Тема. Порівняння ймовірностей за допомогою перебору варіантів.
Мета: формувати вміння виконувати порівняння ймовірностей за допомогою перебору варіантів; виховувати наполегливість у навчанні, інтерес до вивчення математики; розвивати логічне мислення.
Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь.
Обладнання: поурочна картка оцінювання знань, картки для самостійної роботи, картки з тестовими завданнями.
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Перевірити правильність розв’язання домашніх задач за допомогою вправи «Мікрофон».
2. Виконання тестових завдань за картками
Варіант 1
1) Із скриньки, де лежать 16 білих і 10 чорних кульок, навмання вийняли 13 кульок. Яка з наведених подій є вірогідною?
А) Витягнуті кульки різних кольорів;
Б) серед витягнутих кульок є білі;
В) серед витягнутих кульок є чорні;
Г) серед витягнутих кульок не всі однокольорові.
2) Ймовірність якої з наведених подій дорівнює нулю?
А) У результаті підкидання грального кубика випало число 6;
Б) одне з двох чисел більше від другого;
В) існує квадрат, усі кути якого гострі;
Г) зі скриньки, де лежать білі та чорні кульки, витягнули білу кульку.
3) У кошику сидять три чорних і два білих кошеняти. Яка ймовірність того, що першим вилізе з кошика чорне кошеня?
А) 1/3; Б) 2/3; В) 3/5; Г) 5/2.
4) Яка ймовірність того, що в результаті підкидання грального кубика випаде число, кратне 5?
А) 1/5; Б) 0; В) 1; Г) 1/6.
Відповідь: 1) Б; 2) В; 3) В; 4) Г.
Варіант 2
1) Із скриньки, де лежать 16 білих і 10 чорних кульок, навмання вийняли 13 кульок. Яка з наведених подій є неможливою?
А) Витягнуті кульки є різнокольоровими;
Б) серед витягнутих кульок є чорні;
В) серед витягнутих кульок усі однакові;
Г) серед витягнутих кульок немає білих.
2) Ймовірність якої з наведених подій дорівнює 1?
А) У результаті підкидання монети випав герб;
Б) зі скриньки, де лежать білі та чорні кульки, витягнули білу кульку;
В) у результаті підкидання грального кубика випало одне очко;
Г) перший семестр закінчиться.
3) У коробці лежать 5 шоколадних цукерок і 2 льодяники. Яка ймовірність того, що навмання взята цукерка, буде шоколадною?
А) 1/5; Б) 2/5; В) 5/7; Г) 5/2.
4) Яка ймовірність того, що в результаті підкидання грального кубика випаде число, кратне 6?
А) 1/6; Б) 1; В) 0 ; Г) 1/2.
Відповідь: 1) Г; 2) Г; 3) В; 4) А.
ІІІ. Повідомлення теми, формулювання мети уроку
IV. Сприйняття та усвідомлення нового матеріалу
При знаходженні ймовірностей випадкових подій часто порівнюють ймовірності за допомогою перебору варіантів.
Задача 1. Порівняйте можливості настання випадкових подій, використовуючи для цього вислови «більш імовірно», «менш імовірно», «рівноймовірно»:
а) ви прокинулися зранку:
А: сьогодні робочий день;
В: сьогодні вихідний день;
б) ви підкинули гральний кубик:
А: випаде число, кратне трьом;
В: випаде число, кратне двом.
Відповідь: а) подія А більш імовірна за подію В, так як робочих днів 5, а це більше ніж вихідних днів, яких 2; б) подія А менш імовірна за подію В, так як чисел, кратних трьом є 2: 3 і 6, а чисел, кратних 2 є 3: 2, 4, 6.
Задача 2. Є десять карток, пронумерованих числами від 1 до 10. Максим навмання бере одну із цих карток. Яка подія є більш ймовірнішою:
а) А: «Максим вибрав картку з числом, більшим від 5» чи В: «Максим вибрав картку з числом, меншим від 5»;
б) А: «Максим вибрав картку з числом, кратним трьом» чи В: «Максим вибрав картку з числом, кратним чотирьом»;
в) А: «Максим вибрав картку з числом яке ділиться на чотири» чи В: «Максим вибрав картку з числом, яке ділиться на п’ять».
Відповідь: а) Р(А) > Р(В), так як Р(А)=5/10=1/2, Р(В)=4/10=2/5; б) Р(А) > Р(В), так як Р(А)=3/10, Р(В)=2/10=1/5; в) події рівноймовірні Р(А) = Р(В) = 2/10 = 1/5.
Задача 3. Кидають два гральні кубики. Якщо сума очок 11 – виграє перший гравець, якщо сума очок 12 – виграє другий. Чи справедлива така гра?
Розв'язання:
Нехай подія А: «Випало 11 очок», подія В: «Випало 12 очок». Р(А)=2/36=1/18; Р(В)=1/36. Так як 2/36 > 1/36, то Р(А)>Р(В), тому 11 очок випадає частіше, ніж 12 очок. Отже, гра не є справедливою.
Відповідь: гра не є справедливою.
V. Формування вмінь і навичок учнів.
Самостійне розв’язування задач
Задача 1. Гральний кубик кидають один раз. Яка подія більш ймовірна: А – «поява непарного числа очок» і В – «поява не менше ніж 5 очок».
Відповідь: Р(А) > Р(В).
Задача 2. Кидають одночасно два гральні кубики. Порівняйте ймовірність подій: А – «сума очок, що випали, дорівнює 8», В – «добуток очок, що випали, дорівнює 8».
Відповідь: Р(А) = 5/36 > Р(В) = 2/36.
Задача 3. Підкинули дві монети. Яка з подій є більш імовірною: А – «монети ляжуть однаковим боком» чи В – «монети ляжуть різними боками»?
Відповідь: Р(А)=Р(В)=1/2.
Задача 4. Є кісточки доміно, які перевернуті, з них навмання вибирають одну кісточку. Яка подія більш ймовірна: А – «кісточка доміно матиме 2 очки», В – «кісточка доміно матиме 5 очок», С – «кісточка доміно матиме 11 очок», D – «кісточка доміно матиме 15 очок».
Розв'язання:
Усього кісточок доміно 28. З них таких, що мають два очки, – дві:   ; таких, що мають п’ять очок, – три:    ; таких, що мають 11 очок, – одна:  ; таких, що мають 15 очок, – немає. Тому ймовірності даних подій будуть: Р(А)=2/28; Р(В)=3/28; Р(С)=1/28; Р(D)=0/28. Отже, найбільш імовірною є подія В.
Відповідь: подія В.
VI. Підбиття підсумків уроку
Виставлення оцінок за картками оцінювання знань
VII. Домашнє завдання
§18 повторити, № 652, № 654, задача.
Задача. Двоє грають у гру. Вони кидають два кубики. Перший одержує очко, якщо випадає сума 8. Другий одержує очко, якщо випадає сума 9. Чи справедлива ця гра?
Розв'язання:
Нехай подія А: «У результаті підкидання двох кубиків випало 8 очок», подія В: «У результаті підкидання двох кубиків випало 9 очок». У результаті підкидання двох кубиків можна дістати 36 рівноможливих результатів.
Число випадків, які сприяють події А, – 5.
  ;   ;  ; ;.
Число випадків, які сприяють події В, – 4.
; ; ;.
Тоді ймовірності даних подій будуть: Р(А)=5/36, Р(В)=4/36. 5/36 > 4/36, тому Р(А) > Р(В). Оскільки вісім очок випадає частіше, ніж 9 очок, то ця гра не є справедливою.
Відповідь: гра не є справедливою.
Урок 4
Тема. Обчислення ймовірностей.
Мета: формування вміння розв’язувати найпростіші задачі ймовірнісного характеру з використанням класичного означення ймовірності; виховувати старанність та наполегливість у навчанні; розвивати інтерес до вивчення математики, розумову активність, вміння об’єктивно оцінювати власну роботу.
Тип уроку: вдосконалення знань і вмінь.
Обладнання: картки оцінювання знань, картки для самостійної роботи.
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Правильність розв’язання № 652 і додаткової задачі перевіряємо з поясненням біля дошки.
2. Розв'язування усних вправ.
Для кожної з даних подій визначте, яка вона: випадкова, вірогідна чи неможлива.
А) влітку у школярів будуть канікули;
Б) 2 червня в селі Копіювата буде сонячно;
В) після уроків кабінет математики буде прибраний;
Г) у 6 класі не будуть вивчати математику;
Ґ) взимку випаде сніг;
Д) завтра буде дощ;
Е) ви йдете в школу, а назустріч вам іде слон;
Є) після середи буде неділя.
ІІІ. Актуалізація опорних знань
1. У коробці лежить 30 олівців, з них 24 кольорові, а решта – прості. Яка ймовірність того, що навмання взятий із коробки олівець буде: а) простим; б) кольоровим.
Відповідь: а) 6/30 = 1/5; б) 24/30 = 4/5.
2. У кошику лежать фрукти. З них 6 лимонів, 5 апельсинів, 7 мандаринів. Яка ймовірність того, що вийнятий навмання фрукт буде: а) лимоном; б) апельсином; в) мандарином; г) кокосом?
Відповідь: а) 6/18 = 1/3; б) 5/18; в) 7/18; г) 0.
3. На полиці стоїть 30 книг, з них 20 – художня література, а решта – підручники. Яка ймовірність того, що навмання взята з полиці книга буде підручником?
Відповідь: 10/30 = 1/3.
IV. Повідомлення теми уроку
V. Удосконалення знань і вмінь учнів
1. Розв'язування задач на обчислення ймовірностей з коментуванням та записом на дошці.
Задача 1. У скриньці крім 10 чорних і 5 білих кульок, лежать ще 9 червоних кульок. Знайдіть ймовірність того, що навмання взята кулька буде: а) червоного кольору; б) червоного або чорного кольору; в) не чорною; г) не червоною; ґ) зеленою; д) не жовтою.
Відповідь: а) 9/24 = 3/8; б) 19/24; в) 14/24 = 7/12; г) 15/24 = 5/8; ґ) 0; д) 1.
Задача 2. На картках написано по одній букві, з яких складено слово «математика». Картки перемішали й поклали написами вниз. Яка ймовірність того, що навмання взята картка буде з буквою: а) К; б) М; в) А; г) Т; ґ) Я?
Відповідь: а) 1/10; б) 2/10 = 1/5; в) 3/10; г) 2/10 = 1/5; ґ) 0.
Задача 3. У кошику лежать 7 груш і декілька яблук. Скільки яблук у кошику, якщо ймовірність того, що навмання взятий фрукт буде: а) грушею, дорівнює 7/18; б) яблуком, дорівнює 2/3?
Відповідь: а) 11; б) 14.
2. Самостійне розв’язування задач.
Задача 1. У скриньці 10 чорних і 5 білих кульок. Зі скриньки навмання виймають одну кульку. Знайдіть ймовірність того, що ця кулька: а) біла; б) чорна; в) зелена.
Відповідь: а) 5/15 = 1/3; б) 10/15 = 2/3; в) 0.
Задача 2. У скриньці 12 чорних і 7 білих. Зі скриньки виймають одну кульку і відкладають вбік. Вона чорна. Після цього зі скриньки виймають навмання ще одну кульку. Знайдіть ймовірність того, що ця кулька також буде чорною.
Відповідь: 11/18
VI. Підбиття підсумків уроку
1) Яка подія називається: а) випадковою; б) вірогідною; в) неможливою?
2) Що ми називаємо ймовірністю випадкової події?
3) Чому дорівнює ймовірність вірогідної події?
4) Чому дорівнює ймовірність неможливої події?
Оцінювання учнів за листками оцінювання знань.
VII. Домашнє завдання
Повторити §18, розв’язати задачі
Задача 1. Кидають гральний кубик. Знайдіть ймовірність того, що: а) випаде непарне число очок; б) випаде число очок, кратне 3; в) випаде будь-яке число, крім 5.
Задача 2. Дано п’ять точок, жодні три з них не лежать на одній прямій. Знайдіть ймовірність того, що вибравши навмання дві точки учні дістануть необхідну пряму.
Задача 3. На трьох картках написали букви М, А, К і поклали картки на стіл буквами вниз у довільному порядку. Яка ймовірність того, що після перевертання карток утвориться слово «мак»?
Урок 5
Тема. Розв'язування задач. Самостійна робота.
Мета: вдосконалювати вміння розв’язувати задачі з використанням класичного означення ймовірності; перевірити рівень засвоєння знань з теми шляхом проведення самостійної роботи.
Обладнання: картки для самостійної роботи.
Тип уроку: комбінований.
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Перевірка домашнього завдання
1. Перевіряємо правильність розв’язування задач № 1, № 2, № 3.
Задача 1.
Розв'язання: 
Всього на гральному кубику 6 чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. З них три непарних: 1, 3, 5 і три парних:
2, 4, 6.
Відповідь: а) 3/6 = 1/2; б) 2/6 = 1/3; в) 5/6.
Задача 2.
Розв'язання:
Якщо дано п’ять точок, то через них можна провести 10 прямих, серед яких одна необхідна.
Відповідь: 1/10.
Задача 3.
Розв'язання:
Всього різних слів можна скласти шість: «мак», «мка», «кам», «кма», «амк», «акм».
Відповідь: 1/6.
ІІІ. Актуалізація опорних знань.
Які з наступних подій – випадкові, вірогідні, неможливі:
а) 1 червня у Києві буде сонячно;
б) при ввімкненні світла, лампочка перегорить;
в) після 15 березня буде 8 березня;
г) ти маєш 20 гривень;
ґ) корова навчиться літати;
д) на вербі виросте полуниця;
е) на наступний рік ви зможете побачити сонячне затемнення;
є) на уроці математики ти отримаєш 10 балів;
ж) твоя мама виграє квартиру у лото «Забава»;
з) потяг на станцію прийшов за розкладом.
IV. Розв'язування задач
Задача 1. У партії зі ста деталей є 5 бракованих. Визначте ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.
Розв'язання:
Стандартних деталей буде 100 - 5 = 95. Тому ймовірність даної події буде 95/100 = 19/20.
Відповідь: 19/20.
Задача 2. Знайдіть ймовірність того, що навмання вибране натуральне число від 1 до 60 ділиться на 6.
Розв'язання:
Чисел, які діляться на 6, буде 10: 6, 12, 18, 24, 30, 26, 42, 48, 54, 60. Отже, ймовірність даної події буде рівна 10/60=1/6.
Відповідь: 1/6.
Задача 3. Навмання вибирають натуральне число від 1 до 100. Визначте ймовірність того, що в цьому числі не буде цифри 3.
Розв'язання:
Всього маємо 100 чисел. Цифра 3 буде зустрічатися в кожному числі від 30 до 39. Таких чисел буде 10. А також цифра 3 буде зустрічатися один раз в кожному десятку: 3, 13, 23, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Даних чисел буде 9. Отже, в першій сотні чисел з цифрою 3 буде 19, тоді чисел без цієї цифри буде 100 – 19 = 81. Тому ймовірність даної події буде 19/100.
Відповідь: 19/100.
Задача 4. Кидають два гральні кубики. Яка ймовірність події:
а) А: «сума очок, що випали, дорівнює 2»;
б) В: «сума очок, що випали, дорівнює 10»;
в) С: «сума очок, що випали, дорівнює 12»;
г) D: «сума очок, що випали, дорівнює 13».
Розв'язання:
При підкиданні першого кубика може бути шість варіантів. Для кожного варіанту першого кубика може бути шість різних варіантів другого кубика. Тобто, всього може бути 6∙6=36 подій. Тоді для події А сприятливих результатів буде 1: на першому і на другому кубику по одному очку, тому Р(А)=1/36. Для події В сприятливих результатів буде 3: 5 і 5, 6 і 4, 4 і 6. Тому Р(В)=3/36=1/12. Для події С сприятливим буде лише один результат: 6 і 6, то Р(С)=1/36. Подія D неможлива, тому її ймовірність дорівнює нулю.
Відповідь: а) 1/36; б) 1/12; в) 1/36; г) 0.
Задача 5. Учень записав у зошиті двоцифрове число. Яка ймовірність того, що сума цифр цього числа дорівнює 6?
Розв'язання:
Двоцифрових чисел всього 90 (від 10 до 99). Сума цифр числа – це склад числа 6: 6+0; 5+1; 4+2; 3+3; 2+4; 1+5; 0+6. Тому це будуть числа: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Отже, ймовірність даної події 6/90 = 1/15.
Відповідь: 1/15.
V. Самостійна робота
Варіант 1
1) Яка з наведених подій є випадковою?
А) У вівторок буде дощова погода;
Б) завтра деякі собаки почнуть розмовляти;
В) після суботи настане неділя;
Г) якщо у вираз х+5 замість х підставити 5, то дістанемо 10.
2) Яке з наведених тверджень неправильне?
А) Імовірність неможливої події дорівнює 0;
Б) якщо ймовірності двох подій рівні, то події називають рівноймовірними;
В) подія, яка може відбуватися або не відбуватися, називається випадковою;
Г) імовірність випадкової події дорівнює 10.
3) Яка ймовірність того, що навмання вибране число від 1 до 18 не ділиться на 5?
А) 1/6; Б) 5/6; В) 13/18; Г) 3/5.
Відповідь: 1) Г; 2) Г; 3) Б.
Варіант 2
1) Яка з наведених подій є випадковою?
А) Після грудня настане січень;
Б) якщо десять разів сказати слово «халва», то в роті стане солодко;
В) у результаті підкидання грального кубика один раз випаде шість очок;
Г) при діленні деякого натурального числа на 2, воно збільшиться вдвічі.
2) Яке з наведених тверджень неправильне?
А) Імовірності всіх випадкових подій однакові;
Б) імовірність вірогідної події дорівнює одиниці;
В) подія, яка може відбутися або не відбутися, називається випадковою;
Г) імовірністю випадкової події називається відношення кількості сприятливих для цієї події результатів до кількості всіх можливих результатів.
3) Яка ймовірність того, що навмання вибране число від 1 до 16 не ділиться на 6?
А) 3/16; Б) 1/2; В) 13/16; Г) 7/8.
Відповідь: 1) В; 2) А; 3) Г; 4) Г.
VI. Підбиття підсумків уроку
VII. Домашнє завдання
Повторити §18, розв’язати задачі 1, 2.
Задача 1. На стіл кидають монету й гральний кубик. Яка ймовірність того, що на монеті з'явиться герб, а на кубику – непарне число?
Розв'язання:
На монеті може випасти герб або цифра. Для кожного з цих результатів на кубику може випасти одне з шести чисел, тобто всіх можливих результатів буде 12.
1)  7) 
2) 8)
3) 9)
4) 10)
5) 11)
6) 12)
Кількість результатів, які сприятливі для даної події, три: (г, 1); (г, 3); (г, 5). Тому ймовірність даної події буде
3/12 = 1/4.
Відповідь: 1/4.
Задача 2. Кидають три монети. Яка ймовірність того, що всі вони випадуть однаковим боком?
Розв'язання:
При підкиданні трьох монет всього буде вісім можливих результатів:
1) 
2) 
3)
4)
5)
6)
7)
8)
Кількість результатів, які сприятливі для даної події, два: (ц, ц, ц), (г, г, г). Отже, ймовірність даної події 2/8 = 1/4.
Відповідь: 1/4.
Додаток
Облікова (поурочна) картка учня
№ п/п
|
Зміст роботи
|
Максимальна кількість балів
|
Отримані бали
|
1
|
Організаційний етап
Усний рахунок
|
1 б
|
|
2
|
Перевірка домашнього завдання
|
2 б
|
|
3
|
Актуалізація досвіду учнів
|
Математичний диктант або тести
|
3 б
|
|
4
|
Перевірка розуміння вивченого матеріалу
|
2 б
|
|
5
|
Закріплення вивченого
Самостійна робота
|
3 б
|
|
6
|
Підведення підсумків заняття
|
1 б
|
|
7
|
Загальна кількість балів за урок
|
12 б
|
|
Використана література
1. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Математика 6 клас, підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. – Київ: «Генеза», 2006
2. Бродський Я.С. Комбінаторика без формул. Знайомство з імовірністю та статистикою. – Х.: «Основа», 2004
3. Журнал «Математика в школах України» №34-36, грудень 2010, ст. 15
4. Старова О.О. Математика. 6 клас, І семестр. – Х.: «Основа», 2010
5. Сухарева Л.С. Нова змістова лінія в сучасному шкільному курсі математики 5-6 класів. – Х.: «Основа», 2008
6. Сухарева Л.С. Завдання для усної роботи, математичні диктанти та тести. Математика 5-6 класи. – Х.: «Основа», 2009
|