Чисельні методи обчислення визначених інтегралів
|
|
Скачати 244.77 Kb.
|
 Чисельні методи обчислення визначених інтегралівЯкщо функція  є неперервною на відрізку  і відома її первісна  , то для обчислення визначеного інтеграла  можна використати формулу Ньютона-Лейбніца .Однак цією формулою важко і навіть практично неможливо с користатись тоді, коли первісну не можна виразити через елементарні функції, як, наприклад, у інтегралів  ,  і ін. Крім цього, на практиці підінтегральна функція задається таблично і тоді саме поняття первісної втрачає сенс. Тому важливого значення набувають наближені й насамперед чисельні методи обчислення визначених інтегралів.Розглянемо низку методів, суть яких полягає в обчисленні значень інтеграла на основі значень підінтегральної функції в скінченній кількості точок, що належать відрізку . Тобто розглянемо методи, в яких , (1)де  ,   – сталі. Наведена формула називається квадратурною формулою, точки  – вузлами квадратурної формули, а – коефіцієнтами квадратурної формули.Як правило, рівність (1) наближена. Різницю між визначеним інтегралом і квадратурною сумою  , (1)називають залишковим членом, або похибкою квадратурної формули (1). При цьому питання оцінки  має сенс лише у тому разі, якщо функція задана аналітично.Для побудови квадратурних формул найчастіше використовується інтерполяційний многочлен Лагранжа. Квадратурні формули Ньютона-Котеса Побудуємо квадратурну формулу  , (2)для чого використаємо інтерполяційний многочлен Лагранжа. Запишемо підінтегральну функцію у вигляді  , (3)де  – інтерполяційний многочлен Лагранжа, побудований за вузлами інтерполювання   , (4)а  – залишковий член (похибка) інтерполяції. Тоді, виконавши інтегрування (3), одержимо рівність , (5)де  ,  .Введемо заміну  ,  і перетворимо многочлен Лагранжа у відповідністю з нею . (6)У зв’язку із введеною заміною потрібно змінити межі інтегрування. Значенню  буде відповідати  а значенню  ―  . Потрібно також врахувати, що  Тоді з врахуванням вказаних заміни, для обчислення коефіцієнтів одержимо формулу , (7)або  , (8)де  . (9)Коефіцієнти  називаються коефіцієнтами Котеса. Квадратурна формула Ньютона-Котеса при цьому має вигляд . (10)На лістингу 1 наведено функцію  , реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів деяких квадратурних формул Ньютона_Котеса На лістингу 2 наведено формули, реалізовану в пакеті Mathcad, для обчислення коефіцієнтів квадратурних формул Ньютона_Котеса для  . Розглянемо більш детально деякі формули чисельного інтегрування. Квадратурні формули прямокутників Інтегрування за методом прямокутників полягає в тому, що інтервал інтегрування ділиться точками  на  рівних частин   з кроком  . Наближене значення інтеграла на відрізку можна знайти, якщо функцію замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх  покласти  , де  . Тоді дістанемо наближену рівність . (11) Якщо  і неперервна на , то наближену рівність (11) можна тлумачити як наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1) , обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції а з боків прямими  і  , за яку береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (11) дістала назву формули прямокутників.Якщо  або  , або  , то формулу (11) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція на має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).Проінтегрувавши обидві частини формули Лагранжа  ,по x в межах від  до  , знайдемо .Звідси залишковий член лівих прямокутників  .Оскільки на відрізку множник  зберігає знак, а функція  неперервна, то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо . (12)Аналогічно, виконавши інтегрування по x у межах від до обидві частини формули Лагранжа і застосувавши до інтеграла  теорему про середнє значення, для залишкового члена формули правих прямокутників знайдемо . (13)Якщо  , то функцію в околі точки  за формулою Тейлора можна представити у вигляді .Проінтегрувавши останню формулу, одержимо  .Оскільки  , то ,а тому формула залишкового члена середніх прямокутників має вигляд  Оскільки  неперервна на відрізку , а множник  зберігає знак на , то за узагальненою теоремою про середнє значення маємо ,звідки  . (14)Таким чином, у випадку заміни функції на відрізку інтерполяційним поліномом нульового степеня  , для обчислення інтеграла ми дістали три наближені формули та їх похибки, відповідно, формули лівих, правих і середніх прямокутників: , ; (15) , ; (16) , . (17)Зауважимо, що усі три формули є частинним випадком квадратурної формули Ньютона-Котеса при  , оскільки для всіх цих формул коефіцієнт  (перший рядок матриці коефіцієнтів Котеса).Узагальнені формули прямокутників Узагальнені формули прямокутників одержуються з формул (15)-(17) шляхом знаходження суми по  від 1 до , а саме: – формула лівих прямокутників, (18) – формула правих прямокутників, (19) – формула середніх прямокутників. (20)Для залишкового члена узагальненої формули лівих прямокутників відповідно до формули (15) одержимо  .Оскільки  неперервна на , то існує точка  така, що середнє арифметичне  . Тому залишковий член узагальненої формули лівих прямокутників остаточно набирає вигляду . (21)Аналогічно залишковий член узагальненої формули правих прямокутників  , (22)і залишковий член узагальненої формули середніх прямокутників  . (23)Зауважимо, що обчислити значення залишкових членів (21)-(23) не має можливості, бо точки  невідомі. Але для них справедливі такі оцінки: , (24) , (25)де  ,  .Примітка. Залишкові члени формул лівих і правих прямокутників мають протилежні знаки. Отже, ці формули наближають інтеграл  з недостачею і надлишком. Тому за наближене значення інтеграла І можна взяти півсуму цих двосторонніх наближень, поклавши  . Тоді для абсолютної похибки наближення  дістанемо  .Приклад 1. Обчислити інтеграл  за формулами прямокутників при різних значеннях і оцінити похибку.Розв’язання. Для розв’язання задачі скористаємось пакетом Mathcad. Результати розв’язання наведено на лістингу 3.  Квадратурна формула трапецій  Рис.2 Для інтегрування методом трапецій відрізок інтегрування також розбивають на рівних частин  . Якщо провести ординати у всіх точках поділу і замінити кожну із одержаних криволінійних трапецій прямолінійною (рис.2), то наближене значення інтеграла буде дорівнювати сумі площ прямолінійних трапецій.Площу прямолінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса при  (підінтегральну функцію замінюємо многочленом Лагранжа першого степеня). У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так:  ,  (другий рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа прямолінійної трапеції буде обчислюватись за формулою ,а отже, наближене значення інтеграла буде обчислюватись за формулою  .Таким чином квадратурна формула трапецій для чисельного інтегрування має вигляд  . (26)Для залишкового члена формули трапецій неважко дістати формулу  . (27)Звідси випливає така оцінка для абсолютної похибки чисельного інтегрування за формулою трапецій  . (28)Квадратурна формула Сімпсона  Рис.3 Для інтегрування методом Сімпсона відрізок інтегрування розбивають на  рівних частин з кроком  . На парі сусідніх участків (рис. 3) крива  замінюється многочленом Лагранжа другого степеня (параболою)  , який проходить через точки  ,  ,  .Площу криволінійної трапеції обчислимо за формулою Ньютона-Котеса для трьох вузлів інтерполювання. У цьому випадку коефіцієнти Котеса визначаються так:  ,  ,  (третій рядок матриці коефіцієнтів Котеса). Тому площа криволінійної трапеції буде обчислюватись за формулою .Знаходячи суму площ усіх криволінійних трапецій, одержимо  .Якщо дещо перегрупувати сумування доданків, то дістанемо узагальнену формулу Сімпсона (парабол) у вигляді  . (29)Для відшукання залишкового члена формули Сімпсона  побудуємо інтерполяційний многочлен Ерміта, який у точках   має ті самі значення, що й , а в точці ще має місце рівність похідних многочлена і функції. Тоді многочлен  можна записати у вигляді ,де К – деяка стала. Тоді  ,де  – залишковий член формули Ерміта. Якщо  , то , (30)де  .Проінтегрувавши (30), дістанемо  Оскільки  ,то для залишкового члена Сімпсона дістанемо формулу  .Так як функція  на проміжку  не змінює знака, а  є неперервною на , то використовуючи теорему про середнє значення інтеграла, одержуємо .Обчисливши інтеграл, остаточно матимемо  . (31)Для обчислення похибки залишкового члена узагальненої формули Сімпсона, як і в попередніх випадках, скористаємось теоремою про середнє значення. Тоді  . (32)Оскільки значення  в формулі (32) невідоме, то обчислити похибку не є можливим, але можна дати оцінку залишкового члена ,  . (33) |
Схожі:
|
Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми... |
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ Розглянемо спочатку питання умовної та абсолютної стійкості на простому прикладі. Задача Коші |
|
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові... |
|
Обчислення за хімічними формулами Задачі на обчислення відносної молекулярної маси і визначення масової частки елементів у речовині |
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –... Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету... |
|
Тема 10. Податок на прибуток підприємств Навчальна мета: Охарактеризувати суть мита, митного тарифу та методи обчислення мита і митної вартості товарів |
Наталія Сергіївна Мельник При цьому розвиваються методи і техніки управління для досягнення визначених у проекті цілей за складом, обсягом робіт, вартістю,... |
|
Законі України «Про податкову службу» Облік, який надає інформацію про кількісну характеристику якісно визначених масових явищ і процесів у визначених умовах часу і простору,... |
ТЕМА: Текстовий процесор MS Word. Створення таблиць. Обчислення в... МЕТА: навчитись створювати в текстовому документі таблиці, виконувати необхідні обчислення, будувати діаграми на основі табличних... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua