УРОК 16 Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції

Скачати 49.84 Kb.

Назва	УРОК 16 Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції
Дата	25.03.2013
Розмір	49.84 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Астрономія > Урок

УРОК 16

Тема уроку: Знаходження найбільшого і найменшого значень функції.

Мета уроку: Формування знань учнів про алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції.
І. Перевірка домашнього завдання.

П

еревірити правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими на дошці до початку уроку, та відповісти на запитання, що виникли у учнів у процесі виконання домашніх завдань.

№ 1. 4) Область визначення — (-

; 0) U (0; +

Стаціонарних точок функція не має. Наносимо на координатну пряму 0 і визначаємо знак у' на інтервалах (рис. 52).

Функція спадає на кожному з інтервалів (-

; 0), (0; +

).

№ 1. 10) Область визначення — (-

; -1)U(-1;+

ак як f'(x) < 0 для всіх х з області визначення, то функція спадає на кожному з інтервалів (-

; -1), (-1; +

).

№ 2. 3) Область визначення — (-

; 0) U (0;+

Знаходимо стаціонарні точки: у' = 0;

=0; х² – 4 = 0; х = 2 або х = -2.

Визначаємо знак у' при переході через стаціонарні точки (рис. 53).

х_max = –2, y_max= y(-2) = –4; x_min = 2, y_min= y(2) = 4.

№ 7. 1) D(f) = (-

; +

).

f'(x) = 2e^-^x + 2х · (-е^-^x) = 2e^-x(1 - х).

f(x) = 0; 2e^-^x(1 - x) = 0; x = 1 — стаціонарна точка.

Визначаємо знак у' при переході через стаціонарну точку (рис. 54).

Отже, функція зростає при х є (-

; 1), спадає при х є (1; +

),

х

_max = 1, y_max = y(1) =

.

№ 7. 7) D(f) = (0; +

). f'(x)=lnx+x·=lnx+1. f'(x) = 0;

ln x + 1 = 0; ln x = -1; x = e^-¹; х =

стаціонарна точка.

Точка х =

розбиває область визначення функції на інтервали (рис. 55), визначаємо знак f'(x) на кожному інтервалі. Отже, f(x) спадає, якщо

; f(x) зростає, якщо

.
II. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці.

III. Усвідомлення і осмислення правила обчислення найбільшого і найменшого значення функції на відрізку.

Р

озглянемо рисунки 56 і 57, на яких зображено графіки функції у = f(x) і у = g(x), заданих на відрізку [а; b]. Функція у = f(x) зростає, а функція у = g(x) спадає. На відрізку [а; b] найменше значення функції у = f(х) дорівнює f(a), а найменше значення функції у = g(x) дорівнює g(b). Відповідно найбільші значення цих функцій на даному відрізку дорівнюють f(b) та g(a). Отже, якщо функція неперервна і зростає (спадає) на деякому відрізку, то найбільше і найменше значення функція набуває на кінцях цього відрізка.

Розглянемо рисунок 58, на якому зображено графіки трьох функцій. Аналіз цих графіків свідчить, що найбільше і найменше значення функцій неперервних і диференційованих на проміжку [а; b] досягаються цими функціями або на кінцях відрізка, або в стаціонарних точках.

Отже, неперервна і диференційована функція на заданому відрізку приймає найбільше і найменше значення в стаціонарних точках або на кінцях відрізка.

Таким чином, якщо функція у = f(x) неперервна на відрізку [а; b] і має похідну в кожній внутрішній точці цього відрізку, то для знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [а; b] треба:

1) знайти значення функції на кінцях проміжку, тобто числа f(a) і f(b);

2) знайти значення функції в тих стаціонарних точках, які належать інтервалу (а; b);

3) із знайдених значень вибрати найбільше і найменше.

Приклад 1. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = x + e^-x на відрізку [-1; 2].

Розв'язання

Знайдемо значення функції в точках x = -1 та x = 2:

f(-1) = -1 + e^l = e – l, f(2) = 2 – е ^-2 = 2 –

.

Знайдемо f’(x): f'(x) = (x + е^-^x)¹ = 1 - е^-^x. Знайдемо стаціонарні точки:

f'(x) = 0; 1 - е^-^x = 0; 1 -

= 0; е^x = 1; x = 0.

Знайдемо значення функції в точці x = 0: f(0) = 0 +е°= 1.

І

з чисел е - 1

1,72, 2 -

1,86 та 1 найбільшим є 2 -

, а найменшим -1.

Відповідь: f_найб. = f(2) =2 - ; f_найм. = f(0) = 1.

Виконання вправ

Вправа № 3 (1; З; 5; 6) до розділу VIII.

П

ри розв'язуванні деяких задач потрібно знаходити найбільше або найменше значення функції не на відрізку, а на інтервалі.

В практичних задачах функція f(x) має на заданому інтервалі тільки одну стаціонарну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція f(x) приймає найбільше значення (рис. 59), а в точці мінімуму — найменше значення на даному інтервалі (рис. 60).
Приклад. Знайдіть найменше значення функції у = х+, де х є (0; 10).

Розв'язання

Знайдемо похідну у’ =1 – =

. Стаціонарні точки x₁= 6, х₂ = -6. На інтервалі (0; 10) є тільки одна стаціонарна точка x = 6. При переході через цю точку похідна змінює знак з «–» на «+» , і тому x = 6 — точка мінімуму. Отже, f _найм. = f(6) =12.
Відповідь: f _найм. = f(6) =12.

Виконання вправ______________________________

1. Знайдіть найбільше значення функції f(x) = - χ² на інтервалі х < 0.

Відповідь: f_найб. = -3.

IV. Підведення підсумків уроку.

V. Домашнє завдання.

Розділ VIII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VIII № 12—14. Вправа № 3 (2; 4; 7).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 16

Схожі:

УРОК 17 Тема уроку ...	Застосування методів математичного аналізу ПІДСУМКИ ТИЖНЯ Самоперевірка Рівень А У деяких точках відрізка [а; b] неперервна функція y = f(x) може набувати найменшого і найбільшого значень
УРОК 13 Тема уроку Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції	УРОК №17 Тема уроку Тема уроку. Функції. Властивості функції: нулі функції, проміжки знакосталості, зростання і спадання функції
Урок №60 Тема. Функція. Область визначення функції. Область значень функції Мета: закріпити термінологію, відпрацювати навички роботи з поняттями функції; відпрацювати навички роботи із функцією, заданою...	УРОК 35 Тема уроку: Найбільше і найменше значення функції на відрізку Формувати вміння застосовувати виведений алгоритм до знаходження максимального та мінімального значення функції на проміжку. Розвивати...
УРОК 1 Тема уроку Мета уроку: Узагальнення і систематизація знань учнів про числові функції (область визначення і область значення функцій, зростаючі...	УРОК 23 Тема уроку Мета уроку: формування знань учнів про правила знаходження первісних (невизначених інтегралів), формування умінь у знаходженні первісних...
Урок №61 Тема. Функція. Область визначення та область значень функції... ...	Урок №59 Тема. Функція. Область визначення та область значень функції Зошити з виконаним аналізом тематичної контрольної роботи та корекцією учні здають на перевірку

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання