Деякі приклади штучних способів розв'язування цілих раціональних рівнянь та розв'язування ірраціональних рівнянь методом заміни

Деякі приклади штучних способів розв'язування цілих раціональних рівнянь та розв'язування ірраціональних рівнянь методом заміни (заняття математичного гуртка) Однією з форм позакласної роботи з математики в школі є математичні гуртки. У таких гуртках учні розширюють і поглиблюють набуті на уроках знання з математики, доповнюють ці знання відомостями,які виходять за межі навчальної програми, навчаються працювати над математичними проблемами, читати математичну літературу тощо. Це сприяє підвищенню їх математичної культури, розширенню математичного кругозору, прищепленню інтересу до вивчення математики. Подані нижче приклади розв'язування рівнянь вчителі математики можуть використати на заняттях математичних гуртків із своїми учнями. 1.Розв'язати рівняння Р.Декарта (1596-1650) -4-19+106х-120=0. Розв'язання. -4-19+76х+30х-120=0; (х-4)-19х(х-4)+30(х-4)=0; (х-4)(х³-19х+30)=0. Звідки: х-4=0; х=4 і х³-19х+30=0. Розв'яжемо рівняння х³-19х+30=0; х³-9х-10х+30=0; х(х²-9)-10(х-3)=0; х(х-3)(х+3)-10(х-3)=0; (х-3)(х²+3х-10)=0; =3;х3=-5;х4=2. Відповідь.-5;2;3;4. 2. Розв'язати рівняння х4-8х2-800х=9984. Розв'язання. х4-8х2+16-800х=1000; (х2-4)2-800х=1000; (х-2)2(х+2)2+100((х-2)2-(х+2)2)=1000; (х-2)2(х+2)2+100(х-2)2-100(х+2)2-1000=0; (х-2)2( (х+2)2+100)-100((х+2)2+100)=0; ((х+2)2+100)((х-2)2-100)=0. Оскільки (х+2)2+100>0, то (х-2)2-100=0. Звідси: х-2=±10;х1=-8; х2=12. Відповідь.х1=-8; х2=12. 3.Розв'язати рівняння (2х2+х-5)+3(2х2+х-1)-10=0. Розв'язання. Робимо заміну 2х2+х-5=у, тоді 2х2+х-1=у+4; У2+3(у+4)-10=0; У2+3у+2=0; у1=-2; у2=-1. Враховуючи зроблену заміну, маємо: 2х2+х-5=-2 і 2х2+х-5=-1; 2х2+х-3=0 і 2х2+х-4=0. Звідки х1,2=; х3,4=. Відповідь.х1=1; х2=1; х3,4=. 4.Розв'язати рівняння (х-2)(х+1)(х+4)(х+7)=19. Розв'язання. У лівій частині цього рівняння перемножимо (х-2) на (х+7) і (х+1) на(х+4). Дістанемо (х2+5х-14)(х2+5х+4)=19. Робимо заміну х2+5х-14=t, тоді рівняння набере вигляду t(t+18)=19, або t2+18t-19=0. Звідки t1=-19, t2=1. Враховуючи заміну, маємо: х2+5х-14=-19 і х2+5х-14=1, або х2+5х+5=0 і х2+5х-13=0. Звідки х1 , 2=; х3,4= . Відповідь. Х1,2= ; х3,4= . 5.Розв'язати рівняння (3х2+7х-2)2+5х2(3х2+7х-2)-24х4=0. Розв'язання. Очевидно, що х≠0. Поділимо обидві частини рівняння на х4.Дістанемо + -24=0. Після заміни =t рівняння набере вигляду t2+5t-24=0 . Звідки t1=-8, t2=3. Отже,дане рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь =-8 і=3. Або 11х2+7х-2=0 і 7х-2 =0. Звідки х1,2 = ; х3 = . Відповідь. Х1,2 = ; х3 =. 6.Розв'язати рівняння (х+5)4+(х-1)4= 402. Розв'язання. Середнє арифметичне чисел 5 і -1 дорівнює 2. Зробимо заміну х= t-2. Тоді рівняння набере вигляду (t+3)4+ (t-3)4 = 402, або t4+12t3+54t2+108t+81+ t4-12t3+54t2-108t+81=402; 2t4+108t2+162 = 402; Звідки t2 = -27+ t1,2 = ± Але х = t-2, х1,2 = ±-2. Відповідь. Х1,2 = ±-2. 7.Розв'язати рівняння Х4+12х-5 = 0. Розв'язання. Запишемо дане рівняння у вигляді х4+4х2+4-4х2+12х-9 = 0, або (х2+2)2-4(х2-3х+2,25) = 0; (х2+2)2-4(х-1,25)2= 0; (х2+2-2(х-1,5))(х2+2+2(х+1,5)) = 0; (х2+2-2х+3)(х2+2+2х-3) = 0; (х2-2х+5)(х2+2х-1) = 0. Звідки х2-2х+5 = 0 і х2+2х-1= 0. Рівняння х2-2х+5 = 0 дійсних коренів не має. х1,2 = -1± . Відповідь. х1,2 = -1± . Далі розглянемо кілька прикладів на застосування методу введення нової змінної до розв'язування ірраціональних рівнянь. Розв'язати рівняння -3+2= 0. Розв'язання. Очевидно, що одним з коренів даного рівняння буде х = 0. Робимо заміну = t, t0. Тоді рівняння набере вигляду t5-3t6+2t4 =0, або t4(t-3t2+2) = 0, t4(3t2-t-2) = 0. Останнє рівняння має два різні невід'ємн ікорені t1 = 0 i t2 = 1. Отже, = 0 і = 1. Звідки х1 = 0 і х2 = 1. Відповідь. х1 = 0, х2 = 1. 2. Розв'язати рівняння 5х2-2х-1-4= 0. Розв'язання. Очевидно, що х≠ 0 і х- . Обидві частини рівняння ділимо на х2.. Одержимо: 5- - = 0. Робимо заміну = t. Тоді t2+4t – 5 = 0. Звідки t1 = 1, t2 = -5. Отже, дане рівняння еквівалентне сукупності двох рівнянь = 1 і = -5. Розв'язавши далі отримані рівняння, знайдемо шукані корені. =1, х2- 2х – 1 = 0, х1,2 = 1±. і = -5. Умову хзадовольняє лише 1+. = -5, тут хі х. 25х2-2х-1 = 0, х3,4 = . Умови задовольняє . Відповідь. х1 =1+; х2 = . 3.Розв'язвти рівняння =4. Розв'язання. Очевидно, х≠ 2. Поділимо ліву частину рівняння на дістанемо: = 4. Зробимо заміну = t. тоді = t3. Звідси 8-х = t3(х-2) і х = . Обчислимо х-2 і 8-х : х-2 = - 2 = = ; 8-x = 8- = = . Підставляємо в попереднє рівняння. Отримаємо: = 4; = 4;= 4; = 4; 4t²-4t+4 = 6t; 2t²-5t+2 = 0; t1=2; t2= . Оскільки х = , то х1= = 2; х2 = = 7. Відповідь. х1 = 2; х2 = 7. 4.Розв'язати рівняння + = . Розв'язання. Обидві частини даного рівняння піднесемо до квадрату. Дістанемо: + + = 3, або + -3 = 0. Робимо заміну = t. Тоді матимемо: 8t²+2t-3 = 0, звідки t1 = ; t2= - . Враховуючи зроблену заміну, дістанемо два рівняння: = і = - , або х= 2 і 3х= -4. Розв'яжемо ці рівняння , враховуючи ОДЗ даного рівняння х2і те , що корені першого рівняння задовольняють умову х> 0, а другого − умову х0 . х2(8-х) = 4, х4-8х+4 = 0, х1 = , х2 = . Корені другого рівняння не задовольняють вище вказані умови. Відповідь. х1 = ; х2 = . Література 1.В.І.Коба, О.О.Хмура. Позакласна робота з математики в школі. К. «Радянська школа». 1968. 2.Я.Л.Каплан. Рівняння. «Радянська школа». К. 1968. 3. Г.П.Бевз, В.Г.Бевз. Алгебра .Підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів. К. «Зодіак- ЕКО». 2007.

Схожі: