Чисельні методи обчислення визначених інтегралів


Скачати 244.77 Kb.
НазваЧисельні методи обчислення визначених інтегралів
Сторінка1/3
Дата08.02.2014
Розмір244.77 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Математика > Документи
  1   2   3
Чисельні методи обчислення визначених інтегралів
Якщо функція є неперервною на відрізку і відома її первісна , то для обчислення визначеного інтеграла можна використати формулу Ньютона-Лейбніца

.

Однак цією формулою важко і навіть практично неможливо с користатись тоді, коли первісну не можна виразити через елементарні функції, як, наприклад, у інтегралів , і ін. Крім цього, на практиці підінтегральна функція задається таблично і тоді саме поняття первісної втрачає сенс. Тому важливого значення набувають наближені й насамперед чисельні методи обчислення визначених інтегралів.

Розглянемо низку методів, суть яких полягає в обчисленні значень інтеграла на основі значень підінтегральної функції в скінченній кількості точок, що належать відрізку . Тобто розглянемо методи, в яких

, (1)

де , – сталі. Наведена формула називається квадратурною формулою, точки вузлами квадратурної формули, а – коефіцієнтами квадратурної формули.

Як правило, рівність (1) наближена. Різницю між визначеним інтегралом і квадратурною сумою

, (1)

називають залишковим членом, або похибкою квадратурної формули (1). При цьому питання оцінки має сенс лише у тому разі, якщо функція задана аналітично.

Для побудови квадратурних формул найчастіше використовується інтерполяційний многочлен Лагранжа.
Квадратурні формули Ньютона-Котеса
Побудуємо квадратурну формулу

, (2)

для чого використаємо інтерполяційний многочлен Лагранжа.

Запишемо підінтегральну функцію у вигляді

, (3)

де – інтерполяційний многочлен Лагранжа, побудований за вузлами інтерполювання

, (4)

а – залишковий член (похибка) інтерполяції. Тоді, виконавши інтегрування (3), одержимо рівність

, (5)

де

, .

Введемо заміну , і перетворимо многочлен Лагранжа у відповідністю з нею

. (6)

У зв’язку із введеною заміною потрібно змінити межі інтегрування. Значенню буде відповідати а значенню  ― . Потрібно також врахувати, що Тоді з врахуванням вказаних заміни, для обчислення коефіцієнтів одержимо формулу

, (7)

або

, (8)

де

. (9)

Коефіцієнти називаються коефіцієнтами Котеса. Квадратурна формула Ньютона-Котеса при цьому має вигляд

. (10)

На лістингу 1 наведено функцію , реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів деяких квадратурних формул Ньютона_Котеса



На лістингу 2 наведено формули, реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів квадратурних формул Ньютона_Котеса для .


Розглянемо більш детально деякі формули чисельного інтегрування.


Квадратурні формули прямокутників
Інтегрування за методом прямокутників полягає в тому, що інтервал інтегрування ділиться точками на рівних частин з кроком . Наближене значення інтеграла на відрізку можна знайти, якщо функцію замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх покласти , де . Тоді дістанемо наближену рівність

. (11)



Якщо і неперервна на , то наближену рівність (11) можна тлумачити як наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1) , обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції а з боків прямими і , за яку береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (11) дістала назву формули прямокутників.

Якщо або , або , то формулу (11) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.

Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція на має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).

Проінтегрувавши обидві частини формули Лагранжа

,

по x в межах від до , знайдемо

.

Звідси залишковий член лівих прямокутників

.

Оскільки на відрізку множник зберігає знак, а функція неперервна, то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо

. (12)

Аналогічно, виконавши інтегрування по x у межах від до обидві частини формули Лагранжа



і застосувавши до інтеграла теорему про середнє значення, для залишкового члена формули правих прямокутників знайдемо

. (13)

Якщо , то функцію в околі точки за формулою Тейлора можна представити у вигляді

.

Проінтегрувавши останню формулу, одержимо

.

Оскільки , то

,

а тому формула залишкового члена середніх прямокутників має вигляд



Оскільки неперервна на відрізку , а множник зберігає знак на , то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо

,

звідки

. (14)

Таким чином, у випадку заміни функції на відрізку інтерполяційним поліномом нульового степеня , для обчислення інтеграла ми дістали три наближені формули та їх похибки, відповідно, формули лівих, правих і середніх прямокутників:

, ; (15)

, ; (16)

, . (17)

Зауважимо, що усі три формули є частинним випадком квадратурної формули Ньютона-Котеса при , оскільки для всіх цих формул коефіцієнт (перший рядок матриці коефіцієнтів Котеса).
Узагальнені формули прямокутників
Узагальнені формули прямокутників одержуються з формул (15)-(17) шляхом знаходження суми по від 1 до , а саме:

– формула лівих прямокутників, (18)

– формула правих прямокутників, (19)

– формула середніх прямокутників. (20)

Для залишкового члена узагальненої формули лівих прямокутників відповідно до формули (15) одержимо

.

Оскільки неперервна на , то існує точка така, що середнє арифметичне . Тому залишковий член узагальненої формули лівих прямокутників остаточно набирає вигляду

. (21)

Аналогічно залишковий член узагальненої формули правих прямокутників

, (22)

і залишковий член узагальненої формули середніх прямокутників

. (23)

Зауважимо, що обчислити значення залишкових членів (21)-(23) не має можливості, бо точки невідомі. Але для них справедливі такі оцінки:

, (24)

, (25)

де , .

Примітка. Залишкові члени формул лівих і правих прямокутників мають протилежні знаки. Отже, ці формули наближають інтеграл з недостачею і надлишком. Тому за наближене значення інтеграла І можна взяти півсуму цих двосторонніх наближень, поклавши . Тоді для абсолютної похибки наближення дістанемо .

Приклад 1. Обчислити інтеграл за формулами прямокутників при різних значеннях і оцінити похибку.

Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємось пакетом Mathcad. Результати розв’язання наведено на лістингу 3.


Квадратурна формула трапецій



Рис.2
Для інтегрування методом трапецій відрізок інтегрування також розбивають на рівних частин . Якщо провести ординати у всіх точках поділу і замінити кожну із одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.2), то наближене значення інтеграла буде дорівнювати сумі площ прямолінійних трапецій.

Площу прямолінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса при (підінтегральну функцію замінюємо многочленом Лагранжа першого степеня). У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так: , (другий рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа прямолінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

,

а отже, наближене значення інтеграла буде обчислюватись за формулою

.

Таким чином квадратурна формула трапецій для чисельного інтегрування має вигляд

. (26)

Для залишкового члена формули трапецій неважко дістати формулу

. (27)

Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій

. (28)
Квадратурна формула Сімпсона



Рис.3
Для інтегрування методом Сімпсона відрізок інтегрування розбивають на рівних частин з кроком . На парі сусідніх участків (рис. 3) крива замінюється многочленом Лагранжа другого степеня (параболою) , який проходить через точки , , .

Площу криволінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса для трьох вузлів інтерполювання. У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так: , , (третій рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа криволінійної трапеції буде обчислюватись за формулою

.

Знаходячи суму площ усіх криволінійних трапецій, одержимо

.

Якщо дещо перегрупувати сумування доданків, то дістанемо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) у вигляді

. (29)

Для відшукання залишкового члена формули Сімпсона побудуємо інтерполяційний многочлен Ерміта, який у точках має ті самі значення, що й , а в точці ще має місце рівність похідних многочлена і функції. Тоді многочлен можна записати у вигляді

,

де К – деяка стала. Тоді

,

де – залишковий член формули Ерміта. Якщо , то

, (30)

де

.

Проінтегрувавши (30), дістанемо



Оскільки

,

то для залишкового члена Сімпсона дістанемо формулу
.

Так як функція на проміжку не змінює знака, а є неперервною на , то використовуючи теорему про середнє значення інтеграла, одержуємо

.

Обчисливши інтеграл, остаточно матимемо

. (31)

Для обчислення похибки залишкового члена узагальненої формули Сімпсона, як і в попередніх випадках, скористаємось теоремою про середнє значення. Тоді

. (32)

Оскільки значення в формулі (32) невідоме, то обчислити похибку не є можливим, але можна дати оцінку залишкового члена

, . (33)
  1   2   3

Схожі:

Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми...
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ
Розглянемо спочатку питання умовної та абсолютної стійкості на простому прикладі. Задача Коші
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь”
Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...
Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові...
Обчислення за хімічними формулами
Задачі на обчислення відносної молекулярної маси і визначення масової частки елементів у речовині
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –...
Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету...
Тема 10. Податок на прибуток підприємств
Навчальна мета: Охарактеризувати суть мита, митного тарифу та методи обчислення мита і митної вартості товарів
Наталія Сергіївна Мельник
При цьому розвиваються методи і техніки управління для досягнення визначених у проекті цілей за складом, обсягом робіт, вартістю,...
Законі України «Про податкову службу»
Облік, який надає інформацію про кількісну характеристику якісно визначених масових явищ і процесів у визначених умовах часу і простору,...
ТЕМА: Текстовий процесор MS Word. Створення таблиць. Обчислення в...
МЕТА: навчитись створювати в текстовому документі таблиці, виконувати необхідні обчислення, будувати діаграми на основі табличних...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка