Уроку. №10

Скачати 75.01 Kb.

Назва	Уроку. №10
Дата	22.12.2013
Розмір	75.01 Kb.
Тип	Урок

bibl.com.ua > Інформатика > Урок

УРОК 9

Тема уроку: Похідна складеної функції.

Мета уроку: Формування поняття складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції.

І. Перевірка домашнього завдання.

1. Учні перевіряють правильність виконання домашніх вправ за записами, зробленими до початку уроку.

№ 10

1) у' = (х¹⁰ + х⁵ + х)' = (х¹⁰)' + (х⁵)' + х = 10х⁹ + 5х⁴ +1;

3) y ' = (2x² +

x – 5²)' = (2x²)' + (

x)' – (5²)' = 2(x²)' +

x' – 0 = 4x +;

5) у' = (х² sin x)' = (x²)' · sin x + x² (sin x)' = 2х sin x + x² cos x;

7) y' = ( + )' = ()'+()' = + 0 = .

2. Самостійна робота.

Варіант 1

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х_о:

а) f(x) = , х_о = -1. (2 бали) б) f(x) = х cos x, х_о = π. (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (x² - 1)(х³ + x). (2 бали) б) у =

. (2 бали) в) у =

· (4 бали)

Варіант 2

1. Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х_о:

а) f(x) = , х_о = -1. (2 бали) б) f(x) = x·sin x, х_о =· (2 бали)

2. Знайдіть похідну функції:

а) у = (х² + 1)(х³ - 1). (2 бали) б) у = · (2 бали) в) у = +· (4 бали)

Відповідь:

В-1. 1. а) -; б) -1. 2. а) у'=5х⁴-1;

B-2.1.a)

; б)1. 2. а) у'=5х⁴+3х²-2х;

IV. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню χ значення функції у, яка задана формулою у =

.

Для цього спочатку треба обчислити за заданим значенням х значення u = g(x) = 9 – x², а потім за значенням u обчислити у = f(u) = .

!Отже, функція g ставить у відповідність числу x число u, а функція f — числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функцій g і f, і пишуть у = f(g(x))·

Функцію g(x) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) — зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції у = f(g(x)) в довільній точці х, спочатку обчислюють значення й внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію у = . Вона є складеною із функцій u = cos х, у = , де cos x — внутрішня функція, — зовнішня функція.

Приклад 3. Запишіть складені функції f(g(x)) і g(f(x)), якщо f(x) = sin х, g(x) = x².

Розв'язання

f(g(x)) = sin g(x) = sin x²;

g(f(x)) = (f(x))² = (sinx)² = sin² х.
Виконання вправ

1. Задайте формулами елементарні функції f і g, із яких побудована складена функція у = f(g(x)):

а) у = cos (2х + 3); б) у = (2x + 3)⁷; в) у = ; г) у = sin² x.

Відповіді: а) u = g(х) = 2х + 3; y = f(u) = cos u;

б) и = g(x) =2х+3; у = f(u) = u⁷;

в) u = g(x) =х² +2х; у = f(и) =;

г) u = g(x) = sin x; у = f(u) = u².
2. Дано функції: f(x) = sin x; g(x) =; h(x) = x⁵ + 1. Побудуйте функції:

а) у=f(g(x)); б) у=f(h(x)); в) у = g(f(x)); г) у = g(h(x)); д) у= h(f(х)); є) у = h(g(x)).

Відповіді: а) у = sin g(x) = sin; б) y = sin h(x) = sin(x⁵ +1);

в) y = =; г) y = = ;

д) у = f⁵(x) +1 = sin⁵ x +1; є) y = g⁵(x) +1 = ()⁵ +1 =x² + 1.

У складеній функції у = f(g(x)) присутня проміжна змінна u=g(x). Тому при знаходженні похідної складеної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні позначення:

— похідна функції у по аргументу x;

— похідна функції у по аргументу u;

— похідна функції u по аргументу x.
Теорема. Похідна складеної функції у == f(g(x)) знаходиться за формулою

де u = g(x),

або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішній функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція u = g(x) має похідну в точці x_o, а функція у = f(u) має похідну в точці u_o = g(x_o), тобто існують границі

і

Δu = g(x_o + Δx) - g(x_o)

0.

Нехай аргументу x_o надано приросту Δx, тоді змінна u набуде приросту Δu

0. Поскільки g(x) одержала приріст Δu, то функція у також одержить приріст Δy = f(u + Δu) – f(u). Приріст Δx зумовив виникнення приросту Δu і Δy.

Подамо

. Перейдемо до границі при Δx → 0 (при цьому Δu→0).

або

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3x³ – 1)⁵.

Розв'язання

у = (3х³ – 1)⁵ — складена функція у = u⁵, де u = 3x³ – 1, тоді y' = (u⁵)' · (3х³ – 1)’ = 5u⁴ · 9х = 5(3х³ -1)⁴ · 9х = 45х(3х³ – 1)⁴.

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов'язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u⁵ на похідну від функції 3х³ – 1:

у' = ((3x³ – 1)⁵)' = 5(3х³ -1)⁴ · (3x³ – 1)' = 5 · (3x³ – 1)⁴ · 9x = 45x(3x³ – 1)⁴.
Приклад 2. Знайдіть похідні функцій:

а) у = ; б) у = sin (3х + 5); в) у = cos²x; г) y = cos x².

Розв'язання

б) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

в) у = (cos² x)' = 2 cos x· (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

г) y’ = (cos x²)' = - sin x² · (x²)' = -2x sin x².
Виконання вправ____________________________

1. Знайдіть похідні функцій:

а) у = (3х + 2)⁵⁰; б) у = (6 - 7х)¹⁰; в) у =

; г) у =

.

Відповідь: а) у' = 150 · (3х + 2)⁴⁹; б) у' = -70 · (6 – 7x)⁹;

2. Знайдіть похідні функцій:

а) у' = cos 6x; б) y = sin³ x; в) у =

, г) у = ctg x⁴.

Відповідь: а) у' = -6 sin 6х; б) у' = 3sin² x cos x;

III. Підведення підсумків уроку.

При підведенні підсумків уроку можна скористатися таблицею 6.
Таблиця 6

IV. Домашнє завдання.

Розділ VII § 4. Запитання і завдання для повторення розділу VII № 23—28. Вправа № 10 (6, 10, 14, 22).

Роганін Алгебра 11 клас, урок 9

Схожі:

Уроку Тема уроку: Пристрої введення-виведення інформації. Структура і тип уроку повністю відповідають меті і завданням уроку, тобто науковий рівень уроку відповідає сучасним вимогам	Уроку. Прямокутна система координату просторі. Мета уроку: знайомство... В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення й виконання домашнього завдання
Уроку виробничого навчання Велигодська Л. С. чітко в доступній формі розкрила тему та мету уроку на всіх етапах структури уроку	Уроку; тема уроку не записується на дошці; мета уроку не узгоджується... «загравання» з учнями, намагання сподобатись, невміння знайти правильний тон; вживання пестливих слів
КОНСПЕКТ УРОКУ З ФІЗИКИ (10 КЛАС) Тема уроку Комп'ютер, мультимедійний проектор, презентація до уроку, програмне середовище «Жива фізика»	УРОКУ Тема уроку Методична мета уроку: Інтерактивне навчання учнів графічного представлення даних електронних таблиць засобами мультимедіа з використанням...
Уроку: урок засвоєння нових знань. КМЗ уроку Мета уроку: вивчити види впливу електричного струму на організм людини, особливості ураження електрострумом	Тема уроку. Зрізана піраміда. Мета уроку Мета уроку: вивчення властивості площини, яка перетинає піраміду і паралельна основі; формування поняття зрізаної піраміди
Уроку Тема уроку: Поняття про виробничий травматизм та професійні захворювання Мета уроку: Ознайомити учнів з основними причинами виробничого травматизм та професійних захворювань та їх наслідками	План-конспект уроку інформатики в 7 класі Тема уроку Тема уроку: Робота з текстовою інформацією. Призначення та основні функції текстового редактора. Текстові процесори. MS Word. Поняття...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання