Задача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них


Скачати 174.19 Kb.
НазваЗадача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них
Сторінка1/3
Дата16.04.2013
Розмір174.19 Kb.
ТипЗадача
bibl.com.ua > Фізика > Задача
  1   2   3
LXVII Київська міська олімпіада юних математиків
Умови та розв’язки по усіх класах
1 тур
7 клас
1. Чи існують три правильні попарно різні додатні дроби , які задовольняють такі умови:

та ?
Відповідь: так, існують.

Розв’язання. Так, наприклад, та .
2. Знайдіть найменше натуральне число таке, що сума доданків



націло ділиться на число:

а) ; б) ?
Відповідь: а) , б) .

Розв’язання. а) Якщо розглянути останню цифру суми , то зрозуміло, що для того, щоб ця сума ділилась на , кількість доданків повинна бути кратною п’яти. Далі достатньо розглянути суму п’яти перших доданків і переконатись, що число

.

Очевидно, що — найменше для цього випадку.

б) Розглянемо остачі при діленні на наведених доданків. З ознаки подільності на остача числа при діленні на збігається з остачею суми цифр цього числа. Позначимо через

,

а через — остачу при діленні на числа . Тоді послідовно знаходимо:

; ; ; ; ; ; ; ; .

Далі ці остачі періодично з кроком 9 повторюються. Бачимо, що кратне , коли . Залишається сюди додати міркування про те, що тоді і тільки тоді, коли . Звідси й знаходимо, що мінімальне .
3. (Рубльов Богдан) а) Чи можна розбити числа на дві групи, у одній з яких буде 6 чисел, а у іншій 11 чисел, таким чином, щоб добуток чисел однієї групи дорівнював сумі чисел іншої групи?

б) Чи можна розбити числа на дві групи таким чином, щоб добуток чисел однієї групи дорівнював сумі чисел іншої групи?
Відповідь: а) не можна; б) можна.

Розв’язання. а) Припустимо, що це зробити можна. Знайдемо суму одинадцяти найбільших чисел — це , а добуток шести найменших чисел дорівнює . Зрозуміло, що при будь-якому іншому розподілі чисел по групах сума може тільки зменшитись (бо зараз у ній додаються найбільші можливі числа) та з аналогічних міркувань добуток може тільки збільшитись.

б) Задача може мати декілька розв’язків; покажемо, як знайти один з них.

Припустимо, що одна з частин містить 2 числа, позначимо їх та . Якщо підрахувати суму усіх чисел, то вона складає . Тоді якщо пара чисел задовольняє умови, то повинна виконуватись рівність:

.

Останню рівність задовольняють числа та .

Переконаємось у цьому:

,

що й треба було показати.
4. Заданий рівнобедрений трикутник з вершиною у точці . На основі вибрана довільна точка , відмінна від вершин та . На прямій вибираємо таку точку поза відрізком , для якої . Доведіть, що периметр більший за периметр .
Розв’язання. Позначимо на відрізку точку , що задовольняє умову . Тоді за кутом та двома прилеглими сторонами. Проведемо промінь , на якому відкладемо відрізок (рис. 1). Тоді за рівними вертикальними кутами та прилеглими сторонами. Тому . З одержаних рівностей трикутників маємо:

.
8 клас
1. Чи існують дві пари правильних додатних дробів та , які задовольняють такі умови:

та ?
Відповідь: так, існують.

Розв’язання. Так, наприклад та .
2. Доведіть, що серед будь-яких п’яти дільників числа знайдуться два, добуток яких є квадратом натурального числа.
Розв’язання Усі дільники числа мають вигляд , де — цілі невід’ємні числа. Розіб’ємо їх усі на 4 типи:

1) , 2) , 3) , 4) .

Якщо вибрані 5 дільників, то за принципом Діріхле принаймні два з них будуть мати один тип. Якщо тепер перемножити ці два дільники, то їхній добуток буде мати вигляд , що й треба було довести.
3. (Білецький Юрій) На колі вибрані точки і . Коло дотикається до відрізка у точці та перетинає коло у точках і . Точки лежать на колі у такому порядку: . Доведіть, що .
Розв’язання. Проведемо відрізок , тоді . Позначимо також через , (рис. 2). Оскільки , то , звідки остаточно й маємо, що .
4. Відомо, що числа й , жодне з яких не дорівнює , задовольняють умови:

та .

Чи обов’язково виконується також і умова: ?
Відповідь: так, обов’язково.

Розв’язання. Додамо до обох частин кожної рівності, і ми можемо розкласти їх на множники таким чином:

та, аналогічно, .

Перемножимо останні дві рівності:

.

Зауважимо, що перехід при скороченні на можливий, оскільки за умовою .
  1   2   3

Схожі:

Знайти невідому матрицю з рівняння
Знайти будь-який базис і визначити розмірність лінійного простору розв’язків системи
Задача 2
Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння...
Задача (З бали.) Виконати зображення правиль­ної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур....
Пояснювальна записка до проекту Закону України
ПІБ може мати багато інших осіб в країні; і номер мобільного телефону без зазначення імені його власника, очевидно не є ПД. Проте...
УРОК 5 Тема: Практичн
Закріпити поняття про біоценоз, біогеоценоз, екосистему, ланцюг живлення; розглянути типи взаємозв’язків організмів у біогеоценозах...
А згідно нової рекомендації №12267 в державних установах усіх членів...
В 2010 році на українській гендерній конференції йшлося про те, що в Україні також хочуть відмінити слова батько і мати і замість...
2. Задача Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x,...
Методом квадратичної інтерполяції знайти min F(x)=x2 4x, починаючи пошук з крапки х0=2
Програє той, хто не може зробити хід. Хто перемагає при найкращій грі?
Задача Двоє по черзі кладуть п'ятаки на круглий стіл, причому так, щоб вони не накладались один на одного. Програє той, хто не може...
Умови проведення виставку-конкурс "Український сувенір" Мета і завдання
Автор може представити один або декілька зразків, композицію, набір тощо. Для участі у конкурсі можуть бути представлені не більше...
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік
Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка