УРОК 29 Тема уроку

15) Рис. 116.

= – + 12 – + 48 = 60 - = 60 - 24 = 36.

Відповідь: 36.

16) Рис. 117. Знайдемо абсциси точок перетину ліній у = -x³, у = 8:

-x³ =8; x³ =- -8; x = -2.

Знайдемо абсциси точок перетину ліній y = y = 8:

= 8; =3; x = 9.

= 0 – (-16 + 4) + – 0 = 12 + (72 – 48) = 12 + 24 = 36.

Відповідь: 36.

III. Сприймання і усвідомлення формули знаходження об'єму тіл.

Поняття інтеграла може бути використано для виведення формули об'ємів тіл.

Розглянемо практичний приклад. Припустимо, що нам потрібно обчислити об'єм лимона, який має неправильну форму, і тому використати яку-небудь відому формулу об'єму неможливо. По­ступимо таким чином. Розріжемо лимон на тоненькі дольки. Кож­ну дольку приблизно можна вважати циліндром, радіус якого можна виміряти. Об'єм такого циліндра легко обчислити за гото­вою формулою. Склавши об'єми маленьких циліндрів, ми одер­жимо приблизно об'єм всього лимона. Наближення буде тим точ­ніше, чим на більш тонкі частини ми зможемо розрізати лимон.

Використаємо аналогічну процедуру для обчислення об'є­му тіла.

На рисунку 118 зображено довільне тіло, об'єм якого по­трібно обчислити. Припустимо, що дане тіло розташоване між паралельними площинами. Вве­демо систему координат так, щоб вісь абсцис була перпенди­кулярна цим площинам. Позначимо через S(x) площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі абсцис і яка перетинає її в точці х; функція S(x) неперервна на відрізку [а; b].

Розділимо відрізок [а; b] на n рівних відрізків: x₀ = а, х₁, x₂, ..., х_n-1, х_n = b і через точки перетину проведемо площини, пер­пендикулярні осі ОХ. Ці площини розріжуть дане тіло на n шарів.

Об'єм даного тіла приблизно дорівнює сумі об'ємів шарів з основами S(x₀), S(x₁), S(x₂), …, S(x_n-1) і висотою Δx = :

V = V_n = S(x₀)·Δx + S(x₁)·Δx +...+ S(x_n-1) ·Δx = (S(x₀) + S(x₁)+...+S(x_n-1)·Δx.

Точність цього наближення тим вища, чим більше n, тобто, тонші прошарки. Природно вважати, що об'єм даного тіла дорівнює границі об'єму V при n → : . Сума V є інтегральною сумою для неперервної на відрізку [а; b] функції S(x), отже

.
Виведемо формулу об'єму тіла обертання. Нехай криволі­нійна трапеція обмежена від­різком [а; b] осі абсцис, графі­ком функції у = f(x), не­від'ємної і неперервної на від­різку [а; b], прямими x = а, x = b (рис. 119) обертається на­вколо осі ОХ. При обертанні цієї трапеції навколо осі абсцис ут­ворюється тіло, об'єм якого можна обчислити за формулою

. Але S(x) = πу² або S(x) = π(f(x))², отже,




Виконання вправ

Обчисліть об'єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

а) у = 3х, у = 0, x = 2;

б) у = , y = 0, x = 2;

в) у = х² + 1, у = 0, x = 0, x = 2;

г) у = х³, у = 1, x = 2;

д) y = sin x, у = 0, .

Відповіді: а) 24π; б) 2π; в) 13π; г)17π; д) 0,5π².
IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ IX § 4 (5); Запитання і завдання для повторення розділу IX № 16—17. Вправа № 12 (1—3).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 29