ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород – 2007 Методичні вказівки і завдання до лабораторної роботи з курсу


Скачати 75.77 Kb.
НазваЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород – 2007 Методичні вказівки і завдання до лабораторної роботи з курсу
Дата08.02.2014
Розмір75.77 Kb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Інформатика > Документи
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІНЖЕНЕРНО-ТЕХНІЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА КОМП’ЮТЕРНИХ СИСТЕМ ТА МЕРЕЖ


МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

І ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

з курсу

АЛГОРИТМИ ТА МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ”

на тему

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Ужгород – 2007
Методичні вказівки і завдання до лабораторної роботи з курсу

Алгоритми та методи обчислень

на тему:

ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

для студентів 3-го курсу інженерно-технічного факультету,

спеціальність комп’ютерні системи та мережі

Укладач: Король І.Ю., канд. фіз.-мат. наук, доцент,

зав. кафедри “ Комп’ютерних систем та мереж ”

Затверджено на засіданні кафедри Комп’ютерних систем та мереж,

Протокол № від вересня 2007 року

Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету програм Mathcad.

Зміст роботи:

1. Вивчити можливості математичного пакету Mathcad для розв’язання систем нелінійних рівнянь.

2. Виконати запропоновані завдання з використанням засобів пакету Mathcad. Зміст звіту:

Навести короткі теоретичні відомості, постановку завдань, результати їх виконання та аналіз одержаних результатів.

Короткі теоретичні відомості

Розглянемо нелінійну систему


(1)

Якщо ввести -вимірні вектори , то систему (1) можна записати у вигляді

. (2)

Для розв’язання рівняння (2) скористаємось методом Ньютона. Для цього припустимо, що для одного з ізольованих коренів відоме -ве наближення . Тоді точний корінь рівняння (2) можна подати як

, (3)

де – похибка кореня.

Підставивши (3) в (2) дістанемо


. (4)

Якщо функція непевно-диференційована в деякій області, якій належить , то

, (5)

де

.

Матриця називається матрицею Якобі.

Рівняння (5) представляє собою лінійну систему, де в ролі невідомих виступають поправки , а головна матриця – :

. (6)

Припустивши, що визначник матриці відмінний від нуля, одержимо

. (7)

Замінивши в (3) на дістанемо формулу Ньютона:

, (8)

де за можна взяти грубе значення кореня. При практичному застосуванні метода для розв’язання нелінійних систем (2) обчислення за формулою (8) припиняються, коли

.

Щоб уникнути процедури обернення матриці Якобі, матричне рівняння (8) записують у вигляді системи лінійних рівнянь вигляду

, (9)

де

і .
2. Метод скорішого спуску (метод градієнта)

Нехай маємо нелінійну систему


(10)

або в матричному вигляді

, (11)

де – вектор, – вектор функція.

Припустимо, що функції дійсні і неперервно диференціфйовні в їх спільній області визначення. Розглянемо функцію

. (12)

Будемо вважати, що система (10) має лише ізольований розв’язок, який є точкою строгого мінімуму функції . В цьому випадку вихідна задача зводиться до знаходження мінімуму функції в n-вимірному просторі . Поставимо задачу обчислити мінімум функції .

Д


Рис. 1


амо геометричну інтерпретацію розв’я­зання даної задачі (рис. 1). Нехай х – вектор розв’язок системи (10) і – його нульове наближення. Через точку проведемо поверхню рівня функції . Якщо точка достатньо близька до кореня х, то поверхня рівня



буде подібна до еліпсоїда.

    Із точки будемо рухатись по нормалі до поверхні до тих пір, поки ця нормаль не дотикнеться в деякій точці якої-небудь іншої поверхні рівня (рис. 1)

    .

    Після цього, відправляючись від точки , знову рухаємося по нормалі до поверхні рівня до тих пір, поки ця нормаль не дотикнеться в деякій точці якої-небудь іншої поверхні рівня і т.д.

    Оскільки , то рухаючись таким чином, ми швидко наблизимось до точки з найменшим значенням , яка відповідає шуканому значенню кореня системи (1).

    Позначимо через градієнт функції . Із векторних трикутників , , … робимо висновок, що

    (13)

    де – деякий невідомий параметр, який потрібно визначити. Для цього розглянемо скалярну функцію

    .

    Функція задає зміну рівня функції вздовж відповідної нормалі до поверхні рівня в точці . Множник потрібно підібрати таким чином, щоб функція мала мінімум. Беручи похідну по і прирівнюючи її до нуля, одержимо рівняння

    . (14)

    Можна показати, що найменший додатний корінь рівняння (14) можна знайти за формулою:

    , (15)

    де

    .

    Формулу (15) можна подати в іншому вигляді, якщо виконати наступні перетворення. Дійсно,

    ,

    звідки

    .

    Враховуючи одержане, дістаємо

    , (16)

    де в чисельнику і знаменнику маємо скалярний добуток векторів, а формула градієнтного методу набуде вигляду

    (17)

    3. Метод скорішого спуску для випадку лінійних систем

    Розглянемо систему лінійних рівнянь

    (17)

    з дійсною матрицею і стовпцем вільних членів .

    Тоді

    і .

    На основі цього для знаходження розв’язку системи (17) одержуємо ітераційний процес:

    , (18)

    де – нев’язка вектора і

    (19)

    Завдання для індивідуальної роботи

    Завдання 1. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою методу Ньютона:

  1. із знаходженням оберненої матриці Якобі (формула (8));

  2. без знаходженням оберненої матриці Якобі (формула (9)).

    Завдання 2. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою методу скорішого спуску (формули (16), (17)).

    Завдання 3. Розв’язати систему нелінійних рівнянь за допомогою розв’язуючого блоку GivenFind пакету Mathcad.

Вказівка. Початкове наближення до розв’язків нелінійної системи знайти графічним способом. Індивідуальні завдання наведено в табл.1

Завдання 4. Розв’язати систему лінійних рівнянь за допомогою методу скорішого спуску (формули (18), (19)). За початкове наближення до розв’язків лінійної системи рівнянь взяти стовпець вільних членів. Індивідуальні завдання наведено в табл.2

    Вимоги до виконання лабораторної роботи. Для реалізації вказаних методів скласти відповідні програми, в яких передбачити вихід по заданій точності з підрахунком кількості виконаних ітерацій.

До уваги студентів. Захист роботи здійснити до закінчення наступної по порядку роботи!

Захист роботи передбачає знання теоретичного матеріалу та алгоритмів реалізації за допомогою програми Mathcad.

    Таблиця 1. Індивідуальні завдання

    1.

    2.

    3.

    4.

    5.

    6.

    7.

    8.

    9.

    10.

    11.

    12.

    13.

    14.

    15.

    16.

    17.

    18.

    19.

    20.

    21.

    22.

    23.

    24.

    25.

    26.

    27.

    28.

    29.

    30.



    Таблиця 2. Індивідуальні завдання

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20 21.

22. 23. 24.

25. 26. 27.

28. 29. 30.
ЛІТЕРАТУРА

1. Фельдман Л.П., Петренко А.І., Дмитрієва О.А. Чисельні методи в інформатиці. К.: Видавнича група BHV, 2006. – 480 с.

2. Алексеев Е.П., Чесноков О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, VFTLAB 7, Maple 9. М.: НТ Пресс, 2006. – 496 с.

3. Демидович Б.П. Марон И.А. Основы вычислительной математики. К.: Физматгиз, 1963. – 660 с.

4 Конспект лекцій.






Схожі:

“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь”
Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...
Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми...
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та...
Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; ви­роблення...
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ
Розглянемо спочатку питання умовної та абсолютної стійкості на простому прикладі. Задача Коші
Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові...
“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь”
Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного...
Тема. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ВИЩИХ СТЕПЕНІВ Заняття 1
Розв'язування рівнянь виду (х+а)(х+b)(х+с)(х+d) = А за умови, що а + b = с + d, або а + с = b + d, або а + d = b + с, де А Розв'язування...
Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними
Учитель Сьогодні на уроці ми продовжимо вивчати тему «Розв’язування систем лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом»....
Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь при заданих крайових...
Мета: Придбання навичок роботи з методами вирозв’язку диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь в системі MathCad
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка