УРОК 47 Тема уроку

Скачати 51.29 Kb.

Назва	УРОК 47 Тема уроку
Дата	23.07.2013
Розмір	51.29 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Інформатика > Урок

УРОК 47

Тема уроку: Ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

Мета уроку: Формувати уміння учнів знаходити ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Перевірити правильність виконання домашніх вправ.

№ 9.

Подія А; — «не буде виготовлено жодної нестандартної деталі на і-й зміні» і = 1, 2, 3.

Р(А) = 0,9.

Подія А = А₁ · A₂ · A₃ — всі деталі, виготовлені за три зміни, стандартні.

Р(А) = Р(А₁) · Р(А₂) · Р(А₃) = 0,9³ = 0,729.

Відповідь: 0,729.

№ 10.

Події: А — «попадання у ворота куль»;

А₁ — «попадання у ворота першої кулі»;

A₂ — «попадання у ворота другої кулі».

Р(А₁) = Р(А₂) =0,4. А =

· A₂ + Α₁ ·

+ А₁ · A₂ і

Р(А) = Р(

) · Р(А₂) + Р(А₁) · Р(

) + Р(А₁) · Р(А₂) = (1 – 0,4) · 0,4 + (1 – 0,4) · 0,4 + + 0,4 · 0,4 = 0,64.

Відповідь: 0,64.

№ 25. Події: А — «навмання взята деталь бракована і за формою, і за розмірами»;

А₁ — «навмання взята деталь бракована за формою», Р(А₁) = 0,05;

A₂ — «навмання взята деталь бракована за розмірами», Р(А₂) = 0,01.

А = А₁ · А₂, Р(А) = Р(А₁ · А₂) = Р(А₁) · Р(А₂) = 0,01 · 0,05 = 0,0005.

Відповідь: 0,0005.

2. Математичний диктант.

В двох ящиках знаходяться деталі: в першому — 10 (із них 3 стандартних); в другому — 15 (із них 6 стандартних). З кожного ящика навмання беруть по одній деталі. Знайти ймовірність того, що:

1) деталь з першого ящика стандартна;

2) деталь з другого ящика стандартна;

3) обидві деталі стандартні;

4) обидві деталі не стандартні;

5) хоч би одна деталь не стандартна;

6) хоч би одна деталь стандартна.

Відповіді: 1) 0,3; 2) 0,4; 3) 0,12; 4) 0,42; 5) 0,88; 6) 0,58.

II. Сприймання і усвідомлення теореми про ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій.

Під час розв'язування задач іноді доводиться визначати ймовірність здійснення принаймні однієї з незалежних подій А₁, А₂, ..., А_n, ймовірність яких відома.

!Теорема. Якщо події А₁, A₂, А₃, ..., А_n ,— незалежні, то ймовірність здійснення принаймні однієї з них може бути виражена через ймовірність цих подій за формулою Р(А) = 1 – (1 – Р(А₁)) · (1 – Р(А₂)) · ... · (1 – Р(А_n)).

Доведення

Позначимо через А подію, яка полягає в здійсненні хоч би однієї з подій А₁, А₂, ..., А_n. Події А і

, ...,

(жодна з подій не наступила) протилежні, отже, сума їх ймовірностей дорівнює 1: Ρ(Α) + Ρ(

·...·

)=1.

Звідси, користуючись теоремою про ймовірність добутку незалежних подій, одержимо:

Р(А) = 1 – Ρ(

· ... ·

) = 1 – Р(

) · Р(

) ·... · Р(

) = 1 – (1 – Р(А₁))

(1 – Ρ(Α₂)) ·... - (1 – Р(А_n)).

Наслідок. Якщо події А₁, A₂, A₃, ..., А_n мають однакову ймовірність р, то ймовірність здійснення принаймні однієї із них Р(А)=1 – (1 – ρ)ⁿ.

Розглянемо застосування цієї теореми до розв'язування задач.

Задача 1. Ймовірності попадання в ціль при стрільбі з трьох гармат відповідно дорівнюють 0,8; 0,7 і 0,9. Знайдіть ймовірність хоч би одного влучення при одному залпі з усіх гармат.

Розв'язання

Ймовірність влучення в ціль кожною із гармат не залежить від результатів стрільб з других гармат, тому події А₁ — «влучення першою гарматою», A₂ — «влучення другою гарматою»; А₃ — «влучення третьою гарматою» незалежні. Якщо А — «хоч би одне влучення», то

Р(А) = 1 - Р(

) · Р(

) = 1 – (1 – Р(А₁))(1 – Р(А₂))(1 – Р(А₃)) =

= 1 – (1 – 0,8)(1 – 0,7)(1 – 0,9) = 1 – 0,2 · 0,3 · 0,1 = 0,994.

Відповідь: 0,994.

Задача 2. В типографії є 4 типографські машини. Для кожної машини ймовірність того, що вона працює в даний момент, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що в даний момент працює хоча б одна машина.

Розв'язання

Нехай подія А — «працює в даний момент хоча б одна машина», тоді за наслідком з теореми:

Р(А) =1 – (1 – р)ⁿ = 1 – (1 – 0,9)⁴ = 0,9999.

Відповідь: 0,9999.

Задача 3. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у ціль, дорівнює 0,4. Скільки пострілів повинен виконати стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,9 він влучив у ціль хоча б один раз?

Розв'язання

Подія А — «при n пострілах стрілець влучить в ціль хоч би один раз».

Згідно з наслідком з теореми маємо:

Р(А) = 1 – (1 – ρ)ⁿ. Оскільки Р(А)

0,9, ρ = 4, то одержимо:

1 – (1 – 0,4)ⁿ

0,9; 0,6ⁿ ≤ 0,1; n·lg0,6 ≤ lg0,l, оскільки lg0,6 < 0,

то

Отже, п

5, тобто стрілець повинен зробити не менше 5 пострілів.

Відповідь: не менше 5.

Задача 4. Ймовірність того, що подія здійсниться хоч би один раз у трьох незалежних випробуваннях, дорівнює 0,936. Знайти ймовірність здійснення події в одному випробуванні, якщо відомо, що в усіх випробуваннях ймовірність здійснення події одна і та ж.

Розв'язання

Згідно з наслідком з теореми:

Р(А) = 1 – (1 – ρ)ⁿ. За умовою Р(А) = 0,936, п = 3, то

0,936 = 1 – (1 – ρ)³; (1 - ρ)³ = 0,064; 1 - ρ = 0,4; ρ = 1 - 0,4; ρ = 0,6.

Відповідь: 0,6.

Виконання вправ

1. Два мисливці стріляють одночасно і незалежно один від одного в ціль. Постріл вважається успішним, якщо в ціль влучив хоч би один мисливець. Обчисліть ймовірність того, що постріл буде успішним, якщо ймовірності влучення в ціль для мисливців дорівнюють відповідно 0,8 і 0,75.

Відповідь: 0,95.

2. Ймовірність влучення в ціль з одного пострілу дорівнює 0,8. Яка ймовірність влучення в ціль хоча б один раз з двох пострілів.

Відповідь: 0,96.

3. Ймовірність попадання в мішень при одному пострілі дорівнює 0,5. Яка ймовірність хоч би одного влучення при десяти ' незалежним чином проведених пострілах?

Відповідь: 1 – 2^-10

0,999.

4. При виготовленні деталі проводиться чотири операції. Ймовірність одержання браку після кожної операції дорівнює 0,01. Яка ймовірність випуску деталі без браку, якщо операції незалежні.

Відповідь: (0,99)⁴ = 0,96.

5. Знайти ймовірність того, що за вісім кидків монети принаймні один раз випаде герб.

Відповідь:

.

6. Ймовірність того, що при одному пострілі стрілець влучить у десятку, дорівнює 0,6. Скільки пострілів повинен зробити стрілець, щоб з ймовірністю не менше 0,8 він влучив в десятку хоча б один раз.

Відповідь: n > 2.

7. Ймовірність того, що в результаті чотирьох незалежних випробувань подія А настане принаймні один раз, дорівнює 0,59. Знайдіть ймовірність настання події А при одному випробуванні, якщо вона під час всіх випробувань однакова.

Відповідь: .

III. Підведення підсумків уроку.

IV. Домашнє завдання.

Розділ XIII § 7; Запитання і завдання для повторення розділу XIII № 21.

Вправи №№ 11; 40; 41.

Роганін Алгебра 11 клас, урок 47

Схожі:

Урок 21 Тема уроку Тема уроку. Паралельне проектування та його властивості, Зображення просторових фігур на площині	УРОК №46 Тема уроку Тема уроку. Характеристики варіаційних рядів. Середні величини. Мода, медіана вибірки
УРОК №35 Тема уроку Тема уроку. Розв'язування текстових задач складанням систем рівнянь з двома змінними	УРОК 43 Тема уроку Тема уроку: Використання формул комбінаторики для обчислення ймовірностей подій
УРОК 13 Тема уроку ...	УРОК №28 Тема уроку ...
Урок 1 Тема уроку Тема уроку: Що означає бути щасливим. Індивідуальність людини та відчуття гармонії в собі. Чому важливо правильно оцінювати себе	Урок №53 Дата: 18. 03. 2013 Тема уроку Тема уроку: Значення птахів у природі та житті людини. Птахівництво. Охорона птахів
УРОК 33 Тема уроку Тема уроку: Корінь п-го степеня. Арифметичний корінь п-го степеня і його властивості	Уроку: Урок Тема уроку: Історія відкриття та освоєння материка. Практична робота №8 (продовження)

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання