Тема уроку. Поняття про тіла і поверхні обертання. Циліндр. Осьовий переріз циліндра. Мета уроку

Рис. 99

Будь-яка площина, що проходить через вісь тіла обертання, пере­тинає це тіло. Утворений переріз називають осьовим перерізом тіла обертання.

У житті ми дуже часто зустрічаємося з тілами обертання. Це — зви­чайна пляшка, пробірка, колба, хокейна шайба, патрон, котушка тощо. Більшість деталей, виготовлених на токарному верстаті, має форму тіл обертання.

Циліндр

Пояснення нового матеріалу можна провести так, як це зроблено в п. 52 § 6 підручника.

Наведемо інший варіант пояснення.

Прямим круговим циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.

На рис. 100 зображено циліндр, утворений обертанням плоского пря­мокутника ОАВО₁ навколо прямої 00₁ — осі циліндра.

Сторони ОА і 0₁В описують рівні круги, які лежать у паралель­них площинах і називаються основами циліндра. Радіуси кругів на­зиваються радіусами циліндра. Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра. Відрізки бічної поверхні, які паралельні і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.

Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ циліндра, кінці якого належать основам. Висота циліндра до­рівнює його твірній.

Осьовий переріз циліндра — прямокутник зі сторонами, що до­рівнюють висоті циліндра і діаметру його основи (рис. 101).

Розв'язування задач

1. Наведіть приклади побутових предметів, які мають форму циліндра.

2. Користуючись рис. 100, назвіть: а) радіус циліндра; б) висоту ци­ліндра; в) вісь циліндра; г) твірну циліндра.

3. Які властивості мають основи циліндра?

4. Які властивості мають твірні циліндра?

5. Яку властивість має вісь циліндра щодо: а) його основ; б) його твірних?

6. Часто висотою прямого кругового циліндра називають відрізок, що з'єднує центри основ. Яку властивість має висота циліндра щодо: а) твірних; б) основ?

7. Із стопки картону взяли аркуш і вирізали круг. Дістали циліндр з дуже малою висотою. Як практично визначити його висоту?

8. Кусок тонкого дроту можна вважати циліндром, у якого радіус дуже малий. Як практично визначити цей радіус?

9. Назвіть властивості циліндра, які однакові з властивостями прямої призми.

10. Як знайти відстань між прямими АВ і СD (рис. 102)?

11. Де відрізок АВ перетинає площину перерізу КLМN циліндра (рис. 103)?

12. Циліндр розміщений на площині α (рис. 104). На цій самій площи­ні взято точку С. Де пряма ВС вдруге перетне поверхню циліндра?

13. Довжина відрізка, кінці якого знаходяться на колах основ цилінд­ра і який перетинає вісь, дорівнює 13 см. Знайдіть радіус циліндра, якщо його висота дорівнює 5 см. (Відповідь. 6 см.)

14. Довжина відрізка, що з'єднує дві точки кіл основ циліндра і пере­тинає вісь, дорівнює 10 см. Знайдіть висоту циліндра, якщо його радіус дорівнює 3 см. (Відповідь. 8 см.)

15. Радіус циліндра дорівнює R. Знайдіть: а) площу основи циліндра; б) довжину кола основи циліндра. (Відповідь, а) πR²; б) 2πR.)

16. Площа основи циліндра дорівнює Q. Знайдіть радіус циліндра.

(Від­повідь. .)

17. Знайдіть радіус циліндра, якщо довжина кола основи циліндра дорівнює С.

(Відповідь..)
18. З квадрата, площа якого Q, згорнули бічну поверхню циліндра. Знайдіть площу основи циліндра. (Відповідь. .)

Знаходження елементів циліндра

Розв'язування задач

1. Радіус основи циліндра дорівнює R, висота — Н. Знайдіть діаго­наль осьового перерізу та площу осьового перерізу. (Відповідь. ; 2RН.)

2. Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює а і утворює з пло­щиною основи кут α. Знайдіть площу осьового перерізу та площу основи.

(Відповідь. d²sin2α; πd² соs²α .)

3. Знайдіть діагональ осьового перерізу циліндра, якщо площа основи дорів­нює Q, а площа осьового перерізу в п разів більша площі основи.

(Відповідь. . )

4. Радіус циліндра дорівнює R, висо­та — Н. Знайдіть кут нахилу діагона­лі осьового перерізу до площини основи циліндра. (Відповідь. .)

5. Площа основи циліндра відноситься до площі осьового перерізу як π : 4. Знайдіть кут між діагоналями осьового перерізу. (Відповідь. 90°.)

IV. Домашнє завдання

§ 6, п. 52; контрольні запитання № 1—3; задачі №1,2 (с. 95).
V. Підведення підсумку уроку Запитання до класу

1) Що таке прямий круговий циліндр (твірна циліндра, основи цилін­дра, бічна поверхня циліндра, радіус циліндра, вісь циліндра, осьо­вий переріз циліндра)?

2) Заповніть пропуски:

а) основи циліндра лежать у ... площинах і ...;

б) твірні циліндра ... і ,..;

в) поверхня циліндра складається із ... і ...;

г) прямий круговий циліндр — це тіло, яке описує прямокутник при обертанні його навколо ... як осі;

д) радіус циліндра — це радіус .,.;

е) висотою циліндра називається відстань між...
(Відповідь, а) Паралельних ... рівні; б) паралельні... рівні; в) основ... бічної поверхні; г) сторони; д) його основи; е) площинами його основ.)

Роганін геометрія 11 клас, урок 19