LXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах
|
|
Скачати 239.15 Kb.
|
5. (Рожкова Марія) У трикутнику ABC на сторонах AB і AC назовні побудували правильні трикутники ABD та ACE. Відрізки CD та BE перетинаються в точці F. Виявилось, що точка A — центр вписаного у  кола. Знайдіть кут BAC.Відповідь:  .Розв’язання. Оскільки центр вписаного кола трикутника є точкою перетину його бісектрис, можемо записати, що  і  (рис. 4).  за рівними кутами  та рівними прилеглими сторонами. Отже,  . Звідси .Т  епер можемо додати всі кути при вершині A:   .Зауважимо також, що якщо , то  , тож трикутники DAC і DAE рівні за двома сторонами і кутом між ними, а тому  , і DA — бісектриса. Аналогічно, бісектрисою є EA, тому A справді є інцентром трикутника DEF.9 клас 1. Відомо, що числа  задовольняють умову  . Знайдіть значення виразу .Відповідь: 8. Розв’язання. Зробимо такі перетворення:       .2. 220 монет розклали по комірках квадратної таблиці  таким чином, щоб у кожній комірці була принаймні одна монета та кількість монет у кожних двох сусідніх по стороні комірках відрізнялась рівно на одну монету. При якому найбільшому значенні n це можливо?Відповідь: 12. Розв’язання. У довільних двох сусідніх комірках таблиці має бути щонайменше 3 монети: навіть якщо в одній із сусідніх комірок буде одна монета, в іншій комірці має бути дві монети. Для парних n таблицю можна розбити на  пар сусідніх комірок, а для непарних n — на  пар сусідніх комірок і ще одну комірку. Для цих випадків мають справджуватися відповідні нерівності:   (для парних n);  (для непарних n).Т   аким чином, ми довели, що  . Побудуємо тепер приклад розташування монет для  . Оскільки  , нам досить у кожну пару сусідніх комірок покласти по три монети, а потім у якийсь спосіб докласти в таблицю ще чотири монети. Для цього спершу розкладемо в комірки таблиці по одній і по дві монети в шаховому порядку (рис. 5-1). А тепер додамо до двох клітин у куті таблиці, які містили по одній монеті, ще по дві монети, як це показано на рис. 5-2.3. (Чорний Максим) У гострокутному трикутнику ABC точка O — центр описаного кола, точка H — ортоцентр. Відомо, що прямі OH та BC паралельні, причому  . Знайдіть величину найменшого кута  .Відповідь:  .Розв’язання. П  рипустимо, що  . Нехай  — основа висоти, проведеної з точки A,  — основа перпендикуляра, опущеного на BC з точки O, тобто середина BC (рис. 6). Враховуючи, що  , із властивостей прямокутника  маємо, що  . Але оскільки — середина сторони, то  . Із припущення, що , випливає, що лежить на відрізку  . Тому — середина , звідки  — паралелограм. Тому  . Тобто, лежить на серединному перпендикулярі до  , а отже  . Враховуючи, що  , маємо, що  . За умовою трикутник гострокутний, і якщо інший його кут буде меншим за , то третій буде більшим за — суперечність. Значить, кут  у трикутнику ABC найменший.Побудуємо тепер приклад трикутника, який задовольняє умову задачі, щоб показати, що умова несуперечлива, а відповідь справді досягається. Для цього спершу нарисуємо рівнобедрений трикутник  із прямим кутом  . Точку B позначимо на продовженні відрізка  за точку  так, щоб  . Доведемо, що трикутник ABC задовольняє умову задачі. Нехай  — середина BC, O — центр описаного кола трикутника ABC, а H — основа перпендикуляра, опущеного з O на висоту  трикутника ABC. — прямокутник, а оскільки  (бо трикутник  прямокутний рівнобедрений), то — квадрат. Тоді  і  , а також  (бо  , а отже трикутник  прямокутний рівнобедрений), звідки  , а отже H — точка перетину двох висот трикутника ABC, тобто його ортоцентр.4. (Сердюк Назар) Знайдіть усі цілі розв’язки системи рівнянь:  Відповідь:  ,  , , , , .Розв’язання. Спершу доведемо допоміжне твердження: для довільних чисел a та b, з яких хоча б одне не дорівнює нулю,  . Для доведення розглянемо три випадки.1) Одне з чисел a та b дорівнює нулю. Тоді нерівність набуває форми  , якщо  , або  , якщо  . Оскільки інше число, згідно з припущенням, ненульове, нерівність справджується.2) Одне з чисел a та b додатне, а інше — від’ємне. Тоді кожен доданок виразу  додатний, тому й увесь вираз додатний.3) Обидва числа a та b додатні чи обидва від’ємні. Тоді  .Допоміжне твердження доведене. Доведемо тепер, що якщо (a, b, c, d) — розв’язок заданої системи в цілих числах, то  і  . Для цього спершу запишемо таку нерівність:  .Якщо  , то маємо ланцюжок рівностей:      . Звідси зокрема випливає, що в цьому випадку  .Якщо ж  , то  . Розглянемо два випадки: коли  і коли  . Для обох випадків доведемо, що .Якщо , то одне з чисел має бути додатним, а інше тоді, відповідно, від’ємне або нуль. Звідси ,причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли  , тобто коли одне з чисел a та b дорівнює нулю, а інше — одиниці.Якщо , то ,причому рівність досягається тоді й лише тоді, коли  і  , тобто коли  .Отже,  , причому рівність досягається лише на чотирьох наборах  ,  ,  та  , і, аналогічно, . Тоді маємо такий ланцюжок співвідношень: .Таким чином, співвідношення можуть справджуватися лише на тих наборах, для яких водночас  та  . Залишається із 16 можливих четвірок (чотири пари значень для (a, b) і чотири пари значень для (c, d)) вибрати ті, що задовольняють початкову систему. |
Схожі:
|
*Конкурс юних математиків (збірна команда з представників усіх класів з різних країн) Прибуття в Туреччину/Анталію. Трансфер з аеропорту. Заїзд і розміщення в готелі. Реєстрація учасників. Відпочинок. 19. 00-21. 00... |
ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ Сьогодні ми з вами згадаємо прізвища відомих математиків, цікаві історич-ні факти про деяких з них. Життя і діяльність математиків... |
|
Урок №7 Тема. Розв'язування задач Мета: доповнити знання учнів поняттями: «достатня та необхідна умови», «критерій»; відпрацювати вміння відрізняти необхідні та достатні... |
КВК між командами 10 класу Ми дуже раді привітати вас на нашому конкурсі веселих і кмітливих. Сьогодні ви будете свідками найцікавішої боротьби юних веселих... |
|
«Розв’язування текстових задач в 5-6 класах» Урок математики для 5 – 6 класів на тему «Розв’язування текстових задач в 5-6 класах» |
Обласна олімпіада юних хіміків 2009р Обчисліть, скільки атомів Цинку міститься у сплаві цинку з міддю масою 300 г, якщо масова частка міді у сплаві становить 40% |
|
Умови проведення І обласного турніру юних хіміків та особливості підготовки Турнір юних хіміків проводиться відповідно до «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових і спеціальних дисциплін,... |
Розв’язування квадратних рівнянь ... |
|
Всеукраїнська учнівська олімпіада з української мови та літератури Укажіть рядок, у якому правильно вжито форми усіх складених кількісних числівників? |
УКРАЇНА БОГОРОДЧАНСЬКА РАЙОННА ДЕРЖАВНА АДМІНІСТРАЦІЯ ІВАНО-ФРАНКІВСЬКОЇ... «Про проведення І, ІІ етапів Всеукраїнських учнівських олімпіад у 2012-2013 н р.», у зв’язку з проведенням у період з 29 жовтня по... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua