Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції


Скачати 80.97 Kb.
НазваУроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Дата15.04.2013
Розмір80.97 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Математика > Урок

В.Г.Бевз, Г.П.Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ 3. Відношення і пропорції

Уроки 50-52

Тема: відсоткове відношення. ЗАДАЧІ НА ВІДСОТКИ

Мета. Ввести поняття відсоткове відношення, навчити учнів розв'язувати задачі на відсоткове відно­шення. Ознайомити учнів із способами розв'язу­вання деяких складніших задач на відсотки.

Вимоги до підготовки учнів.

У результаті вивчення теми учні мають навчитися: розв'язувати вправи, що передбачають знаходження відсоткового відношення чисел або величин; записувати відсотки у вигляді звичайного десяткового дробу; розв'язувати три основні види задач на відсотки.
Методичні зауваження та поради

Відсоток (або процент) - це одна сота. 1 % інакше можна записати 0,01. Тут немає нічого нового. Проте неправильно бу­ло б і недооцінювати роль відсотків. Учнів обов'язково треба ознайомити з цим поняттям у такому обсязі, щоб вони вільно користувалися ним під час вивчення хімії, біології, суспільство­знавства, а також у повсякденній діяльності.

У дореволюційних підручниках відсоткам приділяли багато уваги. Вони вважалися основним поняттям комерційної ариф­метики. До речі, тоді й означення давали тільки щодо грошо­вих розрахунків. Наприклад,

«Процент є прибуток, одержуваний з кожних ста карбо­ванців капіталу, відданого на певний строк».

«Коли хто-небудь позичає гроші, то він платить за це. Ця плата і показує кількість процентів».

Тепер відсотки набули значно більшого поширення. Зви­чайно, як і раніше, відсотки використовують у грошових роз­рахунках. Проте часто використовують їх: а) у хімії (відсотко­вий склад розчинів, сполук); б) у біології (відсотки вологи ґрун­ту, проростання насінин); в) у фізиці (коефіцієнт корисної дії, коефіцієнт тертя) тощо.

У методичній літературі трапляються різні означення.

Відсотком числа називається сота частина цього числа.

Відсоток - це дріб зі знаменником 100.

Відсотки - це не що інше, як соті частини, особливим спо­собом записані.

Як бачимо, одні означають поняття «відсоток», а інші – «відсоток числа». Але в школі розглядають не лише відсотки числа, а й просто відсотки, наприклад, часто ставлять завдан­ня: виразити відношення у відсотках. Тому в означенні краще говорити не про «відсотки числа», а просто про відсотки. Не треба в означенні говорити про особливий спосіб запису, бо тут не розкрито, який саме «особливий», адже і , і 0,02 – особливі форми запису числа «дві сотих».

Тому краще дати таке означення: «Відсотком називається одна сота частина».

Розрізняють три основні види задач на відсотки:

  1. знаходження відсотків даного числа;

  2. знаходження числа за даними його відсотками;

  3. знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Два перші види задач учні розглядали в 5-му класі. Тепер їх бажано ознайомити з третім видом. Пояснити можна на прик­ладі такої задачі.

Потрібно зорати 300 га поля. За перший день зорали 120 га. Який відсоток поля виорано за перший день?

Треба обчислити відношення 120 до 300 і виразити його у відсотках. Це задача на знаходження відсоткового відношення двох чисел. Розв'яжемо її.

Перший спосіб (зведенням до задачі на знаходження відношення двох чисел). Знайдемо відношення даних чисел і виразимо його у відсотках: 120 : 300 = 0,4 = 40 (%).

Другий спосіб (зведенням до одиниці). На 1 % припадає поля в 100 разів менше, 300 : 100 = 3 (га). Тому 120 га станов­лять 120 : 3 = 40 (%).

Третій спосіб (складанням пропорції). 300 га становлять 100%, 120га - х%.

Складаємо пропорцію 300 : 120 = 100 : х.

Звідси маємо х = (120 · 100): 300 = 40 (%).

Не тільки задачі на знаходження відсоткового відношення, а й кожну задачу двох інших видів можна розв'язати: 1) зве­денням до дробів; 2) зведенням до одиниці; 3) способом про­порцій. Деякі методисти зазначають, що першим способом для розв'язування основних задач на проценти має бути зведення до одиниці. Проте, розв'язуючи задачі таким способом, дово­диться говорити, наприклад, про 0,2 людини і т. п. А це неба­жано. Ось чому основні задачі на відсотки краще розв'язувати способом зведення до дробів або за допомогою пропорцій.

Крім трьох згаданих основних видів задач на відсотки, у школі бажано розв'язувати на відсотки і складніші задачі. Де­які відомі математики, зокрема О.Я.Хінчин, вважають, що ніяких «задач на відсотки» не треба розглядати окремо, бо це – звичайні задачі на дроби. Але це не так. Задачі на відсотки ма­ють свої особливості, свої труднощі та одне формальне перетво­рення їх у «задачі на дроби» справи не вирішує. Розглянемо для прикладу таку задачу.

Задача 1. Під час перевірки вологість зерна дорівнювала 16 %. 2 ц цього зерна просушили, після чого воно втратило 20 кг. Визначте вологість зерна після просушування.

Спробуємо сформулювати цю задачу «без відсотків», замінивши 16 % на 0,16. Від цього задача не стане легшою, не перетвориться на таку, яку учні вже розв'язували. Трудність її насамперед полягає у тому, що учні не розуміють слів «во­логість зерна дорівнює 0,16». До цього часу в задачах на дроби вони розглядали або 0,16 кг, або 0,16 від загальної маси. А тут дріб 0,16 виступає в іншій ролі. Щоб розв'язати цю задачу, на­самперед треба пояснити учням, що означає «вологість зерна дорівнює 0,16». В інших задачах на відсотки розглядають «засміченість зерна», «продуктивність праці», «процент усуш­ки», «концентрацію розчину», «собівартість», «приріст пого­лів'я худоби», «урожайність», «процентні гроші» і т. п. Учнів варто ознайомити з цими поняттями. Найкраще це зробити під час вивчення відсоткових розрахунків.

Аналізувати подібні задачі зручно за допомогою діаграм.

Було всього 200 кг зерна. Його вологість 16%. Це означає, що 16% від всієї маси становить вода.

Це зображено на малюнку 15, а. Якщо зерно просушити, частина води випарується, а маса сухого зерна не зміниться. Зобразимо це іншим прямокутником (мал. 15, б).

Такий малюнок допомагає краще зрозуміти зміст задачі та швидше розв'язати її. Розв'язання можна оформити так.

Розв'язання. 2ц = 200кг.

1) Скільки вологи містили 200 кг зерна до просушування?

200 · 0,16 = 32 (кг).

2) Скільки вологи містило зерно після просушування?

32 – 20 = 12 (кг).

3) Якою стала маса всього зерна після просушування?

200 – 20 = 180 (кг).

4) Якою стала вологість зерна після просушування?

12 : 180 = 0,0666... 6,7 (%).

До складніших задач на відсотки належать також задачі на розчини та сплави. Під час розв'язування таких задач обов'яз­ково треба пояснити учням, що розуміють під «міцністю розчину», «процентною концентрацією», «пробою».

Відсотковою (процентною) кон­центрацією розчину називають вира­жене в процентах відношення маси розчи­неної речовини до маси всього розчину. Звертаємо увагу на те, що тут ідеться про масу, а не об'єм. Наприклад, 10-відсот-ковим розчином кислоти називають та­кий розчин, на кожні 100 г якого припа­дає 10 г чистої безводної кислоти (а не на 100 л розчину 10 л безводної кислоти).

Якщо йдеться про об'ємні проценти, то вживають термін «міц­ність». Міцність виражають у градусах.

Наприклад, якщо на 10 л розчину припадає 4 л чистого без­водного спирту, то говорять, що міцність цього спирту дорів­нює 40°. Зауважимо, що 40-відсотковий спирт і 40-градусний спирт – не одне й те саме.

Задача 2. До 2 кг води долили 8 кг 70-відсоткового розчину сірчаної кислоти. Визначте процентну концентрацію утворе­ного розчину.

Розв'язання.

1) Скільки чистої (безводної) кислоти містить даний розчин?

8 · 0,7 = 5,6 (кг).

2) Яка загальна маса утвореного розчину?

2 + 8 = 10 (кг).

3) Чому дорівнює процентна концентрація розчину?

5,6 : 10 = 0,56 = 56(%).

Відповідь. Утворено 56-відсотковий розчин.

Застереження. Іноді трапляються задачі, в яких кількість кислоти виражена не в кілограмах, а в літрах. Нерідко їх роз­в'язують так само, тільки замість найменувань кг скрізь ставлять л і в результаті дістають таку саму відповідь. Це неправильно.

Задача 3. До 2 л води долили 8 л 70-відсоткового розчину сірчаної кислоти. Визначте процентну концентрацію утвореного розчину.

Розв'язання. У таблицях знаходимо густину 70-відсотко­вого розчину сірчаної кислоти: 1,6. Отже, маса 8 л цього розчи­ну дорівнює 12,8 кг. Безводної кислоти в ньому є 12,8 · 0,7 = 8,96 (кг).

Загальна маса утвореного розчину дорівнює 12,8 + 2 = 14,8 (кг). Отже, його процентна концентрація дорівнює 8,96 : 14,8 = 0,61 = 61(%).

Шестикласникам подібні задачі пропонувати не слід.
Робота з матеріалами підручника

На першому уроці

  • Для роботи в класі: § 20; № 695, 696, 698, 699, 701, 702, 704,722.

  • Для роботи вдома: § 20; № 700, 703, 721.

На другому уроці

  • Для роботи в класі: § 20; № 697, 707, 709, 711, 713, 714, 723.

  • Для роботи вдома: § 20; № 705, 708, 710.

На третьому уроці

  • Для роботи в класі: § 20; № 706, 716-720, 724, 725.

  • Для роботи вдома: § 20; № 712, 715, 718.


Вказівки та розв'язання вправ

699. а) 3 см : 5 см = 0,6 = 60 %;

г) 15 хв : 1 год = 15 хв : 60 хв = 0,25 = 25 %.

700. 46 : 50 = 0,92 = 92 (%).

702. Площа малого квадрата становить 1 % від площі квад­рата АВСБ. Прямокутники АТРК і ТВМР вміщують відпо­відно 42 і 28 малих квадратиків, тому їх площі становлять відповідно 42 і 28 відсотків площі квадрата АВСЬ.

703. 20 : 250 = 0,08 = 8 (%).

704. 1 : (4 + 1) = 0,2 = 20 (%).

705.11,34 – 10,8 = 0,54 (грн.), 0,54 : 10,8 = 0,05 = 5 (%).

706. Заповнити таблицю можна так.


Кількість балів

1-3

4-6

7-9

10-12

Разом

Кількість учнів

2

7

12

4

25

%

8

28

48

16

100


707. 98,4 грн. відповідають 82 % попередньої вартості чобітків, яку позначимо х. Тому правильна така пропорція х : 98,4 = 100 : 82.

Звідси х = 9840 : 82 = 120 (грн.).

708. Існують різні способи кредитування. Один із них полягає в тому, що відсоток нараховується на всю суму по­зики пропорційно терміну використання. За цих умов за два роки родина має сплатити банку 1800 грн. і 432 грн., оскільки 1800 · 0,12 · 2 = 432 (грн.).

709. а) 25 – 20 = 5; 5 : 20 = 0,25. На 25 %.
б) 25 – 20 = 5; 5 : 25 = 0,2. На 20 %.

Відповіді різні, бо у випадку а) відсотки беруться від 20, а у випадку б) - від 25.

710. а) Було а, стало 2а, збільшилося на а. а : а = 1. Збіль­шиться на 100 %.

б) Було а, стало 1,6а, різниця 0,6а. 0,6а : а = 0,6. Збільшиться на 60 %.

711. а) Було а, стало 0,5а, різниця 0,5а. 0,5а : а = 0,5. Змен­шиться на 50 %.

б) Було а, стало а, різниця 0,375а. 0,375а : а = 0,375. Змен­шиться на 37,5%.

712. Якщо друге число дорівнює а, то перше 0,4а. а : 0,4а = 2,5 = 250(%).

714. Якщо сторони прямокутника дорівнювали а і с, то після збільшення вони становили відповідно 1,1а і 1,2с. Площа пер­шого прямокутника дорівнювала ас, а другого – 1,32ас. Площа збільшиться на 0,32ас.

0,32ас : ас = 0,32 = 32 (%).

715. Нехай спочатку товар коштував а. Після першого зни­ження ціни він став коштувати 0,9а, після другого – 0,9 · 0,9а, тобто 0,81а. Загальне зменшення ціни - на 19 %, а не на 20 %.

716. Нехай початкова плата становила а грн. Після підви­щення її на 20 % вона стала дорівнювати 1,2а грн., а після наступного зниження на 10 % перетворилася на 0,9 · 1,2а, або 1,08а грн. Тобто плата зросла на 0,08а. 0,08а : а = 0,08. Плата зросла на 8 %.

717. Нехай спочатку товар коштував а грн. Після зниження ціни він став коштувати 0,75а. Якщо 0,75а · х = а, то х = 1,333... Треба підвищити ціну на 33,3 %.

719*. Через рік вкладник матиме 6000 · 1,08 = 6480 грн., че­рез 2 роки –

6480 · 1,08 = 6998,4 грн., або 6000 · 1,08 · 1,08 = 6998,4 грн.

720. Української мови не знають 15 %, а російської - 25 % усіх мешканців міста. Однієї з цих мов не знають разом 40 % меш­канців. Решта 60 % усіх мешканців знають обидві мови.

Описаній у задачі ситуації від­повідає діаграма, зображена на ма­люнку 16.

721. Якщо на другому складі х т вугілля, то на першому – 2,5х т. На обох складах разом 3,5х = 1400, звідси х = 400 (т).

723. а) (3,7 + 12,6 + 8,6): 3 = 8,3;

б) .

725. Якщо (а + с) : 2 менше від а + с на 3, то а + с = 6. А коли а – 3 = 2, то а = 5, с = 1.
Особисті нотатки вчителя __________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________



Книга для вчителя Уроки 50-52

Схожі:

Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ввести поняття пропорція, ознайомити учнів з основною властивістю пропорції і її застосуван­ням
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції Розділ 3
Програма на вивчення розділу відводить 24 години. Тут пе­редбачається вивчення таких тем
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Перевірити знання і вміння, набуті учнями під час вивчення розділу «Відношення і пропор­ції». Оцінити досягнення кожного учня...
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ознайомити учнів з поняттями випадкова подія, рівноймовірні події, ймовірність випад­кової події
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ввести поняття пропорційні величини. Навчити учнів розв'язувати задачі на пропорційні вели­чини
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
У результаті вивчення теми учні мають навчитися: описувати поняття коло, круг, круговий сектор; записувати і пояснювати формули дов­жини...
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Звичайні дроби Розділ 2
Програма на вивчення розділу відводить 30 годин. Тут пе­редбачається вивчення таких тем
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка