У процесі розв'язування задач учням доводиться виконувати ілюстративний рисунок, пояснювати хід розв'язування, обґрунтовувати певні математичні твердження і
|
|
Скачати 254.88 Kb.
|
|
Зображення многогранників, вписаних у круглі тіла або описаних навколо них Оскільки кругле тіло разом із вписаним або описаним многогранником утворює єдину геометричну комбінацію, то їх зображення повинно бути здійсненне в тій самій проекції. Для побудови зображень многогранників користуються довільною проекцією. Часто для зображення кулі користуються ортогональною проекцією, а для зображення циліндра і конуса — проекцією, | в якій проектуюча площина, що проходить через вісь такого тіла, перпендикулярна до площини проекції. Наприклад, подане зображення правильної призми, вписаної в циліндр, неправильне. (Точка Д не є серединою сторони) У  мовимося зображення многогранників, вписаних у циліндр і конус або описаних навколо них, будувати, користуючись проекцією, в якій проектуюча площина, що проходить через вісь круглого тіла, перпендикулярна до площини проекцій. Зображення многогранників, вписаних у кулю або описаних навколо неї, будуватимемо в ортогональній проекції.Побудову слід починати із зображення круглого тіла. Під Рис.1 час зображення комбінацій геометричних фігур, наприклад многогранників і фігур обертання, допускається зображення вписаної фігури штриховими лініями чи суцільними, удвоє тоншими за лінії видимого контуру. Можна також вписану й описану фігури, їх елементи зображати різними кольорами. Многогранники, вписані в циліндр Будуємо зображення циліндра; в еліпс, що є зображенням основи циліндра, вписуємо відповідний многокутник — зображення основи призми. Через вершини цього многокутника проводимо прямолінійні відрізки, які зображають твірні циліндра і є бічними ребрами вписаної призми. Кінці цих відрізків, які належать еліпсу, що становить зображення другої основи циліндра, є зображенням решти вершин вписаної призми (рис. 2). Аналогічно будуємо піраміди, вписані в циліндр. Якщо в піраміді дві бічні грані перпендикулярні площині основи й основа — правильний трикутник, то бічне ребро піраміди, перпендикулярне площині основи, збігається з твірною. Вершина піраміди — точка еліпса верхньої основи. Якщо піраміда правильна, то вершина її — центр еліпса верхньої основи {рис. 3). Якщо піраміда вписана в конус, то їх вершини збігаються, а зображенням основи піраміди є многокутник, вписаний в еліпс, що є зображенням основи циліндра.    Рис.2 . Зразки зображень правильних призм, вписаних у циліндр    Рис.3 Рис.4 Правильна трикутна призма, вписана в конус Вершини однієї з основ призми належать колу перерізу конуса площиною, паралельною площині його основи. Будуємо зображення перерізу — еліпс; вписуємо в еліпс трикутник, що є зображенням правильного трикутника основи призми. Через вершини цього трикутника проводимо прямі, паралельні висоті конуса, і відкладаємо на них відрізки, що дорівнюють 001 — висоті призми (рис. 4). Многогранники, вписані в кулю Вписаними многогранниками в кулю називають такі многогранники, всі вершини яких лежать на поверхні кулі. Очевидно, що вершини кожної грані многогранника, вписаного в кулю, належать колу, по якому площина цієї грані перетинає-поверхню кулі. Під час побудови зображень призми, вписаних у кулю, будемо виходити з того, що площини основ призми однаково віддалені від центра описаної кулі. Проводимо обриси кулі й довільно вибираємо зображення двох полюсів. Будуємо зображення двох паралелей, площини яких однаково віддалені від центра обрису кулі. Будуємо зображення призми, вписаної в циліндр (рис. 5).  Рис. 5 Для побудови проекційного рисунка піраміди, вписаної в кулю, проводимо обрис кулі й зображення кола перерізу кулі площиною основи піраміди. У побудований еліпс вписуємо відповідний многокутник — зображення основи піраміди — і визначаємо положення зображення вершини піраміди. У випадку правильної піраміди її вершину й коло, описане навколо многокутника основи, можна розглядати відповідно як полюс і паралель поверхні кулі. Висота, очевидно, проходить через центр кулі (рис. 6). Побудова проекційних рисунків зрізаних пірамід, вписаних у кулю, аналогічна побудові рисунків вписаних призм. Відмінність полягає в тому, що площини основ вписаної в кулю зрізаної піраміди не однаково віддалені від центра кулі. Побудову можна спростити, якщо врахувати, що відповідними вершинами однієї і другої основ зрізаної піраміди є кінці паралельних радіусів кіл, описаних навколо цих основ.   Рис. 6 Зображення многогранників, описаних навколо круглих тіл Многогранники, описані навколо круглих тіл На проекційному рисунку циліндра описуємо навколо зображення однієї з основ циліндра многокутник, що є зображенням основи призми. Через точки дотику проводимо відрізки — зображення твірних, по яких дотикаються бічні поверхні циліндра й призми. Кінці цих відрізків визначають зображення точок дотику сторін многокутника другої основи призми до кола основи циліндра. За цими точками будуємо зображення другої основи призми як многокутника, описаного навколо кола. Далі будуємо зображення бічних ребер. Після першого етапу через кожну вершину многокутника проводимо відрізки, паралельні й рівні зображенню висоти (осі) циліндра. Ці відрізки зображають бічні ребра призми. Послідовно сполучивши кінці цих відрізків, дістаємо зображення другої основи призми. Зауваження. Твірні циліндра, що є його контурами, не збігаються з відрізками, по яких дотикаються бічні поверхні циліндра й призми (рис. 7). Рис. 7 Тіла обертання Розв'язуючи задачі на фігури обертання, треба перш за все зобразити (у фронтальній площині, без спотворення) осьовий переріз отриманого тіла обертання (вісь обертання на рисунку вертикальна), а потім зобразити основи й обрисові твірні фігур, з яких складається тіло обертання. За обертання навколо осі точка описує коло, радіус якого дорівнює відстані точки від осі, причому площина кола перпендикулярна до осі обертання.  Для зручності корисно побудову осьового перерізу використовувати як виносний рисунок, а поряд виконувати об'ємне зображення тіла обертання, розмістивши на ньому осьовий переріз під кутом до фронтальної площини (рис. 8).Рис. 8 Обґрунтування положення центра кулі в задачах на комбінацію кулі з многогранниками, циліндром чи конусом
Загальні зауваження щодо виконання письмових робіт з геометрії Розв'язуючи задачі в зошиті, учні повинні дотримуватися певних правил оформлення записів. Інколи вчителі не зважають на відсутність розділових знаків, абзаців тощо. З культури письма починається культура майбутнього і працівника. Якщо учень, знаючи, що його робота перевірятиметься, все-таки її виконує недбало, пише нерозбірливо, малограмотно, то на найвищий бал ця робота не заслуговує. Недопустимим є написання математичних знаків та інших символів між словами, між числом і словом: «висота < бічного ребра» ...Знаком рівності можна сполучати тільки однойменні величини: не можна писати 2-3 = 6 см, потрібно писати 2-3 = 6 (см). Бажано уникати позначень із громіздкими символами: Упр.зріз.пір... Краще написати «позначимо об'єм зрізаної піраміди через V». Небажано позначати вершину піраміди і площу її основи однією І буквою S або значення однієї й тієї ж величини різними символами SОВС, S, SАВС тощо. Не обов'язково площу позначати тільки буквою S Математичні символи (  ,  та інші) використовуються, як правило, у записах відношень чи функціональних залежностей;у розгорнутих поясненнях їх необхідно уникати, а використовувати для цього відповідні терміни. Вважаємо, що спочатку після вказаного номера завдання повинен йти текст задачі. Потім із наступного рядка слово «Розв'язання». Далі рисунок — по центру. Виконання завдання обов'язково закінчується словом «Відповідь», відповідь записується з маленької букви. Якщо необхідно було щось довести, то виконання може закінчуватися, наприклад, словами «що й потрібно було довести» або «твердження задачі доведено» чи «отже, ... (висновок)». У задачах на побудову перерізів відповідь може мати такий вигляд: «АВСК — шуканий переріз». Запис розв'язування задачі Умова задачі записується лише один раз. Скорочений запис умови робити недоцільно. Зайвим є також і виділення в окремий пункт пояснення до рисунка. Це повинно входити в загальне пояснення, яке супроводжує розв'язування задачі, і бути його складовою частиною. У поясненні в першу чергу відображаються функціональні залежності між даними і шуканими величинами. Записуючи розв'язання задачі, потрібно пояснювати та обґрунтовувати суттєве, не захоплюючись надмірною деталізацією. Проте не можна обмежуватися в поясненнях тільки записом формул і обчисленнями без проміжних викладок. Особливої уваги потребують пояснення, що стосуються безпосередньо геометричної фігури, про яку йдеться в умові задачі, і взаємного розміщення її елементів (перерізів, сторін, ребер, граней, вершин, кутів і т. д.). Пояснювати необхідно ті геометричні властивості, які будуть використовуватися під час розв'язування задачі. Виняток складають лише ті, що випливають з означення заданої геометричної фігури. Наприклад:
У процесі розв'язування задачі пояснення потребують:
Взагалі важко дати вичерпні рекомендації до кожної геометричної задачі, які положення слід детально пояснювати, які можна взяти як загальновідомі. У цьому немає необхідності. Було б дуже шкідливо, якби учні підганяли розв'язування задачі під шаблон. За надмірною деталізації процес і розв'язування задачі ускладнюється, при цьому виникають і помилки. Наприклад, учні часто і називають наслідок теореми Піфагора теоремою, плутають ознаки й означення, хоч зміст розуміють правильно. Суть у тому, щоб учні добре зрозуміли необхідні і достатні умови, які забезпечують існування відношення чи властивості, на основі яких встановлено залежність між елементами фігури. Наприклад, щоб встановити рівність трикутників, достатньо вказати рівність відповідних кутів і лінійних елементів, які гарантують відношення рівності без обов'язкового формулювання і назви самої ознаки. Так, у разі застосування теореми Піфагора та її наслідків достатньо встановити, що трикутник прямокутний, і вказати прямий кут. Без посилань на відповідні теореми чи наслідки застосовуються в процесі розв'язування задач властивості і відношення між сторонами, кутами й діагоналями паралелограма, попередньо встановивши, якщо це невідомо з умови задачі, вид чотирикутника. Аналогічно необхідно підходити й до посилань на математичні твердження зі стереометрії, наприклад, під час побудови проекцій відрізка, прямої на площину, під час використання властивостей паралельності прямих і площин, теореми про три перпендикуляри тощо. У шкільному курсі математики, особливо в геометрії, ряд традиційних теорем і наслідків із них віднесено до так званих опорних (базисних) задач: властивість діаметра кола, який проходить через середину хорди, і діаметра, перпендикулярного до хорди кола, про перетин в одній точці серединних перпендикулярів до трьох сторін, висот, бісектрис і медіан трикутника; протилежних кутів вписаного в коло і сторін описаного навколо кола опуклого чотирикутника; бісектриси кута трикутника; співвідношення в прямокутному трикутнику, між хордою і діаметром, відрізками хорд, які перетинаються; формули вираження висоти, площі трикутника через його сторони; радіуса вписаного й описаного кіл, існування і єдиність прямої, перпендикулярної до площини, площ бічних поверхонь і об'ємів зрізаних піраміди й конуса та інші. Оскільки ці факти часто зустрічаються в процесі розв'язування задач, то ці задачі використовуються як теореми з обмеженням констатації такого характеру: «як відомо», «як ми знаємо» тощо. Це стосується і посилань на теореми й наслідки з курсу планіметрії без повторення доведень, уміщених у підручнику. Корисно прищеплювати учням уміння й потребу за одержаною загальною формулою оцінювати достовірність відповіді, щоб застрахувати себе від можливих помилок логічного чи механічного характеру. Такий спосіб переходу від загального твердження до конкретного називається спеціалізацією. Так, щоб перевірити правильність здобутої в процесі розв'язування задачі формули, достатньо розглянути один із випадків, надавши параметрам формули значення, при яких вона буде мати конкретне числове значення. Якщо в умові задачі, крім загального розв'язку, потрібно знайти числове значення величини за числовими значеннями параметра, то найчастіше відповідь дістаємо наближену. Щоб забезпечити точність і позбавитись зайвих обчислень, необхідно дотримуватися правил залежностей між точністю лінійних і кутових величин:
У записі відповіді у вигляді загальної формули найменування типу «квадратні одиниці», «кубічні одиниці» не пишуться. Одиниці вимірювання пишуться лише для конкретного випадку, коли задано розмірності параметрів лінійних елементів фігури. |
Схожі:
|
Урок №10 Тема. Розв'язування задач Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів щодо означень, властивостей та ознак різновидів паралелограма; вдосконалити вміння... |
Урок №45 Тема. Пряма пропорційна залежність. Розв'язування задач на пропорційний поділ Мета: продовжити роботу з формування вмінь складати пропорції для розв'язування задач на пряму пропорційну залежність величин; вдосконалювати... |
|
Урок гра з геометрії в 8 класі. Тема уроку «Подібність трикутників» в процесі розв’язування задач; розглянути застосування подібності трикутників для розв’язування практичних... |
Розв'язування прикладних задач У математиці задачі відіграють важливу роль. Iсторiя свідчить, що математика як наука виникла iз задач i розвивається в основному... |
|
9-й клас. ГЕОМЕТРІЯ Розв'язує трикутники. Застосовує алгоритми розв'язування трикутників до розв'язування прикладних задач |
Урок №60 Тема. Розв'язування задач Мета: сформувати уявлення в учнів про схему розв'язання текстових задач складанням квадратного рівняння; сформувати вміння застосовувати... |
|
Конспекти уроків Тема. Перпендикулярність прямої і площини. Розв’язування задач Методи уроку: розв’язування задач в гетерогрупах, в моногрупах, самостійна робота |
Урок №9 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь Мета: розширити знання про види задач, що розв'язуються складанням рівнянь, розширити спектр умінь щодо складання математичної моделі... |
|
УРОК 129. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ Мета Мета. Узагальнити знання учнів про відсотки та масштаб, завершити формування вмінь і навичок розв'язування задач на застосування... |
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними... |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua