2 СТВОРЕННЯ ПЛАНОВИХ ГЕОДЕЗИЧНИХ МЕРЕЖ МЕТОДОМ ТРІАНГУЛЯЦІЇ
Комплекс робіт при побудові планових геодезичних мереж методом тріангуляції складається з таких процесів:
проектні роботи;
рекогностування пунктів тріангуляції;
закладання центрів та будівництво зовнішніх знаків;
астрономічні спостереження на вихідних пунктах;
вимірювання базисів або вихідних сторін;
кутові спостереження на пунктах тріангуляції і їх попередня обробка;
вимірювання зенітних відстаней і їх попередня обробка;
вирівнювальні обчислення в тріангуляції;
вирівнювальні обчислення в тригонометричному нівелюванні.
2.1 Проектні роботи
Проектування — один з найвідповідальніших процесів великого комплексу тріангуляційних робіт. Від якості проектних робіт залежить велика частина успіху усієї роботи. Виконують проектні роботи найдосвідченіші спеціалісти геодезичного виробництва.
Проектні роботи полягають в складанні документу, який називається технічним проектом на виробництво робіт. Як правило, технічний проект складає та організація, яка буде виконувати роботи.
Технічний проект складають в такій послідовності. Спочатку висвітлюються такі питання: мета робіт, які проектуються, адміністративне розміщення об’єкту, фізико-географічний огляд і економічна характеристика об’єкту, топографо-геодезична вивченість об’єкту. Потім розробляється проект мережі на карті, який супроводжується необхідними техніко-економічними розрахунками, пізніше висвітлюється технологія та організація польового і камерального виробництва і складається кошторис на виконання робіт (кошторис — документ, в якому представлені всі витрати на виконання польових і камеральних робіт на об’єкті).
Зупинимося на питаннях проектування тріангуляційних мереж на топографічній карті, яке супроводжується розрахунком висот тріангуляційних знаків.
2.1.1 Проектування тріангуляційних мереж на топографічній карті
Проектувати державні мережі тріангуляції 2 класу найкраще на картах масштабу 1:100000. При проектуванні дотримуються основних вимог до побудови геодезичних мереж, якими є: а) запроектована мережа тріангуляції
2 класу повинна мати зв’язок не менше, ніж з трьома пунктами астрономо-геодезичної мережі 1 класу (АГМ-1), яка побудована з використанням систем GPS; б) довжини сторін в тріангуляції 2 класу повинні лежати в межах 7–20 км (див. табл. 1.3).
Проектування розпочинають з нанесення на карту існуючих на даному об’єкті або поблизу нього пунктів АГМ-1. Пункти тріангуляції 2 класу проектують у вигляді суцільної мережі близьких до правильних трикутників з довжинами сторін від 7 до 20 км. Пункти розміщують на командних висотах, щоб забезпечити видимість між ними. Якщо рельєф місцевості не дозволяє побудувати трикутники близькі до правильних, дозволяється будувати різносторонні трикутники, але кути в них повинні бути меншими 30º.
Рисунок 2.1 - Зв’язок мережі тріангуляції 2 класу з пунктами АГМ-1
Для зв’язку з пунктами АГМ-1 можуть застосовуватись різні схеми, але найдоцільнішим є безпосереднє примикання мережі 2 класу до пунктів АГМ-1, з допомогою яких буде здійснено орієнтування мережі 2 класу відносно осьового меридіану (рис. 2.1). Для масштабування мережі необхідно не менш ніж на двох її сторонах запроектувати світловіддалемірні вимірювання. Ці сторони називають базисними. Їх розміщують не рідше ніж через 25 трикутників мережі.
Для проектування державних мереж 3 класу можна використати як карти масштабу 1:100000, так і карти масштабу 1:50000. При проектуванні дотримуються вимог таблиці 1.4. Довжини сторін мережі 3 класу повинні лежати в межах 5–8 км. Пункти 3 класу проектуються у вигляді вставок у трикутники вищого класу або у вигляді жорстких систем, про які згадувалося у п. 1.1.2 (див. рис. 1.5 і 1.6).
Для проектування мереж згущення (4 класу, 1 і 2 розряду) використовують топографічні карти масштабів 1:25000 і 1:10000. Мережі згущення будуються у вигляді вставок у трикутники вищого класу або у вигляді жорстких систем (див. рис. 1.5 і 1.6), а також у вигляді рядів тріангуляції (рис. 2.7).
2.1.2 Розрахунок висот зовнішніх знаків
Між суміжними пунктами планової геодезичної мережі, яка будується методом тріангуляції, має бути взаємна видимість. Якщо цього не вдається досягнути безпосередньо з землі, на пунктах будують зовнішні знаки у вигляді пірамід або у вигляді сигналів. Піраміда — це дерев’яна або металічна споруда, на якій закріплюється візирний циліндр, що служить візирною ціллю для спостережень з інших пунктів тріангуляції. Сигнал — це дерев’яна або металічна споруда, на якій крім візирного циліндра, встановлюється столик для приладу (теодоліта, світловіддалеміра чи відбивача). Висоти зовнішніх знаків повинні бути такими, щоб забезпечувалась видимість між пунктами при спостереженнях, і в той же час оптимальними (достатніми, але не надмірними). Їх визначають заздалегідь при проектуванні.
2.1.2.1 Теоретичне обґрунтування розрахунку висот знаків
Щоб правильно визначити висоту зовнішніх знаків, які мають забезпечити видимість між двома пунктами тріангуляції, необхідно врахувати вплив таких факторів:
а) кривизни Землі;
б) вертикальної рефракції;
в) висоти перешкоди.
На рис. 2.2 точки А і В — пункти тріангуляції, НA і НB — їх висоти над рівнем моря, які показані відрізками по нормалях між геоїдом і рівневими поверхнями, що проходять через точки А і В.
С — вершина перешкоди (на рис.2.2 — вершина лісу на горі).
НC — висота вершини перешкоди над рівнем моря.
Позначимо hA=НC–НA, hB=НC–НB — перевищення вершини перешкоди над основами знаків А і В.
Для того, щоб забезпечити видимість між пунктами А і В, в пункті А необхідно побудувати сигнал висотою LA=АА", в пункті В — висотою LB=ВВ".
З рис. 2.2 видно, що
де VA=VA ′-VA ″
де VB=VB ′-VB ″
де VA і VB — поправки за кривизну Землі і вертикальну рефракцію для пунктів А і В відповідно. Перевищення ha і hв легко знаходяться за допомогою висот пунктів А і В, знятих з карти, і висоти вершини перешкоди С, яка дорівнює висоті земної поверхні, знятій з карти, плюс висота лісу чи споруди над поверхнею Землі.
Рисунок 2.2 - Врахування впливу кривизни Землі, вертикальної рефракції і висоти перешкоди на висоти тріангуляційних знаків
Обґрунтування впливу кривизни Землі покажемо з допомогою рис. 2.3.
Рисунок 2.3 - Вплив кривизни Землі на висоту сигналу
Точка С — вершина перешкоди, точка Ас — точка в пункті А, піднята на рівневу поверхню, яка проходить через точку С. СА′ — дотична до дуги САс в точці С, вона являє собою пряму, по якій проходить горизонтальний світловий промінь. Щоб в точці А′ побачити точку С, там треба піднятися на висоту V′A=АсА′. Розглянемо прямокутний трикутник ОА'С, в ньому ОС=R — радіус Землі, А'С=SAC — віддаль між пунктом тріангуляції А і перешкодою С. Тоді:
|
 .
|
(2.3)
|
Член в дужках розкладемо за біномом Ньютона:  . Оскільки ОАс=R, то АсА′=ОА′–R=0.5S2/R.
Раніше ми позначали АсА′=VA′. Це буде висота зовнішнього знаку, який треба побудувати в точці Ас, щоб врахувати кривизну Землі при забезпеченні видимості між пунктами А і С.
Отже:
|
 .
|
(2.4)
|
Але візирний промінь від т. С буде проходити не по прямій СА′, а буде заломлюватися внаслідок зміни густини повітря на своєму шляху, яка в свою чергу змінюється від зміни метеорологічних параметрів (температури, вологості, тиску). Це явище носить назву рефракції. Заломлення променя буде відбуватись по кривій, яка має подвійну кривизну у просторі. Цю криву можна розкласти на дві: одну — в горизонтальній площині, другу — у вертикальній. Заломлення променів в горизонтальній площині назвемо горизонтальною рефракцією, у вертикальній — вертикальною рефракцією. В даному випадку маємо справу з вертикальною рефракцією. Встановлено, що крива СА" по якій проходить промінь за рахунок вертикальної рефракції, своєю вигнутістю направлена до Землі, вона має приблизно таку ж природу, що і кривизна Землі, з тією лише різницею, що її вплив на висоту знака буде здійснюватися з коефіцієнтом k, який називається коефіцієнтом вертикальної рефракції, причому цей вплив приводить до зменшення висоти знака на величину А′А"=VA", де:
|
 .
|
(2.5)
|
Сумарний вплив кривизни Землі і вертикальної рефракції:
|
|
(2.6)
|
або:
|
 .
|
(2.7)
|
З досліджень встановлено, що к в середньому дорівнює 0,14–0,16.
Якщо за середній радіус Землі взяти R=6373 км, а за середній коефіцієнт вертикальної рефракції k=0,15,то отримаємо таку величину впливу кривизни Землі і вертикальної рефракції(в км):
 .
Після переведення в метри
або
|
 ,
|
(2.8)
|
де SAC — довжина сторони між пунктами А і С в кілометрах.
Аналогічно можемо отримати величину впливу кривизни Землі і вертикальної рефракції для пункту В
|
 .
|
(2.9)
|
Підставивши (2.8) і (2.9) у формули (2.1) і (2.2) відповідно, отримаємо:
|
 ,
|
(2.10)
|
|
 .
|
(2.11)
|
За цими формулами виконують аналітичний розрахунок висот знаків на пунктах А і В.
2.1.2.2 Коректування висот знаків за правилом коромисла
Запроектовані висоти знаків на пунктах тріангуляції повинні, по-перше, забезпечувати видимість між пунктами, а по-друге, бути оптимальними. Оптимальними вважають висоти знаків, якщо їх сума є мінімальною. Тому проектування виконують в кількох варіантах, з яких вибирають оптимальний. Часто при аналізі варіантів доводиться на одному з пунктів змінювати висоту знаку, що призводить до зміни висот сигналів на інших пунктах, суміжних з даним. Цю зміну можна визначити за правилом коромисла, а саме: якщо на пункті А збільшити висоту знаку на величину ΔН1, то на пункті В висоту знаку необхідно зменшити на висоту
|
 ,
|
(2.12)
|
д е S1 і S2 — віддалі до перешкоди від пунктів А і В відповідно (рис.2.4).
Цим правилом вигідно коректувати висоти знаків у випадку, коли S2 більша за S1 в 2–3 рази, тоді висота знака на пункті В зменшиться на величину в 2–3 рази більшу тієї, на яку збільшується висота знака на пункті А. В результаті — зменшення суми висот знаків на стороні АВ.
Рисунок 2.4 - Правило коромисла
На рисунку:
L1 — початкова висота знаку в т. А,
∆H1 — величина, на яку необхідно збільшити висоту знаку в т. А,
L´1 — скоректована висота знаку в т. А,
L2 — початкова висота знаку в т. В,
∆H2 — величина, на яку необхідно зменшити висоту знаку в т. В
L´2 — скоректована висота знаку в т. В.
2.1.2.3 Графічний розрахунок висот знаків
Графічний розрахунок висот знаків виконується на міліметровому папері. На горизонтальній осі в масштабі карти відкладають віддалі SАС і SВС перешкоди С до пунктів А і В і під віссю підписують відмітки біля основи знака і біля вершини перешкоди. Горизонтальній осі присвоюють умовну відмітку, яка повинна бути на 5–10 м меншою підписаних відміток під точками А, В і С (рис. 2.5).
На вертикальних лініях в масштабі 1:1000 відкладають відмітки НС,
НА–V1 і НВ–V2, де V1 і V2 — поправки за кривизну Землі і вертикальну рефракцію, які обчислюються за формулами 2.8. і 2.9.
Рисунок 2.5 - Графічний розрахунок висот знаків
Масштаби: горизонтальний 1:50 000, вертикальний 1:1 000
Отримують точки А′, С' і В′. Вони являють собою зображення основ знаків А і В на землі і вершини перешкоди, яка може лежати як на землі, так і на якійсь висоті над землею (наприклад, вершина лісу).
Дотикаючись точки С' лінійкою, проводять лінію А"В". Відрізки А'А" і В'В" являють собою висоти знаків LA, LB. З багатьох варіантів лінію А"В" намагаються провести так, щоб сума висот знаків LA і Lв була мінімальною. Запроектовані знаки наносять на міліметровий папір чорним кольором і підписують їх висоту. Тут під висотою знака розуміють віддаль по вертикалі від центра пункту до столика під прилад.
Якщо визначення в результаті розрахунку висоти менші 1,5 м (висота штативу на землі), на пункті проектують піраміду. Намагаються не проектувати сигнали, якщо отримані висоти лежать в межах 1,5–4 м. В цьому випадку коректують висоти знаків, зменшивши на даному пункті висоту до нуля і збільшивши висоту знака на протилежному кінці лінії. Але в цьому випадку, можливо, необхідно буде підкоректувати висоти знаків на інших суміжних пунктах.
Якщо на одному з пунктів, наприклад, А, існує знак або його запроектовано раніше (для мережі вищого класу), його висоту LA слід нанести в вертикальному масштабі червоним кольором. Лінію A''B'' в цьому випадку проводять з врахуванням висоти LA. При розрахунку висот знаків можуть виникнути інші ситуації, до вирішення яких необхідно підходити з точки зору зменшення вартості будівельних робіт.
2.1.3 Оцінка проектів тріангуляційних мереж
2.1.3.1 Суть та призначення оцінки проектів тріангуляційних мереж
Запроектовані на карті мережі підлягають попередній оцінці, метою якої є встановити, з якою точністю можна отримати основні параметри мережі (координати пунктів, довжини та дирекційні кути сторін тощо). Як відомо, ці параметри залежать від вихідних даних, точності польових вимірів, розмірів та конфігурації мережі. Після оцінки проекту ми маємо отримати відповідь на запитання: чи запроектована мережа даних розмірів та конфігурації при дотриманні необхідної точності польових вимірів буде відповідати необхідним технічним вимогам чи ні. Якщо буде, проект можна реалізувати в практику, якщо ні, необхідно запропонувати інший варіант мережі.
Оцінку проектів виконують строгими або наближеними методами. Строгі методи здійснюються за тими ж алгоритмами, які передбачено використовувати при вирівнюванні мереж. Вони досить трудомісткі, вимагають уважного складання умовних рівнянь або рівнянь поправок для мережі. Строгі методи оцінки проектів вивчаються в спеціальному курсі “Математична обробка геодезичних вимірів”.
Тут ми зупинимося на кількох наближених методах оцінки проектів, які можна застосовувати для державних тріангуляційних мереж 3 класу, а також мереж згущення 4 класу, 1 і 2 розряду.
2.1.3.2 Вставка в трикутник вищого класу
Вставка в трикутник вищого класу показана на рис. 2.6.
Рисунок 2.6 - Вставка в трикутник вищого класу
Відомий вчений і практик в області геодезії С.Г. Судаков, узагальнюючи свій досвід побудови основних геодезичних мереж в СРСР [8], рекомендує для визначення очікування середньої квадратичної помилки положення пункту О по відношенню до суміжних пунктів формулу:
 ,
|
(2.13)
|
де m — середня квадратична помилка вимірювання кутів;
а, в, с, s1, s2, s3 — довжини сторін, зняті з карти, в метрах;
1, 2, 3 — кути, зняті з карти, в градусах.
Згідно з [4], для пункту планової мережі 3 класу, величина МO не повинна перевищувати 0,04 м.
Якщо виконується оцінка проекту вставки 4 кл., 1 або 2 розряду, то обчислюють очікувану відносну помилку  визначення сторони, наприклад а (рис. 2.6)
|
 ,
|
(2.14)
|
де а — довжина сторони;
m — середня квадратична помилка дирекційного кута сторони а, яку знайдемо з таких міркувань:
 ,
де  — середня квадратична помилка вихідної сторони АВ;
m — середня квадратична помилка вимірювання кута ОАВ.
Оскільки мова іде про взаємне положення сторони АО і АВ, то  .
Отже
m2=m2
або
m=m.
Формула (2.14) приймає вигляд
|
|
(2.15)
|
Згідно з Інструкцією [1], відносна помилка визначення сторони не повинна перевищувати
в 4 класі — 1:50000;
в 1 розряді — 1:20000;
в 2 розряді — 1:10000.
2.1.3.3 Оцінка запроектованого ряду
Якщо геодезична мережа запроектована у вигляді ряду трикутників, який опирається на дві вихідні сторони (такий варіант найбільш часто зустрічається в сучасних мережах згущення 1 і 2 розрядів), то оцінка проекту полягає в обчисленні відносної помилки найбільш слабкої сторони ряду (рис. 2.7)
|
 .
|
(2.16)
|
Найбільш слабкою стороною ряду є сторона, яка найбільше віддалена від вихідних сторін. Для прикладу на рис. 2.7 приведений ряд тріангуляції 1 розряду, вихідними для якого є сторони тріангуляції 4 класу АС і ВD. найбільш слабкою є сторона тріангуляції 1 розряду KL, віддалена від сторін АС і ВD на 4 трикутники. У формулі (2.16)  — відносна середня квадратична помилка вихідних сторін,
m — середня квадратична помилка вимірювання кутів;
Аі, Ві — зв’язуючі кути в трикутниках (кути, які приймають участь в передачі за теоремою синусів сторін від вихідної до найбільш віддаленої, наприклад, для рис. 2.7 — від AC до KL).
Рисунок 2.7 - Ряд тріангуляції
З рис. 2.7 запишемо
|
 .
|
(2.17)
|
Зв’язуючі кути вимірюють транспортиром з карти (в градусах).
У знаку суми  , n — кількість трикутників, розміщених між найбільш віддаленою і вихідною сторонами.
Для рис. 2.7  слід прийняти  , m=5'', n=4.
Розрахунок виконують двічі: від двох вихідних сторін. Отримують величини  і  .
За остаточне значення беруть середнє вагове з двох значень:
|
|
(2.18)
|
Якщо ця величина не перевищує граничного значення, то роблять висновок, що запроектований ряд трикутників відповідає необхідним технічним вимогам (для вище розглянутого прикладу відносна помилка визначення довжини в найбільш слабкому місці мережі тріангуляції 1 розряду не повинна перевищувати 1:20000).
|