Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, які зводяться до них.
Святченко Л.Я., вчитель математики
ЗОШ №46 м.Донецька
Дидактична мета: сформувати в учнів поняття параметра, лінійного рівняння з параметром. Навчати іх дослідувати та розв’язки. Виробити в учнів навички розв’язання таких рівнянь.
Розвивальна мета: розвивати логічні мислення учнів при дослідженні і розв’язанні лінійних рівнянь з параметрами.
Тип уроку: вивчення нового матеріалу.
Хід уроку:
I. Організаційний момент.
II. Перевірка домашнього завдання.
III. Актуалізація опорних знань учнів.
Три учні коло дошки розв’язують такі рівняння
2 (x-3)=8 5(x-1)=5x+8 8-4x=2(4-2x)
Запитання до учнів; відповіді на які корегуємо в разі необхідності
Як називаються рівняння, які ви тільки що разв’язали?
Дайте означення лінійного рівняння з одним невідомим.
Як називають числа a і b в рівнянні ax=b (числовими коефіцієнтами)
Скільки коренів можуть мати такі рівняння? (Один, не має коренів безліч)
II Сприйняння і усвідомлення поняття лінійного рівняння з параметрами, дослідження, його умови та розв’язків.
Повідомимо учням, що букви a і b в лінійному рівнянні ax=b називають також параметрами. А саме таке рівняння є лінійним рівнянням з параметрами. Параметри a і b розглядають як величини, числа, значення, яких фіксовані, але невідомі тому, хто розв’язує задачу фіксованість цих чисел дозволяє оперувати з ними, як з відомими числами, а невідомість вносить в розв’язання задачі деякі ускладнення, пов’язані з тим, що не будь-яку дію можна виконувати з будь-яким числом,наприклад, не можна ділити на нуль.
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей приводить до задач, що містять параметри. При цьому виникає необхідність у дослідженні процесу залежно від значень параметрів. Тому ми будемо розв’язувати не тільки рівняння, але й нерівності, які містять містять рівняння і нерівності з параметрами.
Розв’язавши рівняння при різних значеннях a і b, бачимо, що вони мають один корінь (I рівняння) не мають розв’язків (друге рівняння), або безліч розв’язків (III рівняння).
Таким чином ми встановили, що
Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі значення параметрів, при кожному з яких рівняння має один розв’язок , або не має розв’язань, або має безліч роз в’язків.
a x = b
якщо a = 0, то
0 x = b
якщо a ≠ 0, то
 - єдиний розв’язок
якщо b = 0, то
0 x = 0
x – будь-яке число
якщо b ≠ 0, то коренів немає
Отже, розв’язання рівнянь з параметрами має відмінності: воно супроводжується дослідженням. Важливо те, що невідомість для того,хто розв’язує задачу, фіксованих значень параметрів приводить до необхідності «разветвления» розв’язування , а також і до відповідного «разветвления» відповіді. Тому можна скласти схему:
Наводимо приклади лінійних рівнянь, що містять параметри. Підкреслимо, що параметри можуть позначатися бідь-якими буквами.
Колективне розв’язування рівняння
(a -1)x= a+a
Запитання до класу:
Назвіть параметр цього рівняння
Чи є рівняння лінійним і чому?
Що означає розв’язати рівняння з параметром?
Які ваші пропозиції щодо розв’язання цього рівняння?
(Можна звернути увагу ще раз на схему).
x(a-1)= a+a
 ; a≠1; a≠-1, тому одержимо 
Як встановити, що буде, коли a-1=0, а=1, а=-1?
Якщо а≠±1
Якщо а=-1
Якщо а=1
0x=0 – вірно при будь-якому х
0х=2 - невірно
єдиний розв’язок
безліч розв’язків
немає розв’язків
Чи розв’язано дане рівняння?
Як записати відповідь?
Звернути увагу на те, що спочатку у відповіді, як правило записують знайдені значення параметрів, а потім відповідний результат.
Відповідь: 1) якщо a≠±1, то
2) якщо а=1, то рівняння не має розв’язань.
3) якщо а=-1, то рівняння має безліч розв’язків, або х- будь-яке дійсне число.
Щоб краще засвоїти процес розв’язання лінійних рівнянь. Які містять параметри, одному, або кільком учням можна запропонувати відтворити всю схему дослідження і розв’язування.
III. Формування умінь і навичок розв’язання лінійних рівнянь з параметрами.
Запропонувати учням декілька таких рівнянь, поступово укладаючи їх, що надасть можливість не тільки засвоїти процес розв’язання, а й буде сприяти розвитку розумової діяльності учнів, варіативності мислення.
Розв’язати рівняння: a²x-1=x+a
Якщо а≠±1
Якщо а=-1
Якщо а=1
0x=0 – вірно при будь-якому х
0х=2 - невірно
єдиний розв’язок
безліч розв’язків
немає розв’язків
Відповідь 1) якщо a≠±1, то єдиний розв’язок
2) якщо а=1, то не має розв’язків
3) якщо а=-1, то безліч розв’язків.
Розв’язати рівняння
Чим відрізняється це рівняння від попередніх? (Воно записане у вигляді пропорції).
Знайдемо область допустимих значень параметра.
ОДЗ параметра: а=-2; а≠0.
Отже область допустимих значень параметра – це множина всіх дійсних значень параметрів, при яких рівняння має зміст.
Яку властивість пропорцій можна застосувати, щоб спростити рівняння.
a(ax-a)=(x+a)(a+2)
a²x-a²=ax+a²+2x+2a
a²x-ax-2x=2a²+2a
(a²-a-2)x=2a(a+1)
(a+1)(a-2)x=2a(a+1)
Якщо а≠-1, a≠2, то 
Якщо а=2
Якщо а=-1
0x=12 – невірно
0х=0 - вірно
єдиний розв’язок
Немає розв’язків
безліч розв’язків
При запису відповіді треба нагадати учням, що числа а=-1 і а=2 не увійшли до ОДЗ параметра, тому, це треба врахувати у відповіді.
Відповідь: Якщо а≠±2, а≠0, а≠-1, то рівняння має єдиний розв’язок 
Якщо , а=0; а=±2, то рівняння не має розв’язків
Якщо а =-1, то рівняння має безліч розв’язків.
Підсумки уроку: На уроці ми засвоїли поняття лінійного рівняння з параметрами, виробили деякі навички і уміння розв’язати такі рівняння, а також рівняння, що зводилися до лінійних і містили параметри у знаменниках. Навчилися досліджувати його розв’язки і правильно записувати відповіді.
Домашнє завдання:
Вивчити означення, розібрати схему дослідження лінійного рівняння.
Розв’язати рівняння. 1) (а²-1)х=х-а
2) а²х=а(х+1)
3) а(х+4)=12+3х
|