Уроку

Розв'язання задачі № 45

Нехай SABC — піраміда, у якої АВС — основа, (АВС) (рис. 66). Проводимо ОМАВ, ONBC, ОРАС, тоді SMAB, SNВС, SPAC. (?) Отже, <SMO = <SNO = = =10(см)(?).

(см) (?).

Із ΔSON : SO = ON tg 2tg60° = 2(см) (?).

Відповідь. 2см.

Розв'язання задачі. № 49

Нехай SOABC — піраміда; ОАВС — квадрат; АВ = 20 дм; SO (АВС); SO = 21 дм (рис. 67).

S_біч = S_SOC + S_SOC + S_SBC + S_SAB. ΔSOA = ΔSOC. (?) ΔSCB = ΔSAB. (?)

S_біч = 2S_SOA + 2S_SAB.(?) S_SOA = OA · OS = · 20 · 21 = 210 (дм²). (?)

Із ΔSOA: SA = = 29 (дм). (?) ΔSAB — прямокутний (?), тоді: S_ABC = SA · АВ = · 29 · 20 = 290 (дм²). (?)

S_біч = 2 · 210 + 2 · 290 = 2 · 500 = 1000 (дм²) = 10 (м²).

Відповідь. 10 м².

II. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу

Правила зображення піраміди

Зображення піраміди можна починати із зображення її основи. Пра­вила зображення многокутників нам відомі. Згадаємо їх.

Запитання до класу

1) Як зображуються рівносторонній, рівнобедрений, прямокутний трикутники?

2) Що є зображенням паралелограма (прямокутника, ромба, квадрата)?

3) Що є зображенням трапеції (рівнобічної, прямокутної)?

4) Що є зображенням довільного чотирикутника (не паралелограма і не трапеції)?

5) Що є зображенням правильного шестикутника?

Після зображення основи позначають вершину піраміди, яку сполу­чають бічними ребрами з вершинами основи, невидимі ребра зобража­ють штриховими лініями. Для більшої наочності рисунка висоту пірамі­ди зображають «вертикальним відрізком».

Виконання вправ

1. Побудуйте зображення тетраедра.

2. Побудуйте зображення чотирикутної піраміди, в основі якої ле­жить прямокутник, а основа висоти є точкою перетину діагоналей прямокутника.

3. Побудуйте зображення трикутної піраміди, в основі якої лежить пра­вильний трикутник, а основа висоти є центром трикутника основи.

4. Побудуйте зображення чотирикутної піраміди, в основі якої ле­жить квадрат, а одне з бічних ребер перпендикулярне до основи.

5. Побудуйте зображення чотирикутної піраміди, в основі якої ле­жить ромб, а одна бічна грань піраміди перпендикулярна до пло­щини основи.

Правила побудови перерізів піраміди

Побудова перерізу піраміди зводиться, як правило, до побудови пря­мих, які є прямими перетину заданої січної площини з площинами гра­ней піраміди.

Виконання вправ

1. Побудуйте переріз піраміди SABC площиною MNK (рис. 68, с. 65)

2. Побудуйте переріз піраміди SABC площиною, яка проходить через точки Μ, Ν, Κ — середини ребер SB, ВС, АС відповідно (рис. 69, с. 65). Перерізами піраміди площинами, які проходять через її вершину є трикутники (рис. 70).

Діагональним перерізом піраміди називається переріз піраміди пло­щиною, яка проходить через два несусідні бічні ребра піраміди (рис. 71).

Виконання вправ

1. Доведіть, що діагональні перерізи піраміди — трикутники.

2. Скільки діагональних перерізів можна провести в п-кутній піраміді (п > 3) ?

(Відповідь. .)

3. Доведіть, що переріз, який проходить через висоту піраміди, перпендику-лярний до площини її основи.

4. Побудуйте переріз тетраедра SABC площиною, яка проходить через ребро SC і точку перетину медіан грані АВС. (Відповідь. Рис. 72).

5. Знайдіть точку перетину прямої KM з площиною основи піраміди SABC (рис. 73).

6. Побудуйте пряму перетину площини KMN з площиною основи пі­раміди SABC (рис. 74). (Відповідь. Шукана пряма ХК, рис. 75.)

При побудові перерізів піраміди січною площиною використовують метод слідів та метод внутрішнього проектування. Згадаємо суть методу слідів при побудові перерізів:

1) будується лінія перетину (слід) січної площини з площиною грані;

2) знаходяться точки перетину січної площини з ребрами многогранника;

3) будується переріз (послідовно з'єднуємо одержані точки).

Розглянемо приклад.

Задано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною MNK, де Μ AS, N SD, Κ SB (рис. 76).

Розв'язання

МК — слід (MNK) на (SAB). Знайдемо точку Χ перетину прямої МК і прямої АВ (рис. 77).

ΜΝ — слід (ΜΝΚ) на (SAD). Знайдемо точку У перетину прямої MN і прямої AD:

XY — слід (MNK) на (АВС). Точки Ρ і L — точки перетину ΧΥ з ребрами DC і СВ.

Відповідь. LKMNP — шуканий переріз.

Далі розглядається задача на побудову перерізу піраміди площиною, яка задана точкою А на поверхні піраміди і слідом g січної площини на площині її основи із п. 48 § 5 підручника.

Крім методу слідів для побудови перерізів піраміди можна викорис­тати метод внутрішнього проектування (центрального). Суть методу по­лягає в наступному:

1) будуються центральні проекції точок, що задають переріз, на пло­щину основи; на основі вибирається четверта точка — одна із вер­шин основи, яка служить проекцією однієї із вершин перерізу;

2) проводяться діагоналі одержаного чотирикутника;

3) на одній із прямих перерізу будується точка, проекцією якої є точ­ка перетину діагоналей чотирикутника;

4) за допомогою побудованої точки знаходиться вершина перерізу.

Розглянемо приклад.

Задано піраміду SABCD. Побудуйте переріз піраміди площиною MNK, де Μ AS, N SD, Κ SB (рис. 78).

Розв'язання

Центральними проекціями точок Μ, Ν, Κ на площину АВС є точки A, D, В. У чотирикутнику ABCD проведемо діагоналі АС і BD, які пере­тинаються в точці О(рис. 79).



Прямі SO і NK перетинаються в точці X, центральною проекцією якої є точка О. Знаходимо точку L — точку перетину прямих MX і SC.

Відповідь. LKMN — шуканий переріз.

III. Домашнє завдання

§ 5, п. 48; контрольні запитання № 28—30; задачі № 50—52 (с. 80).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Якою фігурою є переріз піраміди площинами, які проходять через її вершину?

2) Що таке діагональний переріз піраміди?

3) Якою фігурою є діагональний переріз піраміди? Чому?

4) Які методи побудови перерізів піраміди вам відомі? У чому їх суть?

1 Знаком (?) позначено в розв'язанні місця, які потребують теоретичного обґру­нтування.

Роганін Геометрія 11 клас, Урок 11