7. Циліндром, вписаним у призму, на­зивають циліндр, кола основ якого вписані в осно­ви призми, а бічна поверхня циліндра дотикається до бічних граней призми. У такому випадку при­зма є описаною навколо циліндра. О значення 8

Розділ 3. КОМБІНАЦІЇ ТІЛ ОБЕРТАННЯ ТА МНОГОГРАННИКІВ Означення 7. Циліндром, вписаним у призму, на­зивають циліндр, кола основ якого вписані в осно­ви призми, а бічна поверхня циліндра дотикається до бічних граней призми. У такому випадку при­зма є описаною навколо циліндра. Означення 8. Циліндр називають вписаним на­вколо призми, якщо кола його основ описані навко­ло основ призми, а твірні збігаються з бічними ребрами призми. У цьому випадку призма є вписа­ною в циліндр. Означення 9. Конусом, уписаним у піраміду, на­зивають конус, коло основи якого вписане у мно­гокутник основи піраміди, вершина збігається з вершиною піраміди, а бічна поверхня конуса доти­кається до бічних граней піраміди. Піраміда в цьо­му випадку є описаною навколо конуса. Означення 10. Конус називають описаним на­вколо піраміди, якщо коло його основи описане на­вколо основи піраміди, вершина збігається з вер­шиною піраміди, а твірні конуса збігаються з бічни­ми ребрами піраміди. У цьому випадку піраміда є вписаною в конус. Щодо висот конуса і піраміди, то вони збіга­ються (на основі єдиності прямої, перпендику­лярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині). Очевидним є те, що радіус вписаного в основу піраміди кола, прове­дений у точку дотику, перпендикулярний до сто­рони многокутника, який лежить в основі пірамі­ди, і є проекцією твірної конуса на площину ос­нови. Розглянемо для прикладу задачу на комбінацію циліндра і призми. Задача 1. В основі прямої призми лежить пря­мокутний трикутник з гіпотенузою с і гострим ку­том β. Діагональ грані, що містить протилежний даному куту катет, нахилена до площини основи під кутом α. Знайти площу бічної поверхні цилінд­ра, вписаного в дану призму. Розв'язання Нехай в основі прямої призми лежить трикут­ник АВС, в якому С = 90°, В = β, АВ = с. Проекцією діагоналі АС1 на площину основи є відрізок АС. Тому за умовою С1АС = α. Висота Н циліндра, вписаного в дану призму, дорівнює ви­соті призми, а радіус r основи — радіусу кола, впи­саного в трикутник АВС. Площа бічної поверхні вписаного циліндра Sб = 2πrН . З трикутника АВС: АС = с sinβ, BС = с соsβ. Тоді SABC = АС ∙ ВС = с2 sіnβ ∙ соsβ = с2 sіn 2β. З другого боку, SABC = pr, де р — півпериметр трикутника АВС. Оскільки p = (с + c sinβ + c cosβ) = (1 + sinβ + cosβ), то . З трикутника АСС1: СС1 = Н = АСtgα = сsinβ∙tgα. Отже, . Відповідь. . Задача 2. В основі піраміди лежить трикутник зі стороною с і прилеглими кутами α і β. Усі бічні ребра нахилені до площини основи під кутом φ. Знайти площу бічної поверхні конуса, описано­го навколо піраміди. Розв'язання Нехай в основі піраміди лежить трикутник АВС, в якому АВ = с, А= α, В = β, SO — висота піраміди. Проекціями бічних ребер SА, SВ, SС на площи­ну основи є відповідно відрізки ОА, ОВ, ОС. За умовою задачі SАО = SВO = SСO = φ. Трикутники SАO, SВO, SСO рівні, оскільки вони прямокутні, мають спільний катет SO і рівні гострі кути. Звідки ОА=ОВ= =ОС, тобто точка О є цен­тром кола, описаного навколо трикутника АВС. З рівності зазначених трикутників випливає, що SА = SВ = SС. Отже, навколо даної піраміди можна описати конус. Бічні ребра піраміди є твірними цього конуса, а R = ОС — радіусом основи. Площа бічної поверхні конуса S6 = πRl, де l — твірна конуса. З трикутника АВС за наслідком з теореми си­нусів знаходимо: , З трикутника SОС (O = 90°): . Тоді . Відповідь. . Задачі для самостійного розв'язування Задача 1. а) Основою прямої призми є трикут­ник зі стороною с та прилеглими до неї кутами α і β. Діагональ бічної грані призми, що містить дану сторону трикутника, нахилена до площини основи під кутом γ. Знайти об'єм циліндра, описаного навколо призми. б) Основою прямої призми є прямокутний три­кутник з гострим кутом β. Діагональ бічної грані призми, що містить прилеглий до цього кута катет трикутника, дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом α. Знайти об'єм циліндра, опи­саного навколо призми. Задача 2. а) Основою прямої призми є прямо­кутник з меншою стороною а і кутом β між діаго­налями. Діагональ призми утворює з площиною основи кут α. Знайти об'єм циліндра, описаного навколо цієї призми. б) В основі прямої призми лежить ромб з гос­трим кутом α. Менша діагональ призми дорівнює l і нахилена до площини основи під кутом β. Знайти об'єм циліндра, вписаного в дану призму. Задача 3. а) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, діагональ якої є бісектрисою гострого кута α. Діагональ призми дорівнює b і нахилена до площини основи під кутом β. Знайти об'єм циліндра, описаного навколо призми. б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція, діагональ якої b є бісектрисою тупого кута β. Знайти об'єм циліндра, описаного навколо да­ної призми. Задача 4. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з гострим кутом α. Більша діагональ призми дорівнює а і нахилена до пло­щини основи під кутом β. У дану призму вписано циліндр. Знайти об'єм цього циліндра. б) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з меншою діагоналлю b і тупим кутом β. Менша діагональ призми утворює з площиною ос­нови кут α. Удану призму вписано циліндр. Знайти об'єм цього циліндра. Задача 5. а) В основі прямої призми лежить прямокутна трапеція з гострим кутом α. Діагональ призми дорівнює l і утворює з площиною основи кут β. Знайти площу бічної поверхні цього цилін­дра. б) В основі прямої призми лежить рівнобічна трапеція з діагоналлю d і тупим кутом β. Діаго­наль призми утворює з площиною основи кут α. У дану призму вписано циліндр. Знайти площу бічної поверхні цього циліндра. Задача 6. а) Усі бічні ребра трикутної піраміди нахилені до площини основи під кутом α. Точка висоти піраміди, що знаходиться на відстані а від вершини піраміди, рівновіддалена від її бічного ребра і площини основи. Знайти об'єм конуса, опи­саного навколо цієї піраміди. б) Усі бічні ребра трикутної піраміди рівні. Точ­ка висоти піраміди, що знаходиться на відстані b від площини основи, рівновіддалена від кінців бічного ребра. Відрізок, що сполучає цю точку з вершиною основи, якій відповідає кут α, нахиле­ний до площини основи під кутом β. Знайти об'єм конуса, описаного навколо цієї піраміди. Задача 7. а) Усі двогранні кути при основі піра­міди рівні між собою. Точка висоти піраміди, що знаходиться на відстані а від гіпотенузи основи, рівновіддалена від бічної грані і площини основи піраміди. Перпендикуляр, проведений з цієї точки до одного з катетів основи, утворює з площиною основи кут α. Знайти об'єм конуса, вписаного в дану піраміду. б) Усі двогранні кути при основі трикутної піра­міди дорівнюють α. Точка висоти піраміди, що знаходиться на відстані а від площини основи, рівновіддалена від вершини піраміди і гіпотенузи основи. Знайти об'єм конуса, вписаного в дану піра­міду. Задача 8. а) В основі піраміди лежить рівнобедрений трикутник з основою а і кутом β при вер­шині. Усі двогранні кути при основі піраміди до­рівнюють γ. Знайти об'єм конуса, вписаного в дану піраміду. б) В основі піраміди лежить рівнобедрений три­кутник з бічною стороною b і кутом β при основі. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівню­ють α. Знайти площу бічної поверхні конуса, впи­саного в дану піраміду. Задача 9. а) В основі піраміди лежить трикут­ник з кутами α і β. Усі двогранні кути при основі піраміди дорівнюють γ. Відстань від основи висо­ти піраміди до вершини третього кута трикутника дорівнює b. Знайти об'єм конуса, вписаного в дану піраміду. б) В основі піраміди лежить гострокутний три­кутник з кутами α і β. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини основи під кутом γ. Відстань від основи висоти піраміди до спільної сторони заданих кутів трикутника дорівнює а. Знайти об'єм конуса, описаного навколо даної піраміди. Задача 10. а) Основою піраміди є рівнобічна трапеція з гострим кутом α. Діагональ трапеції пер­пендикулярна до бічної сторони. Усі бічні ребра піраміди утворюють з її висотою кут β. Відстань від основи висоти піраміди до бічної сторони тра­пеції дорівнює b. Знайти площу бічної поверхні конуса, описаного навколо даної піраміди. б) У піраміду, в основі якої лежить рівнобічна трапеція з тупим кутом β, вписано конус. Усі дво­гранні кути при основі піраміди дорівнюють γ. Відстань від основи висоти піраміди до вершини тупого кута трапеції дорівнює а. Знайти площу бічної поверхні конуса. Крім розглянутих, можливі й інші комбінації геометричних тіл (циліндр і піраміда, конус і при­зма, призма і піраміда, кульовий сегмент і піраміда та інші). Як правило, взаємне розміщення геометричних тіл у таких комбінаціях задається умовою задачі, що й обумовлює в кожному конкретному випадку спосіб пояснення. Приклади таких задач можна знайти у різних посібниках, зокрема у збірниках конкурсних задач для вступників до вищих навчаль­них закладів.

Схожі: