LXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах


Скачати 239.15 Kb.
НазваLXVII Київська міська олімпіада юних математиків Умови та розв’язки по усіх класах
Сторінка1/4
Дата08.04.2013
Розмір239.15 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Математика > Документи
  1   2   3   4
LXVII Київська міська олімпіада юних математиків
Умови та розв’язки по усіх класах
2 тур
7 клас
1. Чи існують попарно різні натуральні числа a, b, c, d, що утворюють два нескоротні дроби та , які задовольняють рівність:

?
Відповідь: не існує.

Розв’язання. Припустимо, що така рівність виконується, тобто

.

Остання рівність можлива лише за виконання хоча б однієї з двох умов: або , або . Із першої з цих умов, поділивши на bd, маємо, що справджується рівність , а з другої умови, подівши на ad, . Кожне з цих співвідношень означає рівність двох дробів із різними чисельниками, а тому принаймні один із таких дробів повинен бути скоротним, що суперечить умові.
2. Відомо, що числа задовольняють умову . Знайдіть значення виразу

.
Відповідь: 9.

Розв’язання. Зробимо такі перетворення:



.

Легко зрозуміти, що значення , які задовольняють початкову умову, існують: наприклад, .
3. У трикутнику проведена медіана , яка ділиться на три рівні частини точками та (). Відомо, що та . Знайдіть довжину відрізка .
Відповідь: .

Розв’язання. З умови випливає, що — рівнобедрений, а тому (рис. 1). Звідси випливає рівність кутів CDE та AFB: . Оскільки — медіана, то . Таким чином, за двома сторонами , та кутом між ними. Тому .
4. (Мисак Данило) Яку найбільшу кількість різних натуральних чисел можна виписати на дошці, так щоби різниця будь-яких двох із них (від більшого віднімають менше) була простим числом?
Відповідь: 4 числа.

Розв’язання. Наведемо приклад чотирьох чисел, які задовольняють умову: 1, 3, 6, 8. Їхні попарні різниці дорівнюють 2, 3, 5, 7 і є простими числами. Покажемо тепер, що набір із п’яти або більшої кількості чисел умову задовольняти не може.

Нехай умову задовольняють чисел. Впорядкуймо всі такі числа в порядку від найменшого до найбільшого та запишімо як . Попарні різниці чисел мають бути простими, тому і . Але в такому разі різниці та — прості числа, більші за 2, а отже непарні. Тоді різниця — парне число, що суперечить її простоті. Суперечність.
5. (Рубльов Богдан) Квадрат розбитий на 16 квадратиків . В деякі з цих квадратиків поставили кубики . Далі ці кубики спочатку притягуються до правої сторони квадрата, доки це можливо (тобто поки кожен не досягне лівого краю або інших кубиків, як це показано на рисунках). Після того кубики аналогічним чином притягуються до верхньої сторони квадрата, далі до лівої сторони квадрата. І нарешті — до нижньої сторони квадрата. Чи існує таке початкове розташування кубиків, що серед кубиків можна вибрати два, які у початковий та кінцевий моменти міняються місцями?
Відповідь: існує.

Розв’язання. Розгляньмо зображену на рис. 3-1 початкову позицію чотирьох кубиків. Розташування кубиків після кожного з чотирьох притягувань до відповідних сторін дошки показані відповідно на рис. 3-2, 3-3, 3-4 і 3-5. У підсумку кубики 2 та 3 помінялися місцями.




8 клас
1. Доведіть, що для цілих чисел a, b, c, d, які задовольняють умову , вираз



дорівнює подвоєному квадрату цілого числа.
Розв’язання. Підставимо в задану рівність замість d вираз , який за умовою дорівнює d, та зробимо такі перетворення:







,

що й треба було довести.
2. Розв’яжіть нерівність: , де дорівнює більшому з двох чисел a, b.
Відповідь: .

Розв’язання. Спочатку з’ясуємо, коли . Для цього повинна виконуватись умова . Розглянемо відповідні два випадки.

При задана нерівність стає такою: . Отже, будь-яке число з проміжку є розв’язком нерівності.

При маємо, що , тобто в цьому випадку розв’язками нерівності стають усі числа з проміжку .

Таким чином, розв’язками заданої нерівності є .
3. (Жидков Сергій) На дошці записані три числа a, b, c. За один крок ми витираємо усі три числа і замість них записуємо числа , та . Порядок чисел ролі не відіграє, тобто можна записати трійку чисел b, та або c, та . Чи можна за декілька подібних кроків із трійки чисел 3, 4, 5 одержати трійку 2012, 9009, 11 100, записану в довільному порядку?
Відповідь: не можна.

Розв’язання. Після одного кроку перетворень з трійки чисел a, b, c ми одержимо, наприклад, трійку , та . Сума чисел нової трійки дорівнює



.

Таким чином, якщо трійку 2012, 9009, 11 100 можна одержати за певну кількість кроків, то для трьох чисел a, b, c, що мають утворитися на передостанньому кроці, повинна виконуватися рівність:

.

11 і 2011 — прості числа, тому хоча б одне з чисел a, та має дорівнювати одиниці. Але досить просто зрозуміти, що якщо всі числа початкової трійки не менші за 3, то зменшитися на жодному кроці, а отже і стати меншим за 3, ні одне з чисел не зможе. Тому передостання трійка чисел a, b, c задовольняти наведену рівність не зможе. Суперечність.
4. (Рубльов Богдан) У Лесі та Андрія є 10 карток із цифрами 0, 1, 2, …, 9, причому кожна цифра записана рівно на одній із карток. Леся та Андрій грають у таку гру. Спочатку Леся вибирає будь-яку картку та кладе її на стіл. Після цього Андрій вибирає будь-яку з карток, що лишилися, та прикладає її до Лесиної картки з правого боку. Далі Леся вибирає одну з карток, що залишились, і прикладає її ліворуч до перших двох, далі Андрій вибирає і кладе картку праворуч і т. д. Після того, як усі картки викладено, утворюється десятицифрове число (або дев’ятицифрове, якщо останнім своїм ходом Леся виклала картку з цифрою 0). Андрій прагне, щоб утворене число ділилося на якомога більшу кількість чисел із множини , а Леся навпаки: щоб утворене число ділилося на якомога меншу кількість чисел від 2 до 9. На яку кількість чисел із множини M буде ділитися утворене число за правильної гри обох гравців?
Відповідь: на 3 числа.

Розв’язання. Незалежно від ходів Лесі та Андрія утворене число N завжди ділитиметься на 3 і на 9, бо сума всіх цифр числа буде дорівнювати . Крім того, якщо Андрій сам не викладатиме жодної з шести карток із цифрами 0, 2, 4, 6, 8 і 5, поки є хоча б одна інша картка, Леся за свої п’ять ходів не встигне викласти їх усі, а тому Андрій своїм останнім ходом зможе одну з таких цифр зробити останньою цифрою числа N. Тоді утворене число поділиться або на 2, або на 5, а отже, враховуючи дільники 3 та 9, воно буде кратне щонайменше трьом числам із множини M.

Тепер покажемо, як має грати Леся, щоб утворене число ділилося щонайбільше на три числа від 2 до 9. На кожному з перших трьох своїх ходів вона повинна класти на стіл картку із найменшим парним числом, яке ще залишилось невикористаним. Перед четвертим Лесиним ходом можливі дві ситуації, які ми розглядаємо нижче.

1) Якщо перед четвертим ходом Лесі Андрій поклав на стіл хоча б одну з карток 0, 2, 4, 6, 8 і 5, вона на четвертому й п’ятому ходах кладе дві з цих шести карток, які лишилися (після відповідного ходу Андрія та її перших трьох ходів), або — якщо відповідні картки Андрій поклав на стіл сам — вона кладе на стіл довільні інші картки. У такий спосіб Леся досягне того, що жодна з цих цифр не зможе стати останньою цифрою числа N, відтак утворене число N не зможе поділитися на парні числа і на число 5 із множини M, а отже ділитиметься щонайбільше на три числа (3, 7 і 9) із цієї множини.

2) Якщо перед четвертим ходом Лесі Андрій не використав жодної із карток 0, 2, 4, 6, 8 і 5, то на даний момент число на столі має вигляд , де a, b і c — деякі три числа з набору 1, 3, 7, 9. Позначимо через d четверте число з цього набору. Леся має розглянути два числа та . Хоча б одне з цих чисел не ділиться на 7, оскільки на 7 не ділиться їхня різниця:

.

Нехай, без втрати загальності, на 7 не ділиться число . Тоді Леся кладе на стіл картку з цифрою 6, унаслідок чого число набуває вигляду . В Андрія залишаються три варіанти: він може покласти на стіл картки з цифрами 5, 8 або d. Якщо Андрій використовує 5 або 8, Леся останнім своїм ходом кладе картку з іншим числом: 8, якщо Андрій поклав 5, або 5, якщо Андрій поклав 8. Тоді, як і у випадку 1), розглянутому вище, остаточне число N не зможе поділитися на числа 2, 4, 5, 6 і 8 із множини M, а отже ділитиметься щонайбільше на три числа з цієї множини. Якщо ж Андрій покладе своїм передостаннім ходом картку з числом d, Леся кладе своїм останнім ходом 8, а Андрію залишається лише 5. Утворене число , з огляду на вибір Лесею її четвертого ходу, не ділиться на 7, а також не ділиться на числа 2, 4, 6 і 8 із множини M. Воно ділиться, натомість, рівно на три числа з цієї множини: 3, 5 і 9.

Таким чином, Андрій завжди може забезпечити подільність числа N щонайменше на 3 числа, а Леся — подільність N щонайбільше на 3 числа із множини M. Це означає, що за правильної гри обох гравців утворене число поділиться рівно на три числа у межах від 2 до 9.
  1   2   3   4

Схожі:

*Конкурс юних математиків (збірна команда з представників усіх класів з різних країн)
Прибуття в Туреччину/Анталію. Трансфер з аеропорту. Заїзд і розміщення в готелі. Реєстрація учасників. Відпочинок. 19. 00-21. 00...
ЦІКАВІ ФАКТИ ПРО ВИДАТНИХ МАТЕМАТИКІВ
Сьогодні ми з вами згадаємо прізвища відомих математиків, цікаві історич-ні факти про деяких з них. Життя і діяльність математиків...
Урок №7 Тема. Розв'язування задач
Мета: доповнити знання учнів поняттями: «достатня та необхідна умови», «критерій»; відпрацювати вміння відрізняти необхідні та дос­татні...
КВК між командами 10 класу
Ми дуже раді привітати вас на нашому конкурсі веселих і кмітливих. Сьогодні ви будете свідками найцікавішої боротьби юних веселих...
«Розв’язування текстових задач в 5-6 класах»
Урок математики для 5 – 6 класів на тему «Розв’язування текстових задач в 5-6 класах»
Обласна олімпіада юних хіміків 2009р
Обчисліть, скільки атомів Цинку міститься у сплаві цинку з міддю масою 300 г, якщо масова частка міді у сплаві становить 40%
Умови проведення І обласного турніру юних хіміків та особливості підготовки
Турнір юних хіміків проводиться відповідно до «Положення про Всеукраїнські учнівські олімпіади з базових і спеціальних дисциплін,...
Розв’язування квадратних рівнянь
...
Всеукраїнська учнівська олімпіада з української мови та літератури
Укажіть рядок, у якому правильно вжито форми усіх складених кількісних числівників?
УКРАЇНА БОГОРОДЧАНСЬКА РАЙОННА ДЕРЖАВНА АДМІНІСТРАЦІЯ ІВАНО-ФРАНКІВСЬКОЇ...
«Про проведення І, ІІ етапів Всеукраїнських учнівських олімпіад у 2012-2013 н р.», у зв’язку з проведенням у період з 29 жовтня по...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка