УРОК 31 Тема уроку: Диференціальні рівняння. Мета уроку: Познайомити учнів з диференціальними рівняння­ми, їх розв'язками. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірити правильність

УРОК 31 Тема уроку: Диференціальні рівняння. Мета уроку: Познайомити учнів з диференціальними рівняння­ми, їх розв'язками. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірити правильність виконання домашніх вправ та відпо­вісти на запитання, які виникли в учнів при виконанні домашніх завдань. № 13 (розділ IX). 2) (м). Відповідь: 5м. 4) (м). Відповідь: 3м. № 17 (кг) Відповідь: 0,44 кг. № 6 Оскільки υ = 3 cos t, то S = 3 sin t + С. Знайдемо С, враховуючи, що при t = 0, S = 2м, 2 = 3 sin 0 + С; С = 2. Отже, S = 3 sin t + 2 (м). Відповідь: S = 3 sin t + 2 (м). II. Сприймання і усвідомлення поняття диференціального рівняння та його розв'язків. До сьогоднішнього уроку ми розглядали рівняння, в яких не­відомими були числа. В математиці приходиться розглядати рівняння, в яких невідомими є функції. Так задача про знахо­дження шляху S(t) за заданою швидкістю v(t) зводиться до розв'я­зування рівняння S(t) = v(t), де v(t) — задана функція, a S(t) — шукана функція. Наприклад, якщо v(t) = 3 – 4t, то для знахо­дження S(t) треба розв'язати рівняння S'(t) = 3-4t. Це рівняння містить похідну невідомої функції. Такі рівнян­ня називаються диференціальними рівняннями. Задача 1. Розв'яжіть диференціальне рівняння у'=2х+1. Розв'язання Треба знайти функцію у(х), похідна якої дорівнює 2х + 1, тобто, знайти первісну функції 2х + 1. Отже у = = x2 + x + С, де С — довільна постійна. Відповідь: у = x2 + x + С. Розв'язок диференціального рівняння визначається неодноз­начне, з точністю до постійної. Як правило до диференціального рівняння додається умова, із якої ця постійна визначається. Задача 2. Знайдіть розв'язок диференціального рівняння у' = sin x, що задовольняє умові у(0) = 0. Розв'язання Знайдемо всі розв'язки цього рівняння: у = = – cos x + С. Із умови у(0) = 0 маємо 0 = – cos 0 + С; С = 1. Отже, розв'язком даного рівняння, що задовольняє умові у(0) = 0 є у = 1- cos x. Відповідь: у = 1- cos x. Виконання вправ 1. Розв'яжіть диференціальні рівняння: а) у = 4 - 3х; б) у' = x2 - 5х + 6; в) у' = 5e2x; г) у' = 5cos3х; д) у’ = cos x + sin χ; є) y’ = +· Відповідь: а) у =4.х - х2 + С; б) y = – + 6х + С; в) y = + С; г) y = -sin3x + C; д) у = sin x - cos x + С; є) у = tg x – ctg x + С. 2. Знайдіть розв'язки диференціального рівняння, які задоволь­няють умові: а) y' = cos x, y(0) = 0; б) у’ = еx+ е-x; у(0) = 0; в) у' = 3 sin 3х + 3 cos 3х, y(π) = 1; г) y'= , у(0)=2. Відповідь: а) у = sinx; б) y = еx – е-x; в) y = sin 3x – cos 3х – 1; г) у = +1. III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про практичне застосування диференціальних рівнянь. Розв'язування багатьох фізичних, біологічних, технічних і інших практичних задач зводиться до розв'язування диференці­ального рівняння у' = ky, де k — задане число. Розв'язками цьо­го рівняння є функції у =Cekx, де С — постійна, яка визна­чається умовами конкретної задачі. Приклад 1. Швидкість (t) розмноження бактерій пов'язана з масою m(t) бактерій в момент часу t рівнянням m'(t) = km(t), де k — додатне число, яке залежить від виду бактерій і зовнішніх умов. Розв'язком цього рівняння є функції m(t) = Сеkt. Постій­ну С можна знайти, наприклад, із умови, що в момент t = 0 маса бактерій m0 відома. Тоді т(0) = m0 = Сеk·° = С і тому m(t) =тоЄkt. Приклад 2. Якщо m'(t) — швидкість радіоактивного розпаду в момент часу t, то m'(t) = -km(t), де k — постійна, яка залежить від радіоактивної речовини. Розв'язками цього рівняння є функції m(t) = Се-kt. Якщо в момент часу t маса дорівнювала т0, то С = т0 і тому m(t) = т0е-kt. Слід зазначити, що на практиці швидкість розпаду радіоактивної речовини характеризується періодом піврозпаду, тобто, проміжком часу, за який розпадається поло­вина даної речовини. Нехай Τ — період піврозпаду, тоді при t = T маємо , звідси k =. Отже, m(t) = т0 · Виконання вправ №№ 11, 12 із розділу X. У житті часто зустрічаються процеси, які періодично повто­рюються, наприклад коливальний рух маятника, струни, пру­жини і т. д.; процеси, пов'язані з електричним струмом, магні­тним полем тощо. Розв'язування багатьох таких задач зводить­ся до розв'язування рівняння у" = -ω2y, де ω — задане додатне число, у = у(х), у" = (у’(х))'. Функцію (у'(х))' називають другою похідною функції у(х) і позначають у"(х) або коротко у". Розв'яз­ком рівняння у" = -ω2y є функції у(х) = С1sin(ωх+С2), де С1 С2 — постійні, що визначаються умовами конкретної задачі. Рівняння у" = – ω2y називають диференціальним рівнянням гар­монічних коливань, а у(х) = С1 sin(ωx + С2) — розв'язком гармо­нічних коливань. Виконання вправ 1. Знайдіть другу похідну функції: а) у = х2 + 5х + 6; б) у = cos x; в) y = e2x·, г) у = sin(2x + 3). Відповідь: а) у" = 2; б) y''= - cosx; в) y'' = 4е2x; г) y''= – 4sin(2x+3). 2. Розв'язування вправи № 9 (1) розділу X. IV. Підведення підсумків уроку. V. Домашнє завдання. Вправа № 9 (2) до розділу X, підготуватися до тематичної конт­рольної роботи. Роганін Алгебра 11 клас, урок 31

Схожі: