ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ. ДІЛЬНИКИ ТА КРАТНІ

Скачати 67.19 Kb.

Назва	ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ. ДІЛЬНИКИ ТА КРАТНІ
Дата	22.12.2013
Розмір	67.19 Kb.
Тип	Документи

www.ostriv.in.ua/index.php?option=com_content&task=view&id=3972& ..
ПОДІЛЬНІСТЬ ЧИСЕЛ. ДІЛЬНИКИ ТА КРАТНІ
Дільники числа
Дільником натурального числа а називається натуральне число, на яке а ділиться

без остачі.
Приклади:
а) число 18 має шість дільників: 1, 2, 3, 6, 9, 18;

б) число 25 має 3 дільники: 1, 5, 25;

в) число 73 має 2 дільники: 1 і 73.
Число 1 є дільником будь-якого натурального числа.
Якщо числа а і b діляться на число с, то с називається спільним дільником чисел

а і b.
Приклади:
а) число 28 ділиться на 4 і 48 ділиться на 4, значить 4 - спільний дільник чисел

28 і 48;

б) 20 ділиться на 5, а 53 не ділиться на 5, значить число 5 не є спільним

дільником чисел 20 і 53.
Знайдемо спільні дільники чисел 48 і 60.

Для числа 48 дільниками є: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Число 60 має такі дільники: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Спільними дільниками є числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Із них 12 - найбільший спільний дільник.
Найбільше натуральне число, на яке діляться без остачі числа а і b, називається

найбільшим спільним дільником цих чисел.
Ознаки подільності на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10
Правило: Якщо запис натурального числа закінчується на 0, то це число ділиться

без остачі на 10.
Якщо запис натурального числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то воно не

ділиться без остачі на 10.
Приклади:
а) 680 ділиться на 10;

б) 104 не ділиться на 10.
Правило: Якщо запис натурального числа закінчується цифрами 0 або 5, то це число

ділиться без остачі на 5.
Якщо запис числа закінчується будь-якою іншою цифрою, то число не ділиться на 5

без остачі.
Приклади:
а) 370 і 1485 діляться без остачі на 5;

б) числа 537 і 4008 без остачі на 5 не діляться.
Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 - непарними.
Натуральні числа називають парними, якщо вони закінчуються парною цифрою, і

непарними, якщо вони закінчуються непарною цифрою.
Правило: Якщо запис натурального числа закінчується парною цифрою, то це число

ділиться без остачі на 2, а якщо непарною цифрою - то число не ділиться без

остачі на 2.
Тобто, парне число ділиться на 2, непарне не ділиться на 2.
Приклади:
а) 8, 60, 574 - діляться на 2;

б) 13, 25, 1001 - не діляться на 2.
Правило: Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то й число ділиться на 3. Якщо сума

цифр числа не ділиться на 3, то й число не ділиться на 3.
Приклади:
а) 276 ділиться на 3, оскільки 2 + 7 + 6 = 15, а 15 ділиться на 3;

б) 563 не ділиться на 3, оскільки 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не ділиться на 3.
Правило: Якщо сума цифр числа ділиться на 9, то й саме число ділиться на 9. Якщо

сума цифр числа не ділиться на 9, то й число не ділиться на 9.
Приклади:
а) 5787 ділиться на 9, оскільки 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а 27 ділиться на 9;

б) 359 не ділиться на 9, оскільки 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не ділиться на 9.
Правило: Число ділиться на 4, якщо число, складене із двох останніх цифр даного

числа, ділиться на 4.
Приклади:
а) 78 536 ділиться на 4, оскільки 36 ділиться на 4;

б) 8422 не ділиться на 4, оскільки 22 не ділиться на 4.
Правило: Число ділиться на 6, якщо воно одночасно ділиться на 2 і на 3.
Приклади:
а) 2862 ділиться на 6, оскільки 2862 ділиться і на 2, і на 3;

б) 3754 не ділиться на 6, оскільки 3754 не ділиться на 3.
Прості та складені числа
Натуральне число називають простим, якщо воно має лише два дільники: одиницю і

саме число.
Натуральне число називають складеним, якщо воно має більше двох дільників.
Приклади:
а) число 9 має три дільники (1, 3 і 9), значить, воно складене;

б) число 17 має два дільники, значить, воно просте;

в) число 1 має лише один дільник - саме це число, тому воно не є ні простим, ні

складеним.
Правило: Розкласти складене число на прості множники означає записати дане число

у вигляді добутку простих чисел - дільників даного числа.
При будь-якому способі запису одержуємо один і той самий розклад, якщо не

враховувати порядку розміщення множників.
Приклади:
а) 180 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5;

б) 1368 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 19.

Розкладання чисел на прості множники використовується при знаходженні

найбільшого спільного дільника двох або більше чисел.
Найбільший спільний дільник (НСД)
Правило: Щоб знайти найбільший спільний дільник декількох натуральних чисел,

потрібно:

1) розкласти дані числа на прості множники;

2) виписати ті спільні множники, які є в розкладі кожного із чисел,

3) знайти добуток цих множників.
Приклади:
а) Знайти НСД (6600; 6300):

6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11,

6300 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7,

НСД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300;
б) Знайти НСД (34 398; 1260; 6552):

34 398 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 7 • 13,

1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7,

6552 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 7 • 13,

НСД (34 398; 1260; 6552) = 2 • 3 • 3 • 7 = 126.
При знаходженні найбільшого спільного дільника двох чисел корисно знати ще одне

правило, яке називається "алгоритмом Евкліда".
Приклад: Знайти НСД (270; 186). Поділимо 270 на 186 з остачею:

270 : 186 = 1 (ост. 84).
Потім поділимо дільник на остачу і т.д.:

186 : 84 = 2 (ост. 18),

84 : 18 = 4 (ост. 12),

18 : 12 = 1 (ост. 6),

12 : 6 = 2 (ост. 0).
Найбільшим спільним дільником чисел 270 і 186 є остання, відмінна від нуля

остача, тобто число 6.
Приклад: Знайти НСД (234; 180).

1) 234 : 180 = 1 (ост. 54),

2) 180 : 54 = 3 (ост. 18),

3) 54 : 18 = 3 (ост. 0).

Значить, НСД (234; 180) = 18.
Натуральні числа називають взаємно простими, якщо їх найбільший спільний дільник

дорівнює одиниці.
Приклади:
а) 75 і 14 - взаємно прості числа, оскільки НСД (75; 14) = 1;

б) 20, 9 і 77 взаємно прості числа, оскільки НСД (20; 9; 77) = 1.
Кратні числа
Кратним натуральному числу а називають натуральне число, яке ділиться на а без

остачі.
Приклади:
а) для числа 18 кратними є числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 і т.д.;

б) для числа 7 кратними є числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 і т.д.
Отже, треба запам'ятати:

1) будь-яке число має нескінченну кількість кратних;

2) найменшим кратним для числа є саме це число.
Спільним кратним для двох і більше чисел буде число, яке є кратним для кожного з

цих чисел.
Приклади:
а) Для числа 8 кратні: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; ... . Для числа 12 кратні: 12;

24; 36; 48; 60; 79; ... .

Таким чином, спільними кратними для чисел 8 і 12 є числа: 24; 48; 72; ... .
б) Для числа 7 кратні: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; ... . Для числа 3 кратні: 3;

6; 9; 12; 15; 18; 21; 24; ... .

Спільними кратними чисел 3 і 7 є числа: 21; 42; 63 і т.д.
Найменше спільне кратне (НСК)
Зі спільних кратних двох (або декількох) чисел виділяють те, яке є найменшим

спільним кратним цих чисел.
Приклади: Найменше спільне кратне чисел 8 і 12 дорівнює 24, а найменше спільне

кратне чисел 3 і 7 дорівнює 21.
Найменшим спільним кратним натуральних чисел а і b називають найменше натуральне

число, яке кратне і а, і b.
Треба запам'ятати:

1) якщо одне із двох натуральних чисел ділиться на друге число, то більше з цих

двох чисел є їх найменшим спільним кратним;

2) якщо два числа є взаємно простими, то найменше спільне кратне цих чисел

дорівнює їх добутку.
Приклади:
а) НСК (9; 18) = 18;

б) НСК (2; 8; 16) = 16, оскільки 8 ділиться на 2, а 16 ділиться на 8;

в) НСК (7; 10) = 70, оскільки 7 і 10 - взаємно прості числа.
У деяких випадках найменше кратне двох чисел знаходять усно.
Приклади:
а) НСК (12; 18) = 36;

б) НСК (18; 30) = 90;

в) НСК (5; 10; 12) = 60;

г) НСК (14; 8) = 56.
Але усно, наприклад, не зовсім просто знайти найменше спільне кратне чисел 360 і

825.
Правило: Щоб знайти найменше спільне кратне декількох натуральних чисел, треба:

1) розкласти їх на прості множники;

2) виписати множники, що входять у розклад (краще найдовший) одного з чисел;

3) дописати до них ті множники, що є в розкладі інших чисел;

4) знайти значення утвореного добутку.
Приклад: Знайдемо найменше спільне кратне чисел 360 і 825, користуючись цим

правилом.

1) 360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5,

825 = 3 • 5 • 5 • 11;

2) випишемо найдовший розклад:

2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5;
3) допишемо до нього множники з другого розкладу, яких не вистачає: 5 і 11;

4) НСК (360; 825) = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 11 = 19 800.

Зауважимо, що немає необхідності перемножувати всі числа, оскільки 2 • 2 • 2 • 3

• 3 • 5 = 360 і треба просто виконати множення 360 • 55.
Приклад: Знайти найменше спільне кратне чисел 2940; 550 і 63.

2940 = 2 • 2 • 3 • 5 • 7 • 7,

550 = 2 • 5 • 5 • 11,

63 = 3 • 3 • 7;

Треба знати, що добуток найменшого спільного кратного двох чисел і найбільшого

спільного дільника цих чисел дорівнює добутку самих цих чисел, тобто
НСК (a; b) • НСД (a; b) = a • b
або

Приклади:
а) Знайти НСК (20; 48).

Очевидно, що НСД (20; 48) = 4, то

б) Знайти НСК (72; 60).

НСД (72; 60) = 12, тоді

Схожі:

Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел	Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел	Уроку І. Перевірка домашнього завдання Мета. Учити учнів знаходити спільні дільники кількох чисел, засвоїти алгоритм знаходження НСД
Тема. Дільники натурального числа З чисел 5629; 4305; 6328; 3540; 9006; 81900; 123456; 24369; 70209; 8765430 виписати ті, які діляться	Тема: Подільність чисел. Ознаки подільності Які числа слід підставити замість букв a, b, c і d, щоб всі рівності виявилися вірними
Урок №2 Тема. Ознаки подільності чисел Мета: систематизувати інтуїтивні знання учнів про ознаки подільності, відомі їм з початкової школи (подільність на 2, 5, 10) та...	Урок №1 Тема. Дільники натурального числа. Прості і складені числа Оскільки теми «Ділення натуральних чисел» і «Ділення десяткових дробів» була опрацьована учнями в 5 класі на достатньому рівні,...
Дипломної педагогіческої освіти. Математична логіка Матеріал розбито на теми. Важливими темами є: «Подільність чисел», «Комбінаторні задачі», «Задачі – забави», «Задачі – казки», «Принцип...	Урок в 6 класі Тема. Найбільший спільний дільник кількох чисел ( НСД) Мета: сформулювати поняття спільного дільника кількох чисел, найбільшого спільного дільника, взаємно простих чисел; домогтися засвоєння...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання