КУРС ЛЕКЦІЙ з дисципліни “ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНИХ ПРОЦЕСІВ ГАЛУЗІ” для студентів спеціальності 091709 “Технологія зберігання, консервування та переробки молока”

В чому суть методу Гауса – Зайделя при оптимізації технологічних процесів?

• 
  В чому полягає сутність методу крутого сходження при вирішенні оптимізаційних задач.
  
• 
  Наведіть сутність симплекс – методу вирішення оптимізаційних задач. В яких випадках рекомендується його застосування?
  
  
  ЛЕКЦІЯ № 11
  
  ПОБУДОВА І РЕАЛІЗАЦІЯ ПЛАНІВ ДРУГОГО ПОРЯДКУ.
  
  1. . Принципи композиційного планування.
  
  2. Центральні композиційні ортогональні плани другого порядку (ЦКОП).
  
  3. Центральні композиційні ротатабельні плани другого порядку (ЦКРП).
  
  4. Прийняття рішень за планами другого порядку
  
  Принципи композиційного планування.
  
  Після досягнення області оптимуму перед дослідником може стояти задача - вивчити поверхню відгуку.
  
  Описати область оптимуму лінійним рівнянням регресії не вдається, тому що поверхня відгуку поблизу області оптимуму має значну кривизну.
  
  Область оптимуму описується поліномами більш високих порядків. Найпоширенішими серед яких є рівняння другого порядку:
  
  Y=β₀ +∑β_і x_і +∑β_іj x_і x_j +∑β_іі x_і².
  
  Для визначення оцінок коефіцієнтів рівняння другого порядку треба провести експеримент таким чином, щоб кожен фактор варіювався хоча б на 3-х рівнях. Реалізація планів типу З^k вимагає виконання достатньо великого числа дослідів, якщо k>3.
  
  Доведено, що доповнивши дворівневий план повного факторного експерименту так званими зоряними точками і дослідами в центрі плану факторного простору, можна одержувати плани 2-го порядку з меншим числом дослідів, аніж плани типу З^k .
  
  Загальне число дослідів N при такому плануванні становить:
  
  N=2^k + 2k + N₀,
  
  де 2 - число дослідів у ПФЕ,
  
  2k - число зоряних точок,
  
  Nо - число нульових точок, тобто точок у центрі плану.
  
  Таким чином, плани повного факторного експерименту (ПФЕ) використовуються як ядро, на якому добудовується конструкція плану другого порядку.
  
  Потрапивши в область екстремуму, реалізують ПФЕ, перевіряють гіпотезу лінійної апроксимації і, переконавшись в її неспроможності (лінійна модель неадекватна), роблять наступний крок: добудовують план факторного експерименту до плану 2-го порядку, реалізують його і перевіряють гіпотезу про адекватність рівняння 2-го порядку.
  
  Плани, побудовані таким чином, називаються центральними і композиційними, їхня побудова проводиться послідовними кроками. При побудові плану 2-го порядку область експерименту розширюється. На рисунку 14 наведена схема розташування точок факторного простору в центральних композиційних планах другого порядку.
  
  
  d
  
  d
  де 1 - 4 - досліди ядра плану, тобто ПФЕ 2²;
  
  5 - 8 - зоряні точки плану 2-го порядку;
  
  N₀ - досліди в центрі плану.
  
  Рис. 14 Розташування точок факторного простору в композиційних планах другого порядку.
  В інженерній практиці широко застосовують центральні композиційні ортогональні (ЦКОП) і ротатабельні (ЦКРП) плани другого порядку.
  
  Вибір плеча зоряних точок d і числа нульових точок N₀ залежить від критерію оптимальності плану експерименту.
  
  Плече d можна вибирати таким чином, щоб план залишався ортогональним, або таким чином, щоб задовольняти критерію ротатабельності.
  Центральні композиційні ортогональні плани другого порядку (ЦКОП)
  
  Для одержання ортогональних планів другого порядку необхідно перетворити стовпці квадратів змінних і стовпець Хо:
  
  .
  
  Величина φ залежить від числа факторів k і плеча зоряних точок d:
  
  
  
  де , тому що в планах ЦКОП завжди N₀=1. Формули для визначення φ і d мають наступний вигляд:
  
  
  
  
  
  Наприклад, ЦКОП для різної кількості дослідів, наведено в табл.10.
  
  Забезпечивши ортогональність плану, одержуємо можливість визначати коефіцієнти регресії незалежно один від одного за наступними формулами:
  
  ,
  
  де i – номер стовпця в матриці планування,
  
  X_iu – елементи i-го стовпця матриці планування.
  Таблиця 10
  
  ЦКОП для різної кількості дослідів
  

,	, , де Sy2 – дисперсія відтворюваності, при рівномірному дублюванні дослідів за розрахунками ПФЕ Sy2=S02, число ступенів вільності f=2k.
,	.
,	.
,	.

Колонка в матриці планування	значення при ядрі плану типу
	22	23	24	25	26	27
X0	9	15	25	43	77	143
Xi	6	10,9544	20	37,0944	70,1994	135,2924
Xij	4	8	16	32	64	128
	2	4,364	8	16,767	19,217	26,589