УРОК 39 Тема уроку: Біном Ньютона. Мета уроку: Познайомити учнів з біномом Ньютона, властивос­тями біноміальних коефіцієнтів. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірку

УРОК 39 Тема уроку: Біном Ньютона. Мета уроку: Познайомити учнів з біномом Ньютона, властивос­тями біноміальних коефіцієнтів. І. Перевірка домашнього завдання. Перевірку виконання вправ провести шляхом фронтальної бе­сіди за готовими записами розв'язання домашніх вправ на дошці. №23. n = · = = 10 · 95 · 47 = 44 650. Питання до класу. 1) Скількома способами можна вийняти три виграшних білети з п'яти виграшних? 2) Скількома способами можна вийняти два невиграшних біле­ти із всіх невиграшних? 3) Яким правилом слід скористатися для знаходження кількості способів вибору 5 білетів (3 виграшних і 3 невиграшних)? № 25. n == · 6 · 924 = 2772. Питання до класу. 1) Скількома способами можна вибрати дві особи, які знають місцевість? 2) Скількома способами можна вбрати 6 екскурсантів групи, які не знайомі з місцевістю? 3) Чому загальна кількість розподілу екскурсантів на дві групи вдвічі менша ·? №30. п=···= 5 · 4 · 2 · = 40 · 36 = 1440. Питання до класу. 1) Скількома способами можна вибрати одного муляра? 2) Скількома способами можна вибрати одного тесляра? 3) Скількома способами можна вибрати одного штукатура? 4) Скількома способами можна вибрати двох робітників? 5) Яким правилом слід скористатися для знаходження числа способів укомплектування бригади з 5 чоловік? II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про біном Ньютона. Вам відомі формули: (а + b)° = 1 (при умові а + b 0); (а + b)1 = а + b; (а + b)2 = α2 + 2ab + b2. Неважко обчислити, що: (а+b)3 =(a+b)2·(α+b)=(α2+2αb+b2)(α+b)=α3+2α2b+ ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = =а3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (а + b)4 = (а + b)3 · (а + b) = (а3 + 3a2b + 3ab2 + b3)(a + b) = а4 + 3а3b + 3а2b2+ ab3 + аb3 + 3a2b2 + 3аb3 + b4 = а4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4. Відразу кидається в вічі та обставина, що коефіцієнти в пра­вих частинах цих формул дорівнюють числам із відповідних рядків трикутника Паскаля. Виявляється, що для кожного натурального ге правильна і загальна формула: (а + b)n = an + аn-1b + an-2b2 + ... + a"-'"bm + ... + bn, яка називається формулою бінома (двочлена) Ньютона, на честь англійського фізика і математика Ісаака Ньютона (1643—1727). Доведення За означенням степеня з натуральним показником маємо: Перемноживши n раз послідовно а+b одержимо суму 2n до­данків виду d1d2 ... dn, де di (i = 1, 2, ... n) дорівнює або а, або b. Розіб'ємо всі доданки на (n + 1) групу В0, В1 ... Вn, віднісши до Вm всі ті доданки, в яких b зустрічається множником т раз, а a - (n - m) раз. Число доданків у Вm дорівнює (таким числом способів серед n множників d1d2 ... dn можна вибрати т множників, які дорівнюють b), а кожен доданок Вm дорівнює an-mbm. Тому (а + b)n = an + аn-1b + an-2b2 + ... + a"-'"bm + ... + bn, де — число комбінацій з n елементів по т елементів, причо­му ці числа мають ще одну назву — біноміальні коефіцієнти. Праву частину останньої формули називають біноміальним роз­кладом або розкладом бінома. Розглянемо основні наслідки із формули Ньютона. 1. В розкладі (а + b)n міститься (n + 1) доданків. 2. В формулі Ньютона показники степеня а спадають від η до 0, а показники степеня при b зростають від 0 до п. Сума показ­ників при α і b в будь-якому доданку розкладу дорівнює n — показнику степеня бінома. 3. Біноміальні коефіцієнти, рівновіддалені від кінців розкладу, рівні між собою (оскільки = ). 4. Загальний член розкладу (позначимо його Тm+1,) має вигляд Tm+1 = an-mbm, де m = 0, 1, 2, …, n. 5. Сума біноміальних коефіцієнтів дорівнює 2n. Дійсно: + + ... + + ... + = (1 +1)n = 2n. Розглянемо розв'язування задач. 1. Піднесіть до шостого степеня x - 2у. Розв'язання Покладемо a = x, b = -2у, тоді отримаємо: (x - 2у)6 = х6 + x5(-2у) + x4(-2у)2 + x3 (-2у)3 + x2(-2y)4 + +x(-2y)5 +(-2у)6 = 1 · x6 + 6х5(-2y) + 15x4 · 4y2 + 20x3(-8y3) + 15х2 · 16y4 + + 6x(-32y5)+ 1 · 64y6 = x6 -12 x5y + 60х4y2 - 160x3y3 + 240x2y4 –192xy5+64y6. 2. Знайдіть 13-й член розкладу бінома (+)15. Розв'язання Згідно формули загального члена розкладу бінома маємо: Т13 = T12+1 = ()3·()12 = · 3 · 26 = · 3 · 26 = 87 360. Отже, T13 = 87 360. 3. Знайдіть номер члена розкладу бінома , який не містить х. Розв'язання Для загального члена розкладу маємо: Член розкладу не залежить від х, це означає, що показник степеня х дорівнює 0, тобто = 0, звідси m = 4. Отже, п'ятий член даного розкладу не залежить від х. III. Розв'язування вправ. Виконання вправ №№ 27—28, 34—35. IV. Підведення підсумків уроку. V. Домашнє завдання. Розділ XII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу XII №№ 23—25. Вправи №№ 19, 20. Роганін Алгебра 11 клас, урок 39

Схожі: