УРОК 5 Тема уроку

Скачати 71.65 Kb.

Назва	УРОК 5 Тема уроку
Дата	04.10.2013
Розмір	71.65 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Інформатика > Урок

УРОК 5

Тема уроку: Задачі, які приводять до поняття похідної.

Мета уроку: Познайомити учнів із задачами, які приводять до поняття похідної: задача про миттєву швидкість; задача про дотичну до кривої.
І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити виконання вправ № 16 (4), 15 за записами на дошці, зробленими до початку уроку, та відповісти на запитання, що виникли в учнів при розв'язуванні вправ.

2. Самостійна робота.

І варіант

1) Розв'яжіть рівняння |2х — 3| = 9 – х. (3 бали)

2) Розв'яжіть нерівність |2х – 3| < 2 – х. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а)

; б)

. (6 балів)

II варіант

1) Розв'яжіть рівняння |1 – 3х| = 4 – х. (3 бали)

2) Розв'яжіть нерівність |3х + 2| > 2х + 3. (3 бали)

3) Знайдіть границі функції:

а)

; б)

. (6 балів)

Відповідь: І варіант. 1) -6; 4; 2)

; 3) а) 2; 6) -6.

ІІ варіант. 1) -1,5; 1,25; 2) (-

;-1)U(l;+

); 3) a)

; б) 4.

II. Мотивація навчання.

Поняття похідної — фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної. Отже, наша найближча мета — познайомитися з поняттям похідної, навчитися знаходити похідні елементарних функцій та застосовувати поняття похідної до дослідження функцій, вивчення деяких фізичних явищ, до вивчення геометричних понять.
III. Сприймання і усвідомлення поняття миттєвої швидкості прямолі-нійного руху матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка Μ рухається прямолінійно по закону s = f(t) (рис. 20).

В момент часу t₀ вона зайняла положення М₀ і пройшла шлях S₀ = f(t₀). Знайдемо швидкість точки в момент часу t₀.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, починаючи з моменту t₀, точка перемістилася на відстань Δs і зайняла положення М₁. Тоді

t₁ = t₀ + Δt, s₁ = f(t₁) = s₀ + Δs.

За проміжок часу Δί матеріальна точка проходить шлях

Δx = f(t₁) - f(t₀) = f(t₀ + Δt) - f(t₀). Середня швидкість υ руху на проміжку Μ₀М₁ дорівнює:

.

Ця величина дає лише приблизне уявлення про швидкість руху матеріальної точки на розглянутому проміжку. Вона буде більш точніша, якщо проміжок Δt буде зменшуватися.

Таким чином, можна вважати, якщо Δt наближається до нуля, то середня швидкість

буде наближатися до швидкості в момент часу t₀.

!Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в момент часу t₀ називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.

Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, приростом шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t² + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t₀; б) в момент часу t = 2 с.

Розв'язання

а) 1) нехай значення аргументу t₀ одержало приріст Δt, тоді t₁ = t₀ + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t₀ + Δt) - s(t₀) = 5(t₀ + Δt)² + (t₀ + Δt) + 3 – (5 t₀² + t₀ + 3) = 5 t₀² +10 t₀ Δt + 5Δt² + t₀ + Δt + 3 – 5t₀² – t₀ – 3 = 10t₀Δt + 5Δt² + Δt.

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t₀ дорівнює 10t₀ + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = - 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21

;

Відповідь: а) 10t + 1; б) 21

.

Виконання вправ

1. Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 3t² – 4t + 2.

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t ;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: а) 6t₀ - 4; б) 2

.

2. Точка рухається по закону s(t) =

(вільне падіння).

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t₀;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) gt₀; б) g

.

3. Точка рухається по закону s(t) =

(м) (рівноприскорений рух з початковою швидкістю v₀ та прискоренням а).

Знайдіть швидкість точки: а) в довільний момент часу t₀;

б) в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) v₀ + at₀; б) ( v₀ + a)

.

4. Величина кута φ повороту точки навколо осі в залежності від часу задано формулою φ(t) = 3t² – 2t + 7 (рад). Виведіть формулу для обчислення миттєвої кутової швидкості x та обчисліть її значення при t = 1 с.

Відповідь: x = 6t – 2; 4

.

5. При нагріванні тіла його температура змінюється в залежності від часу нагрівання t по закону T(t) = 0,5t² + 4t. Виведіть формулу для обчислення миттєвої швидкості Χ зміни температури тіла.

Відповідь: х = t + 4.
IV. Сприймання і усвідомлення поняття дотичної до кривої.

курсі геометрії ви познайомились з означенням дотичної до кола: дотичною до кола називається пряма, яка лежить в площині кола і має з колом лише одну спільну точку. Таке означення дотичної не може бути перенесено на всі криві (парабола, синусоїда, гіпербола тощо).

Наприклад, вісь ΟΥ має тільки одну спільну точку з графіком функції у = х³, проте її не можна вважати дотичною до кубічної параболи в точці 0 (рис. 21).

Пряма у = 1 і синусоїда у = sinx мають безліч спільних точок (рис. 22), проте пряму у = - 1 вважають дотичною до синусоїди.

ля введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію у = f(x) і її графік — криву лінію (рис. 23). Нехай точки А і Μ належать графіку функції у = f(x), проведемо січну AM.

Зафіксуємо точку А. Нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

Дотичною АТ до графіка функції у = f(x) в точці А називається граничне положення січної AM, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

С

лід мати на увазі, що не в усякій точці кривої можна провести до неї дотичну. На рис. 24 зображено криву у = f(x), яка в точці А не має дотичної, бо якщо точка М буде наближатися до точки А по лівій частині кривої, то січна МА займе граничне положення AQ.

Якщо точка N буде наближатися по правій частині кривої, то січна ΝΑ займе граничне положення AT. Одержуємо дві різні прямі AQ і АТ, це означає, що в точці А до даної кривої дотичної не існує.

Поставимо задачу: провести дотичну до графіка функції у = f(x) в точці А(х₀; у₀).

Дотична — це пряма, а положення прямої у= kx + b, яка проходить через точку А(х₀; у₀) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg α, де α — кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ (рис. 25).

тже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці А(х₀; у₀) (рис. 26) кривої у = f(x) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу х₀ приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х₀ + Δх.

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δу = f(х₀ + Δх) - f(х₀)

3) Знайдемо відношення

. Із трикутника АМК маємо:

= tg

МАК. Так як

ΜΑΚ = φ — куту нахилу січної AM з додатним напрямом осі ОХ, то

= tg φ.

4) Якщо Δх→0, то Δу→0 і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А, а величина кута φ буде змінюватися зі зміною Δх. Граничним положенням січної AM при Δх→0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позначимо через α.

Отже,

— кутовий коефіцієнт дотичної. Виконання вправ

Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х² – 4х в точці з абсцисою х = 2,5.

Відповідь: k = 1.

Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х² + х в довільній точці з абсцисою х = х₀.

Відповідь: 2х + 1.

Знайдіть кут між дотичною до параболи у = х² – 2х + 3 і додатним напрямом осі абсцис у точці:

а) х₀ = 1,5; б) х₀ = 0,5; в) х₀ = 1; г) х₀ = 2.

Відповіді: а) 45°; б) 135°; в) 0°; г) arctg 2.
V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ VII § 1. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 1-5, 7-10. Вправи № 2, 9.

Роганін Алгебра 11 клас, урок 5

Схожі:

Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині	УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку ...	УРОК №28 Тема уроку ...
Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе	Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості	Уроку: Урок Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання