.
Розв’язання: нехай одна сторона прямокутника x,тоді друга - x, а площа
S=x (-x) = -x2 +x.
Функція f(x) набуває максимуму при x= = = що й буде шуканим значенням. Друга сторона . Отже, шуканий прямокутник є квадратом.
Відповідь: ,
Висновок: при заданому периметрі найбільшу площу обмежує квадрат.
2.2.4.
На території птахоферми треба відгородити металевою сіткою, довжиною 200м, ділянку прямокутної форми, що прилягатиме до загальної огорожі ферми прямолінійної форми. Які мають бути розміри ділянки, щоб її площа була найбільшою?
Розв’язання:
Якщо одна з сторін ділянки х м, то друга - 200-2х, а її площа
S=x(200-2x)=-2x2+200x. Найбільшого значення ця функція S(x) набуває приx=50, тоді друга сторона 100м.
Відповідь: 50м, 50м, 100м.
2.2.5.
Знайти два числа, різниця яких дорівнює 5, а добуток - найменший з можливих.
Розв’язання:
Нехай одне з чисел х, тоді друге х+5, їх добуток у =х(х+5)=х2+5х, х0=-  =-2.5
Згідно (Т.14) ця функція найменшого значення набуває при х=-2,5, друге число 2,5
Відповідь: -2,5; 2,5.
2.2.6.
Додатне число а подати у вигляді суми двох чисел так, щоб сума їх кубів була найменшою.
Розв’язання: нехай одне з чисел х, тоді друге а-х, сума їх кубів
у=х3+(а - х)3=3ах2+3а2х+а3
Ця квадратична функція набуває найменшого значення в точці х= друге число -  .
Відповідь: 
2.2.7.
При якому дійсному значенні р сума квадратів коренів рівняння
х2+рх+р-2=0 буде найменшою?
Розв’язання: нехай х1 і х2 – корені цього рівняння. Тоді за теоремо Вієта
х1+х2=-р, х1х2=р-2, а тому f(x)=x12+x12 -2x1x2=(-p)2-
-2(p-2) =p2-2p+4
Дана квадратична функція має мінімум за (Т.14)
при р == =1
Відповідь: р=1.
2.2.8. Число 49 розкласти на два додатних множники так, щоб їх сума була найменшою з усіх можливих.
Розв’язання:
Нехай х – перший множник, тоді  другий множник, їх сума
у = х +
За (Т.17) функція у досягне свого найменшого значення в точці х0= =7. Отже, перший множник 7, тоді і другий множник теж 7.
Відповідь: 7 і 7.
2.2.9.
Деяке додатне число додали до оберненого йому числа, причому суму дістали найменшу з можливих. Знайти це число.
Розв’язання: Нехай х- дане число, тоді - обернене йому число. Їх сума
у= х + . За (Т.17) функція набуває свого найменшого значення при х0= =1
Відповідь: 1.
Висновки
1.Аналіз виконаних вправ на розв’язування рівнянь, нерівностей і задач з використанням властивостей функції дає підставу стверджувати про можливість виділення групи цих способів в окремий функціональний метод розв’язування рівнянь і нерівностей, який має значні переваги над методами тотожних, рівносильних перетворень, розкладанням на множники або підстановки, замінює їх в багатьох випадках або доповнює, спрощуючи розв’язування.
2.Функціональний метод доцільно використовувати до таких типів рівнянь:
2.1. Рівність суми кількох невід`ємних функцій нулю
Тоді f1(x)+f2(x)+…+fn(x)
2.2. Якщо ОДЗ рівняння складається із скінченого числа значень і є можливістю перевірити всі ці значення.
2.3. Якщо f(x) – монотонна (зростаюча або спадна) на множині М функція, тоді f(g(x))=f(h(x))⟺
2.4.Якщо в рівнянні f(x)=a функції f(x)– монотонна на множині М, тоді це рівняння може мати не більше ніж один корінь на М.
2.5. Рівняння f(x)=q(x), якщо одна з функцій спадна, а друга зростаюча на множинні D(f) D(q) (тоді рівняння теж має не більше, як один корінь на цій множині. )
2.6. Рівняння виду f(f(х))=x, якщо f(x) є зростаюча, тоді f(f(x))=x⟺f(x)=х.
2.7. Рівняння виду f(x)=q(x),якщоx D(f)D(q) f(x)Aiq(x)
тоді f(x)=q(x) ⟺
2.8. Рівнянняf(x)=0, якщо функція f(x)- парна, так як нулі парної функції симетричні відносно 0.
3. При розв’язувані задач на екстремум доцільно використовувати властивості квадратного тричлена, зокрема, значення абсциси його вершини х=та ординати 
4. Все вищесказане підтверджує думку про те, що розв’язування рівнянь, нерівностей і задач функціональним методом значно оптимізує розв’язування задач і вправ, зменшуючи об’єм перетворень і обчислень та час роботи.
5. Викладений у табличній формі матеріал даної роботи (див. додаток 1) є зручним посібником при роботі на уроці і вдома, з задоволенням використовується учнями.
Список використаних джерел
Мерзляк А.Г. Алгебра. Підручник для 9го класу з поглибленим вивченням математики Харків Гімназія 2010.
Гориштейн П.І., Полонський Р.Б., Якір М.С. Задачі з параметрами Київ Текет 1992
Тадеєв В.О. Побудова графіків функції Тернопіль 2003
Федак В.І. Розв’язування рівнянь. Доведення нерівностей Тернопіль 1997
Яремчук Ф.П. Алгебра та елементарні функції К. Наукова думка 1987
Завало С.Т. Рівняння і нерівності Київ «Рад. шк.» 1973
Давид О.М. Розв’язування ірраціональних рівнянь Харків Основа2011.
Бегерська А.В. Задачі оптимізації Харків Основа 2011
Брусило З.О. Розвиток у майбутніх викладачів математики умінь розв’язування рівнянь і нерівностей функціональним методом. Донецьк 2011.
Додаток 1
до роботи (Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач)
До Т.3. =0⇔⇔ ⇔ ⇔ х=3,дані функції невід’ємні.
Відповідь: 3
|
Т.3. Сума кількох невід’ємних функцій рівна нулю, тоді і тільки тоді, коли всі функції дорівнюють нулю.
|
До Т.8.Т.9
ОДЗ=D(f)D(g)D(h)= ⇒ x{1;3}
Перевіряємо числа 1, 3 Відповідь: 1
|
Т.8,Т.9.
Застосування скінченної ОДЗ (ОДЗ(f(x)+g(x)+h(x))=
=D(f)D(g)D(h)
|
До Т.6  = х ⇔
 ОДЗ:[0; )
6+х=х2, х2-х-6=0, х1=3 х2=-2
Відповідь: 3
|
Т.6.
Якщо f(x)- зростаюча, то рівняння
f(f(x))=x⇔f(x)=x
|
До Т.5 x2+ =
Дане рівняння виду f(x)=g(x), причому
f(x)- зростаюча, g(x)- спадна.
Дане рівняння має 1 корінь. Його неважко підібрати.
Відповідь: 4
|
Т.5 Використання монотонності функції: якщо в рівнянні виду f(x)=g(x) дані функції одна зростаюча,а друга спадна, то дане рівняння має не більше 1 кореня
|
До Т.13 2ax4+ +x2=a2-1.
При якому а рівняння має єдиний корінь?
f(x)=2ах2+ + х2-а2+1 – парна ( f(-x)= f(x)).
Отже, х0=-х0=0. Х=0 – корінь рівняння.
Тоді а2-1=0,  . Перевіримо, чи рівняння має єдиний корінь.
При а=1, х=0
При а=-1, х=0, х=1 і т.д.
Відповідь: при а=1 рівняння має один корінь.
|
Т.13.
Властивості нулів парної функції (вони симетричні відносно початку координат )
|
До Т.10.
Довести нерівність, якщо х[0;1], у[0;1], z[0;1], то x(1-y)+(1-z)+z(1-x) .
Розв’язання. Розглянемо різницю лівої і правої частини
x(1-y)+(1-z)+z(1-x)-1=x(1-y-z)-yz+ y+z+1
функція f(x)= (1-y-z)x-yz+ y+z-1, де у і z параметри, лінійна і при D(f)=[0;1] її графіком є відрізок, max f(x) вона набуває на одному з кінців D(f). А так як f(0) , f(1) то max f(x), а тому
x(1-y)+(1-z)+z(1-x)
|
Т.10.
Використання обмеженості області визначення.
Якщо Е(х)=[а;b], i
f(x)-зростаюча, то
аf(x) .
|
До Т. 4.
х7+х5+х=4.
Розв’язання f(x)=2х7+х5+х – зростаюча, тому рівняння має 1 корінь.
Неважко помітити що це буде 1
Відповідь: х=1
|
Т.4 Використання монотонності функції.
Рівняння f(x)=а має 1 корінь, якщо
f(x)- монотонна (зростаюча або спадна )
|
До Т.14.
Розкласти число 8 на доданки так, щоб їх добуток був найбільшим.
Розв’язання І – х, ІІ – 8-х, їх добуток
у= х(8-х)=-х2+8х. y0= =4 при х=4
Відповідь: 8=4+4.
|
Т.14
ах2+bx+c – має екстремум y0=при x0=
|
До Т.7.  ;
f(x)= , g(x)= .
g(x)=(x-3)2+2 .
До наборів  ); (1;1) застосуємо нерівність Коші - Буняковського :
= *1+ *1 * =
= =2
Отже,  . Тоді задане рівняння рівносильне системі
Відповідь: х=3
|
Т.7
Якщо для 
 то f(x)=g(x)⇔
|
ВПРАВИ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО РОЗВ`ЯЗУВАННЯ
1.Дано функцію f(x)=x2+2x. Розв`яжіть рівняння f(f(f(x)))=0. Т(6).
2. Дано функцію f(x)=x2+10x+20. Розв`яжіть рівняння f(f(f(x)))=x. Т(6)
3.Розв`язати рівняння
А) x5+x3+x =-3 Т(4)
Б) 2x7+x5+x=4 Т(4)
В) x3+=  Т(5)
Г)  + + =9 Т(4)
Д) x2 + Т(5)
Е)  Т(7)
Є) Т(7) Т(16)
ж)  Т(6)
з) 2x Т(5)
3. При яких значеннях параметра а рівняння ax6 +1=a2 має єдиний корінь? Т(13)
4. Скільки коренів залежно від параметра а має рівняння 2-x2= ? Т(2)
5. Знайдіть найбільше і найменше значення функції
Y= -  + 2 Т(10)
6. При яких значеннях параметра а рівняння має три корені? Т(1), Т(2)
 =0?
7.При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів рівняння
 2 – буде найменшою ? Т(14)
8. Доведіть нерівність  + ≤b + с + a +1, якщо
 , , Т(10),Т(14)
Микласька загальноосвітня школа 1-11 ступенів
Дашкевич Михайло Якимович
Функціональний метод розв’язування рівнянь, нерівностей і задач
Посібник для підготовки до математичних олімпіад учнів 8-11 класів
с. Миклаші
2012 рік
</0>
|