Уроку

Доведення

Від точки О відкладемо вектор OВ = (рис. 298) і ОА = . Виберемо декартову систему координат так, щоб точка О була початком коорди­нат, пряма ОА збіглася з віссю у, вісь z була б перпендикулярна до пря­мої ОА і знаходилася в площині ОАВ, вісь х перпендикулярна до площи­ни уz. Визначимо координати векторів і :

А(0; || ; 0); B(0; || cos φ; || sin φ); (0; ||; 0); (0; || cos φ; || sin φ).

Знайдемо скалярний добуток:

· = 0 · 0 + || · || cos φ + 0 · || sin φ = || · || cos φ.
Наслідки із властивості 3:

1)

2) Два відмінні від нуля вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Дійсно, якщо · = 0, то · · cos φ = 0 , cos φ = 0, φ = , і навпаки, якщо φ = 0 , то · = · · cos φ = · · 0 = 0.

Розв'язування задач

1. 
   Знайдіть · , якщо = 5, = 4, а кут між векторами дорів­нює 120°.
   
2. 
   Ребро куба дорівнює 4 (рис. 299). Знайдіть · .
   

3. 
   Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?
   
4. 
   При якому значенні т вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпенди­кулярні?
   
5. 
   Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональні вектори?
   
6. 
   Який кут утворюють вектори (-5; 0; 0) і (0; 3; 0)?
   
7. 
   Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).
   
8. 
   Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).
   

III. Домашнє завдання

§ 4, п. 35, 36; контрольні запитання № 18—20; задачі № 55 (1; 4), 56 (с. 58).
IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Що називається скалярним добутком векторів (а_x; а_y; а_z) і (b_x; b_y; b_z)?

2) Сформулюйте властивості скалярного добутку векторів.

3) Яка умова ортогональності двох ненульових векторів?

4) У просторі дано вектори (1; 1; -1), (0; -1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які — неправильні:

а) = 1;

б) вектори і перпендикулярні;

в) вектори + і не перпендикулярні;

г) ·(+) = 1;

д) вектори і + утворюють кут, косинус якого дорівнює .

Роганін геометрія 10 клас, урок 60