LXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах
|
|
Скачати 239.15 Kb.
|
5. (Сенін Віталій) Для додатних чисел a, b, c доведіть нерівність:  .Розв’язання. Слід зауважити, що нерівність симетрична, тобто від обміну будь-яких двох змінних місцями не змінює свого вигляду. Тому без втрати загальності можемо вважати, що  . Якщо перенести всі доданки в один бік та згрупувати їх відповідним чином, нерівність набуває такого вигляду: .Після множення кожного доданку на спряжене одержимо, що треба довести таку нерівність:  .Оскільки  , достатньо довести, що .Якщо  , то в обох частинах нерівності стоять нулі. Інакше можемо скоротити обидві частини на  . Далі, оскільки  , нам достатньо довести таку нерівність:   .Остання нерівність справджується, оскільки  та  .Нерівність доведена. 10 клас 1. Для шести цілих чисел a, b, c і A, B, C справджуються співвідношення:  ,  ,  ,  .Знайдіть числа a, b, c, для яких сума  набуває найменшого можливого значення.Відповідь:  .Розв’язання. Розв’яжемо задану систему рівнянь відносно чисел a, b, c. З перших двох рівнянь маємо, що  . Додаємо це до третього рівняння і знаходимо, що .Аналогічно або з міркувань симетрії знаходимо, що  та  .Найменша можлива сума досягається для трьох найменших різних квадратів цілих чисел:  . Але для такої трійки квадратів числа a, b, c не будуть цілими, наприклад  . Наступна за величиною суми трійка квадратів — числа  . Для цієї трійки значення a, b, c є цілими, а отже шуканими: ,  ,  .2. (Рубльов Богдан) Послідовність дійсних чисел  ,  ,  , ...,  задовольняє умови: .Яких значень може набувати різниця  ?Відповідь: 0. Розв’язання. Нехай  . Можемо записати рівності:   ...,   Якщо  , додамо ці рівності і скоротимо все на k, унаслідок чого матимемо таку рівність:     .Але незалежно від знака перед 1 ми не можемо одержати в результаті 0, адже модуль суми решти доданків менший за 1. У цьому легко переконатися з допомогою формули для суми членів геометричної прогресії:          .Отже, випадок неможливий. Тоді  , звідки  , тобто    .3. Для кожного натурального n знайдіть кількість наборів  , які є перестановками чисел  і задовольняють умову:  .Відповідь: при  є один набір, що задовольняє умову задачі; при  — два набори; при інших значеннях n таких наборів не існує.Розв’язання. При існує тільки тривіальна перестановка (1), яка, очевидно, задовольняє умову. Хай . Тоді  і  для всіх можливих перестановок, а  тоді й лише тоді, коли  — парне, тобто дорівнює 2. Тож маємо дві перестановки, що задовольняють умову: (1, 3, 2) і (3, 1, 2).Нехай тепер  або  і — набір чисел, який задовольняє умову. Тоді сума  повинна ділитися на n. Якщо n — парне, тобто  , то  , суперечність. Таким чином, парним n бути не може.Хай тепер — непарне число, тобто  ,  . Тоді  , і для  має виконуватись умова  . Перепишемо її таким чином:  .Оскільки  , то  , і цей вираз може ділитися на  лише за умови, що він дорівнює 0, тобто  , а  .Аналогічно,  . Звідси маємо, що  .Оскільки  , то  , а враховуючи, що , цей вираз може ділитися на  лише за умови, що він дорівнює 0, тобто  також дорівнює  . Але це неможливо, оскільки серед чисел набору значення має траплятися рівно один раз. Одержана суперечність показує, що і для непарного  наборів, які задовольняють умову задачі, не існує.4. (Рожкова Марія) У трикутнику ABC зі сторонами  розглядаються кути між висотою та медіаною, що проведені з однієї вершини. З’ясуйте, при якій вершині цей кут є найбільшим із трьох.Відповідь: при вершині B. Р  озв’язання. Позначимо стандартним чином сторони трикутника через a, b, c. Тоді за умовою  . Позначимо висоту та медіану з вершини B через  та  відповідно (рис. 7). Тоді кут, який нас цікавить, — це  , при цьому  . Аналогічно визначаються косинуси інших досліджуваних кутів. Щоб довести, що саме при вершині B кут найбільший, достатньо показати, що косинус цього кута — найменший, тобто  . Доведемо для цього, що та  .Щоб це зробити, використаємо такі формули для обчислення висоти та медіани:  та  .Перша нерівність еквівалентна такій:     .Остання нерівність справджується, оскільки за умовою .Аналогічно, для другої нерівності маємо:    .Остання нерівність, знову ж таки, справджується, оскільки . |
Схожі:
|
*Конкурс юних математиків (збірна команда з представників усіх класів з різних країн) Прибуття в Туреччину/Анталію. Трансфер з аеропорту. Заїзд і розміщення в готелі. Реєстрація учасників. Відпочинок. 19. 00-21. 00... |
ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ Сьогодні ми з вами згадаємо прізвища відомих математиків, цікаві історич-ні факти про деяких з них. Життя і діяльність математиків... |
|
Урок №7 Тема. Розв'язування задач Мета: доповнити знання учнів поняттями: «достатня та необхідна умови», «критерій»; відпрацювати вміння відрізняти необхідні та достатні... |
КВК між командами 10 класу Ми дуже раді привітати вас на нашому конкурсі веселих і кмітливих. Сьогодні ви будете свідками найцікавішої боротьби юних веселих... |
|
«Розв’язування текстових задач в 5-6 класах» Урок математики для 5 – 6 класів на тему «Розв’язування текстових задач в 5-6 класах» |
Обласна олімпіада юних хіміків 2009р Обчисліть, скільки атомів Цинку міститься у сплаві цинку з міддю масою 300 г, якщо масова частка міді у сплаві становить 40% |
|
Умови проведення І обласного турніру юних хіміків та особливості підготовки Турнір юних хіміків проводиться відповідно до «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових і спеціальних дисциплін,... |
Розв’язування квадратних рівнянь ... |
|
Всеукраїнська учнівська олімпіада з української мови та літератури Укажіть рядок, у якому правильно вжито форми усіх складених кількісних числівників? |
УКРАЇНА БОГОРОДЧАНСЬКА РАЙОННА ДЕРЖАВНА АДМІНІСТРАЦІЯ ІВАНО-ФРАНКІВСЬКОЇ... «Про проведення І, ІІ етапів Всеукраїнських учнівських олімпіад у 2012-2013 н р.», у зв’язку з проведенням у період з 29 жовтня по... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua