ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ
|
|
Скачати 56.78 Kb.
|
|
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЖОРСТКИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ 1. Умовно і абсолютно стійкі різницеві методи Розглянемо спочатку питання умовної та абсолютної стійкості на простому прикладі. Задача Коші  (1)де  , має розв’язок , (2)який монотонно спадає при  (рис. 1). Рис. 1 При будь-яких  для розв’язку (2) справедлива нерівність , (3)що означає стійкість розв’язку  .Природно вимагати, щоб і для чисельного розв’язку задачі (1), виконувалась би нерівність, аналогічна (3). Розглянемо з цієї точки зору метод Ейлера   (4)Із рівняння (4) маємо  , де  . Оцінка вигляду (3), тобто нерівність , (5)для методу (4) буде виконуватись тоді і тільки тоді, коли  . У випадку умова (5) еквівалентна наступному обмеженню на крок h: . (6)Таким чином, чисельний метод (4) буде стійкий в сенсі виконання оцінки (5), якщо крок h задовольняє нерівність (6). Чисельний метод, який стійкий лише при певних обмеженнях на крок h, називається умовно стійким. Отже явний метод Ейлера є умовно стійким. Прикладом абсолютно стійкого чисельного методу для рівняння (1) з є неявний метод Ейлера , (7)для якого  при будь-якому .З розглянутих прикладів можна зробити висновок, умовна стійкість є недоліком явного методу, оскільки вимагає брати дуже маленький крок h. Наприклад, якщо  , то умова (6) буде виконана при  , і для того щоб обчислити розв’язок при  , необхідно зробити 100 кроків за методом Ейлера. Неявний метод позбавлений такого недоліку, однак його застосування до задачі Коші більш загального вигляду (8)буде приводити до необхідності розв’язання на кожному кроці нелінійного рівняння або системи нелінійних рівнянь. 2. Поняття жорсткої системи диференціальних рівнянь Для підвищення точності і адекватності математичних моделей складних об’єктів та процесів під час їх побудови потрібно враховувати велику кількість факторів і параметрів. Необхідність врахування в математичній моделі складових із великими і малими значеннями похідних від розв’язку неминуче спричинює так звану жорсткість рівнянь. Добре відомо, що в разі не врахування різного роду ‘малих величин’ у математичних моделях складних об’єктів та процесів реальна картина явища може бути істотно спотвореною. Тому дослідники змушені включати в моделі велику кількість другорядних, на перший погляд, факторів. У результаті, як правило. Підвищується порядок системи рівнянь моделі та її жорсткість. Слід відмітити, що жорсткість є властивістю математичної моделі, а не чисельного методу. Дамо деякі визначення. Системою нелінійних диференціальних рівнянь n-го порядку називається система вигляду:  (9)Системою лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку називається система вигляду:  (10)де  – незалежна змінна,  – шукані функції,  ,  – задані коефіцієнти (дійсні числа).Розглянемо спочатку однорідну лінійну систему диференціальних рівнянь  (11)яку запишемо в матричній формі  , (12)де А – матриця системи,  – вектор, компоненти якого є шуканим розв’язком.Нехай  – множина власних чисел матриці А. Система диференціальних рівнянь (12) із постійною матрицею  називається жорсткою, якщо система асимптотично стійка за Ляпуновим, тобто а відношення найбільшої за модулем дійсної частини власного числа до найменшої за модулем дійсної частини власного числа, тобто:  (13)є досить великою. Якщо матриця А залежить від , тобто маємо систему вигляду , (14)то власні значення  і параметр  також є функціями від , і визначення жорсткості системи може бути пере формульовано в такий спосіб: система (14) називається жорсткою в інтервалі  , якщо для всіх  виконується умова і число  (15)є велике. В основу визначення жорсткості нелінійної системи  , (16)покладено попереднє визначення лінійної системи зі змінними коефіцієнтами типу (15), де роль матриці  відіграє матриця Якобі  для правої частини рівняння (16), тобто . (17)Число жорсткості, як і число обумовленості матриці А, характеризується виразом  . (18)Звичайно кажуть про жорсткість задачі Коші (16), якщо  . Однак у кожному конкретному випадку різні значення  можуть вважатися великими. Проте максимальний крок обчислень для явних методів обмежений нерівністю , (19)де с – константа, яка залежить від умов задачі,  – власне значення матриці Якобі.3. Неявні методи Ейлера і Рунге-Кутта Поняття неявних методів було введено під час розгляду методів розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку вигляду  . (20)Це методи, формули яких містять шукані значення наближення  у лівій і правій частинах.10. Неявний метод Ейлера. Для неявного методу Ейлера (метод правих прямокутників) справедлива формула  , (21)де  – значення правої частини розв’язуваного диференціального рівняння у точці  , для якої власне і шукається наближення  .20. Неявний метод трапецій. Для даного методу справедлива формула  , (22)30. Неявний метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Для цього методу наближення шукається за формулами:  , (23) Порівнюючи формули для коефіцієнтів  неявного методу Рунге-Кутта з відповідними формулами для явного методу, неважко побачити їх подібність, за винятком того, що точки початку і кінця інтервалу помінялися місцями і відлік незалежного параметра ведеться у зворотному порядку (назад).Застосування неявних методів Ейлера та Рунге-Кутта зводить задачу інтегрування жорстких рівнянь до задачі розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь (21)-(23) відносно .Приклад 1. Розв’яжемо явним і неявним методом Ейлера задачу Коші  . Знайдемо значення  з кроком  і порівняємо отримані результати.Вибране значення кроку перевищує в 1,5 рази допустимий крок обчислень явним методом Ейлера, який згідно з (19) дорівнює  , тому що  і  .На лістингу 1 наведено результати , одержані за допомогою стандартної функції Odesolve з пакетe Mathcad  На лістингу 2 наведено результати, одержані явним методом Ейлера  На лістингу 3 наведено результати, одержані неявним методом Ейлера  На лістингу 4 наведено результати, одержані неявним методом трапецій  Таблиця порівняння методів
Явний метод Рунге-Кутта 4-го порядку     |
Схожі:
|
Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми... |
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –... Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету... |
|
Тема: Розв’язування диференціальних рівнянь при заданих крайових... Мета: Придбання навичок роботи з методами вирозв’язку диференціальних рівнянь і систем диференціальних рівнянь в системі MathCad |
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
|
“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
Розділ ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Якщо функція — алгебраїчний многочлен, то рівняння (1) називається алгебраїчним. Якщо функція містить тригонометричні, показникові... |
|
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення... |
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними... |
|
РОБОТА В СЕРЕДОВИЩІ Mathcad Надані завдання і зразки виконання лабораторних робіт з необхідними зауваженнями, коментарями, таблицями і рисунки з різних розділів... |
УРОК №71 Тема уроку. Системи рівнянь Мета уроку: формування понять: «система рівнянь з двома змінними»; «розв'язки системи лінійних рівнянь з двома змінними»; «ознайомлення... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua