Алгебра і початки аналізу, 11 клас
«Практичне обчислення границі функції»
Автор:
Кириченко Тетяна Григорівна
вчитель математики та інформатики
Комсомольської гімназії імені В.О.Нижниченка
Комсомольської міської ради
Полтавської області
Тема. Практичне обчислення границі функції.
Мета: закріпити навички та вміння учнів знаходити границю функції; створюючи проблемну ситуацію, спонукати учнів, як суб’єктів навчання, самостійно скласти та заповнити таблицю загальних правил та методів обчислення границь; розвивати креативне мислення та виховувати культуру математичних записів.
Тип уроку: урок-практикум.
Хід уроку
Позитивна емоція, як тінь, супроводжує інтерес, вона – точний сигнал того, що діяльність нам приємна, приносить задоволення.
О.Дусавицький
І. Організаційний момент – повідомлення теми, мети уроку
М отивація навчальної діяльності – зацікавити учнів, зорганізувати їх роботу таким чином, щоб проблемна ситуація створення таблиці знаходження границь функції була вирішена, а отриманий результат мав практичну цінність у подальшому використанні на уроках не тільки математики, а й фізики.
ІІ. Актуалізація опорних знань
Фронтальне опитування учнів (перелік запитань та орієнтовні відповіді на них):
Дайте означення границі функції.
(Число В називається границею функції  у точці а (або при х, що прямує до а), якщо для будь-якого числа  знайдеться таке число  , що при всіх  з δ-околу точки а (тобто при і  ) виконується нерівність  .)
Дайте означення нескінченно малої функції при  .
(Функція , яка визначена в деякому околі точки а, називається нескінченно малою функцією при х, що прямує до а, якщо  .)
Дайте означення правосторонньої і лівосторонньої границі функції у точці а.
(Якщо при знаходженні границі розглядати значення х тільки ліворуч від точки а, то така границя називається лівою або лівосторонньою границею і позначається  ; а якщо розглядати значення х тільки праворуч від точки а, то така границя називається правою, правосторонньою границею і позначається  .)
Сформулюйте означення неперервної функції.
(Функція називається неперервною в точці а, якщо при  тобто  )
Сформулюйте властивості суми, добутку і частки неперервних в точці а функцій.
(Границя суми двох функцій дорівнює сумі їх границь, якщо границі доданків існують.
Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їх границь, якщо границі множників існують.
Сталий множник можна виносити за знак границі.
Границя частки двох функцій дорівнює частці їх границь, якщо границі чисельника і знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю.)
Дайте означення границі функції на нескінченності та нескінченної границі функції.
(Нехай функція визначена на всій числовій прямій (або при всіх досить великих за модулем значеннях х). Число В називається границею при  , якщо для довільного числа знайдеться таке число М>0, що для всіх х, які задовольняють умові  , виконується нерівність .
 , якщо для довільного числа М>0 існує число , що для всіх х, які задовольняють умові і , виконується нерівність  .)
(Перша чудова границя -  .
Друга чудова границя -  .)
І ІІ. Перевірка знань учнів – диктант на перевірку знань означень, формул, термінів:
Неперервність функції.
Границя сталої функції.
Границя суми функцій.
Границя добутку функцій.
Границя частки функцій.
Нескінченна границя функції.
Границя функції на нескінченності.
Перша чудова границя.
Границя різниці функцій.
Друга чудова границя.
Учні записують відповіді на поставлені запитання, обмінюються листочками з сусідом за партою, здійснюють первинну перевірку (без джерел інформації) та виставляють свої оцінки. Учитель збирає листочки і після уроку здійснює вторинну перевірку робіт та виставляє остаточні оцінки учням.
І V. Розв’язування вправ та заповнення таблиці обчислення похідних.
Завдання підібрані таким чином, щоб уже з відомих методів та правил знаходження границь учні самостійно вибрали найоптимальніший, сформулювали його і записали до таблиці (ситуація з надлишком інформації)
Завдання 1. Обчислити  .
Розв’язання.
Відповідь: 5.
Яким правилом користувались при обчисленні даної границі? Користувались означенням неперервності функції та безпосередньо виконували розрахунки.
Завдання 2. Обчислити  .
Розв’язання.
 .
Відповідь: - 9.
Я кщо обчислюється границя при , то в чисельнику і знаменнику виконуємо ділення на найвищий степінь змінної (щоб позбутись отриманої в результаті підстановки невизначеності типу  ).
Завдання 3. Обчислити  .
Розв’язання.
 Відповідь: 6.
Якщо при підстановці х = а отримуємо невизначеність типу  , то чисельник та знаменник розкладаємо на множники та скорочуємо.
Завдання 4. Обчислити  .
Розв’язання.
Відповідь: 32.
Якщо функція містить вирази з квадратними чи кубічними коренями, то множимо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до заданого, щоб позбавитися заданих коренів.
Завдання 5. Обчислити  .
Розв’язання.
Відповідь:  .
Якщо під знаком границі містяться тригонометричні або обернені тригонометричні функції, то такі границі зводять до першої чудової границі або до її варіацій.
Таблиця обчислення границь функції.
1.
|
|
Користуючись означенням неперервності функції та безпосередньо виконавши розрахунки для х = а.
|
2.
|
|
Якщо обчислюється границя при , то в чисельнику і знаменнику виконуємо ділення на найвищий степінь змінної.
|
3.
|
|
Чисельник та знаменник розкладаємо на множники та скорочуємо.
|
4.
|
|
Якщо функція містить вирази з квадратними чи кубічними коренями, то помножаємо чисельник і знаменник на вираз, спряжений до заданого, щоб позбавитися заданих коренів
|
5.
|
|
Якщо під знаком границі містяться тригонометричні або обернені тригонометричні функції, то такі границі зводять до першої чудової границі або до її варіацій.
|
V. Практичне застосування знань (спираючись на таблицю, обчислити границі функцій)
А) 
Б) 
В)
Г)
Д)  
Е) 
V І. Підведення підсумків уроку.
На уроці систематизували та узагальнили набуті знання, навички та вміння з теми «Границя функції». Учні з допомогою вчителя склали та заповнили таблицю загальних правил та методів обчислення границь. Закріпили отримані знання на практиці по знаходженню границь функції.
VІІ. Домашнє завдання – повторити § 6, розв’язати № 15 [2].
Підручники:
Нелін Є.П., Долгова О.Є Алгебра і початки аналізу, 11 клас. – Х.: Світ дитинства, 2007. – 416 с.
-
Мерзляк А.Г. та ін. Алгебра і початки аналізу, 11 клас (академічний, профільний рівень) – Х.: Гімназія, 2011. 
|