ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ
|
|
Скачати 183.55 Kb.
|
|
Тема ПРАВИЛЬНІ МНОГОГРАННИКИ Мета Познайомитися з означенням та властивостями правильного многогранника, розглянути напівправильні та зірчасті многогранники. Познайомити з історією виникнення і розвитку теорії многогранників. Показати красу геометрії, її зв'язок з іншими науками та навколишнім світом. Розвивати логічне мислення і просторове уявлення, творчу активність. Виховувати наполегливість, вміння опрацьовувати додаткову літературу та працювати колективно; прагнення до самовдосконалення, задоволення пізнавальних потреб. Обладнання. Моделі правильних многогранників, слайди про многогранники, пла- кати. каркасні моделі просторових фігур,опорні конспекти по темі креслярські інструменти, запитання рефлексійної діяльності, сигнальні картки. Тип уроку. Урок засвоєння нових знань Форма проведення. Урок-презентація. Міжпредметні зв’язки : інформатика, хімія, біологія, фізика,, астрономія Епіграф уроку. “ Правильних многогранників надзвичайно мало, але цей дуже скромний за кількістю загін зумів пробитись у найбільші глибини різних наук”. Л.Керролл 1.Організаційний момент. Повідомлення теми, мети уроку та плану роботи на урок. Матеріал про правильні многогранники доповнює і логічно завершує розділ «Многогранники». Фактично тут продовжується класифікація многогранників; із опуклих многогранників виділяються правильні. 2. Актуалізація опорних знань. Мотивація навчальної діяльності. Викладач. У житті та практичній діяльності ми дуже часто зустрічаємося з многогранниками, а тому нам потрібно добре знати їх характеристики, властивості, вміти застосовувати їх для розв’язування різноманітних задач. Є в геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести тему "Правильні многогранники". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, що володіють неповторними властивостями, але і цікаві наукові гіпотези. Ні одні геометричні тіла не володіють такою досконалістю і красою, як правильні многогранники. Сьогодні на уроці ми дізнаємося і побачимо багато цікавого, нам потрібно буде відповісти на такі питання: Які многогранники називаються правильними? Скільки їх існує? Що таке Ейлерова характеристика? Які тіла носять назву тіл Кеплера - Пуансо? І багато – багато інших... І, нарешті: де, навіщо і для чого нам потрібні многогранники? Можливо, в житті можна обійтися і без них? Даний матеріал стане в нагоді нам при вивченні теми “Об’єми многогранників» і при розв’язуванні задач на комбінації геометричних тіл. 3. Вивчення нового матеріалу Викладач. Людина проявляє інтерес до многогранників на протязі всієї своєї свідомої діяльності – від дворічної дитини , що грається деревинними кубиками, до зрілого математика, який насолоджується читанням книжок про многогранники. Деякі з правильних тіл зустрічаються в природі в вигляді кристалів, інші – в вигляді вірусів. Многогранники існували на Землі задовго до появи на ній людини. Геометрія з її логікою і чіткістю побудов відкрила зовсім нове бачення многогранників та їх застосування. Перші згадки про многогранники відомі ще за три тисячі років до нашої ери в Єгипті та Вавілоні. Досить пригадати знамениті єгипетські піраміди і найвідомішу з них – піраміду Хеопса. Це правильна піраміда, в основі якої квадрат із стороною 233 м і висота якої досягає 146,5 м. Не випадково говорять, що піраміда Хеопса – німий трактат геометрії. У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокут-ник називається правильним, якщо в нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників. А скільки ж існує правильних многогранників? Клас розбивається на 4 групи «Математики» ознайомлять нас з означеннями, властивостями правильних многогранників та з Ейлеровою характеристикою « Історики ” ознайомлять нас з історичними відомостями про многогранники. “ Природознавці “ - про застосування многогранників в хімії, біології. “ Мистецтвознавці “ покажуть застосування многогранників при створенні картин, в орігамі. І. Повідомлення учня з групи «Математики» з комп’ютерною презентацією. Під час виступу експерта даної групи всі учні в своїх зошитах записують означення, властивості правильних многогранників і заповняють таблицю:
Учні малюють в своїх зошитах таблицю(в цей час звучить «Музика для душі). Експерт Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників: правильний тетраедр, гексаедр(куб), октаедр, додекаедр, ікосаедр. Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані – правильні многокутники з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині сходиться одне й те ж число ребер. 1.Правильним тетраедром називається многогранник, у якого всі грані правильні трикутники і в кожній вершині сходиться по 3 ребра.  Число граней – 4 Число вершин – 4 Число ребер – 6 Сума плоских кутів при кожній вершині – 180°  Розглянемо розгортку правильного тетраедра 2. Куб( гексаедр) – це многогранник, у якого всі грані квадрати і в кожній вершині сходиться по три ребра.  Число граней – 6 Число вершин – 8 Число ребер - 12 Сума плоских кутів при кожній вершині – 270° Розглянемо розгортку куба  3. Октаедр – це многогранник, у якого всі грані правильні трикутники і в кожній вершині сходиться по 4 ребра.  Число граней – 8 Число вершин – 6 Число ребер - 12 Сума плоских кутів при кожній вершині – 240°  Розглянемо розгортку октаедра 4. Додекаедр – це многогранник, у якого всі грані правильні п’ятикутники і в кожній вершині сходиться при 3 ребра.  Число граней – 12 Число вершин – 20 Число ребер - 30 Сума плоских кутів при кожній вершині – 324° Розглянемо розгортку додекаедра  5. Ікосаедр – це многогранник, у якого всі грані правильні трикутники і в кожній вершині сходиться по 5 ребер.  Число граней – 20 Число вершин – 12 Число ребер - 30  Сума плоских кутів при кожній вершині – 300°. Розглянемо розгортку ікосаедра Правильного опуклого многогранника з шестикутними гранями не існує. Якщо грань має ще більше кутів, то розгортка матиме ще більший кут. Отже, правильних опук-лих многогранників з гранями, що мають шість і більше кутів, не існує. Для будь-якого опуклого многогранника справедливе співвідношення: Г+ В – Р = 2, де Г – кількість граней, В – кількість вершин, Р – кількість ребер. Цю формулу називають Ейлерова характеристика. Історична довідка В 1640 р. - формула спочатку була відкрита Р.Декартом, а в 1752р. - знову відкрита Ейлером і з того часу носить його ім’я. Викладач А зараз проведемо взаємоперевірку заповненої таблиці( правильні відповіді на екрані) ІІ. Повідомлення учнів з групи «Історики» з комп’ютерною презентацією. Під час виступу експерта даної групи учні в своїх зошитах записують важливі факти та дані, назви тіл Архімеда та Кеплера-Пуансо, гіпотезу Кеплера. Протягом всього життя людина тісно пов'язана з многогранниками. Не дивлячись на відсутність знання таких складних термінів, як «тетраедр», «октаедр», «додекаедр», вона вже з дитинства цікавиться цими унікальними фігурами. Адже суть «кубиків» - однієї з найпопулярніших дитячих ігор - полягає в тому, щоб побудувати з многогранників певний об'єкт. Впродовж багатьох століть людей притягують ці тіла. Древні єгиптяни будували гробниці своїм фараонам у формі тетраедра, що ще раз підкреслює велич і цих фігур. Назви многогранників прийшли з Древньої Греції, в них вказується число граней: «едра» - грань; «тетра» - 4; «гекса» - 6; «окта» - 8; «ікоса» - 20; «додека» - 12. У дослівному перекладі з грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "іко-саедр" означають: "чотиригранник", "восьмигранник", "шестигранник". "дванадцяти-гранник", "двадцятигранник". Платон вважав, що світ складається з чотирьох «сти-хій» - вогню, землі, повітря і води, а атоми цих «стихій» мають форму чотирьох пра-вильних многогранників. Тетраедр втілював вогонь, оскільки його вершина направле-на вгору, як у полум'я, що розгорілося; ікосаедр - як найбільш обтічний - воду; гекса-едр - найстійкіша з фігур - землю, октаедр - повітря. У наш час цю систему можна по-рівняти з 4 станами речовини - тверді, рідкі, гази і плазма. П'ятий многогранник – до-декаедр символізував весь світ і вважався найголовнішим. Це була одна з перших спроб ввести в науку ідею систематизації. Евклід (300 р. до н. е.) — старогрецький математик, автор “Початків”. Правильним многогранникам присвячена 13-я книга "Початків" Евкліда. Деякий «платонізм» Ев-кліда пов'язаний з тим, що вчення Платона розглядається вчення про чотири елемен-ти, яким відповідають чотири правильні многогранники (тетраедр, октаедр, ікосаедр, куб), п'ятий же многогранник, додекаедр, «дістався фігурі всесвіту». «Початки» мо-жуть розглядатися як вчення про побудову п'яти правильних многогранників — так званих «платонових тіл». І завершуються доведенням того факту, що інших правиль-них тіл не існує. Архімед Сиракузський ( 287-212рр. до н.е.) узагальнив поняття правильного мно-гогранника і відкрив нові математичні об'єкти – напівправильні многогранники. Так він назвав многогранники, в яких всі грані – правильні многокутники більш як одного виду, а всі многогранні кути конгруентні. Лише в наш час вдалося довести, що трина-дцятьма відкритими Архімедом напівправильними многогранниками вичерпується вся безліч цих геометричних фігур. Безліч архімедівських тіл можна розбити на можна розбити на декілька груп. Тіла Архімеда Першу з них складають п'ять многогранників, які одержують з платонових тіл в результаті їх зрізування: зрізаний тетраедр, зрізаний гексаедр (куб), зрізаний октаедр, зрізаний додекаедр і зрізаний ікосаедр. Іншу групу тіл Архімеда складають два тіла, які називаються квазіправильними многогранниками. Частка «квазі» підкреслює, що гранями цих многогранників є правильні многокутники двох типів, причому кожна грань одного типа оточена многокутниками іншого типа. Ці два тіла називаються ромбокубооктаедром і ікосододекаедром. Нарешті існують дві так звані «кирпоносі» модифікації — одна для куба, інша — для додекаедра. Вони не є дзеркально-симетричними і мають ліву і праву форми, тобто є два різні варіанти одного і того ж «кирпоносого» многогранника. Тіла Кеплера-Пуансо: малий та великий зірчастий додекаедри, великий та малий ікосаедри. Кеплер спробував зв’язати з властивостями правильних многогранників деякі властивості Сонячної системи. Він запропонував виражати відстань між шістьма відомими тоді планетами через розміри п’яти правильних випуклих многогранників.
Пізніше від оригінальної ідеї Кеплера довелося відмовитися, але результатом його пошуків стало відкриття двох законів Кеплера, що змінили курс фізики і астрономії. Структура Землі. Існує багато даних про порівняння структур і процесів Землі з правильними многогранниками. Вважають, що чотирьом геологічним ерам Землі відповідають чотири силові каркаси правильних Платонівських тіл: Протерозою - тетраедр (чотири плити), Палеозою - гексаедр (шість плит), Мезозою - октаедр (вісім плит), Кайнозою - додекаедр (дванадцять плит). Багато залягань корисних копалини тягнуться вздовж ікосаедро-додекаедрової сітки. Дивовижні речі відбуваються в місцях перетину цих ребер: тут розташовуються осередки найдавніших культур і цивілізацій: Перу, Північна Монголія, Гаїті, Обська культура та інші. В цих точках спостерігаються максимуми і мінімуми атмосферного тиску, гігантські завихрення Світового океану. Саме в таких знаходиться шотландське озеро Лох-Несс, Бермудський трикутник. ІІІ. Повідомлення учнів з групи « Природознавці » з комп’ютерною презентацією. Під час виступу експерта даної групи учні в своїх зошитах записують важливі факти та формули. Античні вчені вважали, що:
Правильні многогранники існували на Землі задовго до появи на ній людини: тетраедри сурянистого сірчанокислого натрію, октаедри хромових квасців, ікосаедри бору і додекаедри макроскопічних морських організмів. Кристалічна решітка метану має форму тетраедра. Метан горить безбарвним полу-м'ям. З повітрям утворює вибухонебезпечні суміші. Використовується як паливо. Молекула фосфорноватистої кислоти має форму тетраедра з атомом фосфору в центрі. В вершинах тетраедра знаходяться два атоми водню, атом кисню і гідро-ксильна група ОН. Білий фосфор має молекулярну кристалічну решітку, формула молекули білого фосфору — P4, причому атоми розташовані у вершинах тетраедра. Форму октаедра приймають кристали куприту, а також алюмінієво-калієві кварци, які використовуються для виробництва алюмінію . Куприт утворює суцільні, зернисті, інколи землисті агрегати ,а також дрібні кристали октаедричного, рідше кубічного і додекаедричного виду. Елементарні гратки кристалічної решітки алмазу - тетраедри, в центрі і чотирьох вершинах якого розташовані атоми вуглецю. Атоми, розташовані у вершинах тетра-едра, утворюють центр нового тетраедра і, таким чином, також оточені кожен ще чотирма атомами і так далі. Всі атоми вуглецю в кристалічній решітці розташовані на однаковій відстані один від одного. Кристали мають форму октаедра, куба,тетраедра, ромбододекаедра з гладкими та пластинчато-східчастими гранями. Кристали алмазу, зазвичай, мають форму октаедра. Алмаз (з грецької adamas – нездоланний) – безбарвний, прозорий мінерал класу самородних неметалів. Форму додекаедра мають кристали піриту (залізного колчедану). Кристали кухонної солі — маленькі кульки — йони хлору, а більші - йони натрію. Всі кристали кухонної солі мають однакову кубічну форму. До речі, молекули всім відомої води теж мають форму тетраедра! Форму куба мають кристалічні решітки багатьох металів (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au, та інші). Найвідоміший фулерен — молекула C60, має ідеальну форму футбольного м'я-ча. Кожен атом вуглецю поєднаний із трьома іншими, утворюючи п'ятикутники та шестикутники на поверхнях. Найбільша молекула фулерену складається із 560 атомів вуглецю. Характерною особливістю радіолярій є наявність мінерального скелета, який має правильну геометричну форму: куля, кільце, многогранник(додекаедр). Після відмирання радіолярії скупчуються у вигляді радіолярієвого мулу, який пізніше трансформується в кремнієві породи - яшму, кварц, опали. Мінерали яшму і опал широко використовують в ювелірній промисловості. Феодарії живуть на морській глибині і служать їжею для коралових рибок. Вони захищають себе дванадцятьма голками, що виходять з 12 вершин скелета. Зі всіх многогранників з тим же числом граней ікосаедр має найбільший об'єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск товщі води. Віруси - це найдрібніші неклітинні частки, такі, що складаються з нуклеїнової кислоти і білкової оболонки. Віруси не можна побачити в оптичний мікроскоп, оскільки їх розміри менше довжини світлової хвилі. Розгледіти їх можна лише за допомогою електронного мікроскопу. Щоб встановити точну форму вірусу, брали різні многогранники і направляли на них світло під тими ж кутами, що і потік атомів металу на частку вірусу. Виявилось, що лише один многогранник дає таку саму тінь - ікосаедр. Вірус поліомієліту має форму додекаедра. Він може жити і розмножуватися лише в клітках людини і приматів. Не дивлячись на те, що правильних многогранників так мало, в природі вони широко поширені: різні кристали, віруси і навіть живі істоти приймають їх форми. ІV. Повідомлення учнів з групи « Мистецтвознавці » з комп’ютерною презентацією. Під час виступу експерта даної групи учні в своїх зошитах записують цікаві факти. На картині Сальвадора Далі «Таємна вечеря»зображено Ісуса Христа зі своїми учнями на фоні величезного прозорого додекаедра. Відомий художник, Альбрехт Дюрер (1471- 1528) захоплювався геометрією. У гравюрі ''Меланхолія ''на передньому плані він зобразив додекаедр. А в 1525 році Дюрер написав трактат, в якому розглянув п'ять правильних многогранників, поверхні яких служать хорошими моделями перспективи. В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних многогранників виявляли скульптори, архітектори, художники. Леонардо да Вінчі (1452 -1519) захоплювався теорією многогранників і часто зображував їх на своїх полотнах. Він проілюстрував правильними і напівправильними многогранниками книжку ченця Луки Пачолі ''Про божественну пропорцію''. Роботи Фра Джовані Джокондо, створені для церкви Santa Maria in Organo в Вероні. В ній використані зображення многогранників. Нідерландський художник Моріц Корніліс Ешер (1898 -1972) створив унікальні і чарівні роботи, в яких використаний або показаний широкий круг математичних ідей. Перед вами дві його роботи «Порядок і хаос» і «Зірки». За законами «строгої» архітектури. Бджоли - дивні створення. Бджолині стільники є просторовим паркетом і заповнюють простір так, що не залишається просвітів. Як не погодитися з думкою бджоли з казки «Тисяча і одна ніч»: «Мій будинок побудований за законами найстрогішої архітектури. Сам Евклід міг би повчитися, пізнаючи геометрію стільників». Орігамі - захоплююче заняття не лише для дітей, але і для дорослих! Ні з чим незрівняне почуття задоволення від виконаного своїми руками виробу. Папір - благодатний матеріал. Його легко згинати, різати, скручувати, можна підфарбувати. Однією з моделей орігамі є кусудама. Кусудама - це яскравий многогранник, у якому японці зберігають сухі цілющі трави. Його, зазвичай, підвішують у ліжка хворого. Головоломки у формі правильних многогранників: піраміди, кубик Рубік, мегамінкс. V. Інші сфери застосування правильних многогранників Викладач(презентація)
На поверхні сферичної основи встановили 12 точок, рівномірно розділених по каркасу (вершини ікосаедра). Машина намотує нейлонові нитки по колам великих кругів, які проходять через кожну пару зазначених точок. Коли таке намотування буде повторено багато разів, причому, починаючи щоразу з різних пар точок, камера буде покрита цілком рівномірно, що забезпечить однакову міцність кожного її квадратного сантиметра.
4. Висновок Викладач. Ви дізналися про історію появи многогранників, про вчених, які займали- ся вивченням властивостей цих цікавих геометричних тіл. Ви ще раз пере- коналися в тому, яка велика сфера застосування многогранників в живо- пису та архітектурі, дізналися про різноманіття їх видів. Я, думаю, неспо- діваним відкриттям для вас стало те, що многогранники з давніх часів є символами стихій. Кожен з вас зрозумів, що дуже часто зустрічався з ними повсякденному житті, в природі, іноді навіть не помічаючи цього! Пропоную вам познайомитися з матеріалом стінної газети «Гороскоп стихій + математика» . 5.Рефлексія Рефлексія засвоєння учнями навчального матеріалу. Тест первинного закріплення. Викладач. Дайте відповідь на такі запитання:
(Учні по групам записують відповіді на картках, а потім представник кожної групи їх зачитує). Рефлексія діяльності учнів на уроці.
6. Підведення підсумків, виставлення і коментування оцінок. 7. Домашнє завдання. Задача 1. Виготовити модель правильного многогранника. Задача 2º. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см2. Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра. Задача 3ºº. Знайти висоту правильного тетраедра з ребром 10 см. |
Схожі:
|
Учений це не той, хто дає правильні відповіді, а той, хто ставить правильні запитання.” Розвиток пізнавальної і творчої діяльності учнів; вироблення навиків самостійного пошуку нових закономірностей, пробудження їх допитливості;... |
УРОК №68 Тема. Правильні і неправильні дроби. Порівняння дробів «правильний дріб», «неправильний дріб», встановити правила порівняння дробів з однаковими знаменниками; відпрацьовування вміння розрізняти... |
|
Завдання для зрізів знань учнів по темі «Правильні многокутники» Теоретичні тести |
УРОК №55 Тема уроку. Пряма призма. Площа поверхні та об'єм призми Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про многогранники, пряму призму, площу поверхні та об'єм призми |
|
3. Зазвичай генеральний план виготовляють у масштабі Ресурси гостинності охоплюють оцінку природних ресурсів за такими аспектами (виберіть правильні відповіді) |
Задача 1 Тема: «Многогранники» Токарю при обробці деталі силу Р взаємодії ріжучої кромки різця і деталі (силу різання) можна розкласти на три взаємно перпендикулярні... |
|
Задача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них Чи існують три правильні попарно різні додатні дроби, які задовольняють такі умови |
Уроку I. Перевірка домашнього завдання Учні-сусіди обмінюються зошитами. Учитель диктує правильні відповіді. Учні звіряють їх з відповідями у зошитах і, за необхідності,... |
|
“Многогранники та їх властивості” (геометрія з застосуванням комп’ютерної грамотності) Юріївна відповідально працює над підвищенням якості знань учнів, приділяючи увагу індивідуальним, груповим, колективним формам роботи.... |
УРОК 68 Тема: Правильні і неправильні дроби. Дробові числа Мета: Введення понять правильного та неправильного дробу, дробового числа. Розвиток логічного мислення учнів |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua