У процесі розв'язування задач уч­ням доводиться виконувати ілю­стративний рисунок, пояснювати хід розв'язування, обґрунтовувати певні математичні твердження і

Скачати 254.88 Kb. Назва У процесі розв'язування задач уч­ням доводиться виконувати ілю­стративний рисунок, пояснювати хід розв'язування, обґрунтовувати певні математичні твердження і Сторінка 1/3 Дата 14.04.2013 Розмір 254.88 Kb. Тип Документи bibl.com.ua > Математика > Документи

У процесі розв'язування задач уч­ням доводиться виконувати ілю­стративний рисунок, пояснювати хід розв'язування, обґрунтовувати певні математичні твердження і висновки, робити посилання на вивчені теореми, аксіоми, озна­чення тощо, записувати відповідь. Головне, щоб у всьому була чіт­кість, лаконічність, щоб записи достатньо повно відображали ма­тематичну підготовку випускника. Найперша вимога — щоб за запи­сами можна було зрозуміти хід розв'язування. Основні особливості геометричної задачі 1) Геометрична задача має неабияке значення в курсі геометрії: розв'язування геометричної задачі дає змогу учням ґрунто­вніше опанувати теоретичний курс геометрії і глибше пов'язати теорію з практикою; розв'язування геометричної задачі формує в учнів уміння відшуковувати й усвідомлюва­ти різноманітного типу функ­ціональний зв'язок між вели­чинами, причому самі ці вели­чини в геометричних задачах подаються в більш наочному вигляді, ніж у задачах алгебраїчних; під час відшуковування й застосування цієї функціональ­ної залежності учні повинні робити правильні висновки і чітко формулювати їх; отже, геометрична задача розвиває в учнів і логічне мислення; розв'язування геометричної за­дачі розвиває учнів просторові уявлення і конструктивні здіб­ності значно більшою мірою, ніж це допускає тільки теоретичний курс геометрії. 2) Геометрична задача має багато спільних рис із алгебраїчними задачами, бо й вони вимагають відшукання функціонального зв'язку між величинами, вима­гають логічного обміркуван­ня і застосування теоретичних тверджень до практичних пи­тань. Разом з тим розв'язування гео­метричної задачі має й специ­фічні особливості, характерні лише для геометричних задач: в задачах алгебраїчних учні відшукують залежність між ві­домими і невідомими величи­нами безпосередньо в самому тексті задачі, і тільки іноді ви­никає в учнів потреба брати відповідну залежність з певно­го досить обмеженого запасу формул поза умовою задачі; під час розв'язування геомет­ричних задач учні повинні до­бирати потрібну їм функціо­нальну залежність з великої кількості теорем, які подають­ся поза текстом умови задачі. Другу особливість геометричної задачі становить рисунок, який у геометричній задачі відіграє надзвичайно важливу роль, кон­кретизуючи величини, дані в умо­ві задачі, і допомагаючи учням дібрати потрібну для розв'язуван­ня задачі теорему. Розв'язуючи задачі, учень пови­нен: правильно усвідомити просто­рову форму та виконати рису­нок; вибрати потрібну теорему або формулу; провести різноманітні ариф­метичні та алгебраїчні пере­творення. Значення рисунка в процесі вивчення стереометрії У процесі вивчення шкільного курсу стереометрії просторові об'єкти доводиться зображувати на площині, тобто виконувати рисунки просторових фігур. Про­те досі в шкільній практиці немає єдиного загальноприйнятого під­ходу в трактуванні цього питання. Більш того, багато вчителів при­діляють цьому питанню мало ува­ги, вважаючи його другорядним. Немає єдиної думки і в питанні про те, що слід розуміти під ри­сунком просторової фігури, при­датним з методичного погляду. Немає загальноприйнятих спо­собів побудови цих рисунків. Кожному вчителеві відомо, яке велике значення під час викла­дання стереометрії мають рисун­ки просторових фігур. За допомо­гою таких рисунків в учнів ство­рюється правильне просторове уявлення про вивчені геомет­ричні форми. Наочний рисунок дає можливість учням правильно розв'язати задачу, зробити певні висновки щодо властивостей тих чи інших просторових об'єктів. У процесі вивчення стереометрії рисунок є одним із засобів за­своєння нового матеріалу, розви­нення просторової уяви учнів, і через це дуже важливо навчити їх вільно і свідомо виконувати ри­сунки геометричних форм, озна­йомити їх з ефективними спосо­бами виконання таких рисунків. Звичайно, рисунки в курсі стере­ометрії не можуть бути самоці­ллю — вони є тільки допоміжни­ми засобами як на уроці, так і в процесі виконання учнями са­мостійних письмових робіт. У нарисній геометрії зображення просторових фігур є паралельною проекцією фігури на площину проекцій. Відповідно до цього важливо, щоб властивості фігури, які не змінюються за паралельно­го проектування, були правильно відображені на рисунку, а отже, зображення справді було про­екцією оригіналу. За паралельного проектування: якщо точка А' належить деякій лінії пі', то проекція А цієї точ­ки належить проекції т лінії; проекцією прямої лінії є пряма або точка; проекції паралельних прямих паралельні або збігаються; проекції двох прямих, що пе­ретинаються, перетинаються або збігаються; проекції двох мимобіжних пря­мих перетинаються або пара­лельні; за паралельного проектування відношення відрізків проекто­ваної прямої дорівнює відно­шенню їх проекцій (зокрема середина відрізка проектується на середину проекції цього відрізка); будь-який трикутник з точніс­тю до подібного перетворення можна розглядати як паралель­ну проекцію довільного три­кутника; довільний трикутник можна вважати зображенням правильного, прямокутного та рівнобедреного трикутників; побудова зображення бісек­триси трикутника зводиться до поділу зображення відповідної сторони його у відношенні, що дорівнює відношенню двох ін­ших сторін трикутника — ори­гіналу (отже, зображення бі­сектриси не обов'язково є бі­сектрисою); зображення двох бісектрис трикутника визначають зобра­ження третьої його бісектриси; побудова зображення висоти трикутника зводиться до побу­дови зображення основи висо­ти, яка поділяє зображення сто­рони у відношенні, що дорів­нює відношенню котангенсів кутів трикутника — оригіналу, які прилягають до цієї сторони; зображення двох висот трикут­ника визначають зображення третьої його висоти; медіана трикутника зобража­ється медіаною на рисунку; зображенням паралелограма (ромба, квадрата, прямокутни­ка) можна вважати довільний паралелограм, який належить площині проекції, а тому влас­тивості елементів прообразу (діагоналей, протилежних ку­тів) зберігаються; довжини сторін і величини кутів його можна "вибрати довільно; зображенням трапеції є трапе­ція, у якої відношення довжин основ прообразу дорівнює від­ношенню довжин основ зобра­женої трапеції; для випадку рівнобедреної трапеції вісь си­метрії зображається прямою, що проходить через середини сторін трапеції-образу; зображенням правильного ше­стикутника є шестикутник, у якого три пари попарно рів­них і паралельних протилежних сторін; проекцією кола є еліпс; проекцією центра кола є центр відповідного еліпса; проекцією взаємно перпенди­кулярних діаметрів кола є спряжені діаметри еліпса; проекцією дотичної до кола є дотична до еліпса — проекція цього кола; точки кулі проектуються на контур еліпса або всередину його. Отже, під час зображення просто­рових фігур важливо, щоб збері­галися властивості паралельного проектування. Наприклад, під час зображення кола, вписаного в правильний трикутник, важли­во, щоб у просторовому рисунку еліпс точками дотику ділив кожну зі сторін трикутника навпіл. Паралельне проектування можна розглядати також як геометричне перетворення з деякими інваріан­тами, найважливішими з яких є: прямолінійність відрізків, про­менів, прямих; паралельність прямих, відріз­ків, променів; відношення довжин відрізків однієї і тієї ж прямої; відношення довжин відрізків двох паралельних прямих. Зображення просторових фігур мають бути не тільки правильни­ми, але й наочними і створювати в учнів правильні зорові уявлення про зображувані просторові об'єкти. Фактор наочності в зоб­раженні геометричних форм має першочергове значення. У стереометрії вивчають такі фі­гури, в яких не всі точки розмі­щені в одній площині. Під час зображення просторових фігур учні зустрічаються з труднощами. Суттєва відмінність стереометрії від планіметрії полягає в тому, що тут йдеться про тривимірний про­стір, а зображати фігури цього простору на площинних рисунках не можна без спотворень. Під час вивчення планіметрії, говорячи про прямий кут, учні креслять кут 90°; розповідаючи про рівносторонній трикутник — креслять трикутник з рівними сторонами. У стереометрії гострий кут на ри­сунку може бути прямим і навіть тупим, а перетинні прямі на ри­сунку можуть не перетинатись. Саме з цієї причини багато учнів припускаються помилок, викону­ючи рисунок до задачі, не можуть у процесі її розв'язування вико­ристовувати теореми та аксіоми планіметрії. Щоб полегшити учням викорис­тання теоретичного матеріалу під час розв'язування стереометрич­них задач, доцільно елементи про­сторової фігури, які є плоскими фігурами, виносити на окремий рисунок. У ньому більш чітко спостережуються співвідношення ок­ремих елементів фігури, виразніше асоціюються рисунок і потрібні для розв'язування задачі теореми. Треба пам'ятати, що під час роз­в'язування задачі рисунок може виконати позитивну роль тільки тоді, коли він буде правильно відображати і форму, і співвідно­шення тих геометричних об'єктів, які входять до складу задачі. Тільки правильно виконаний ри­сунок сприяє розвитку окоміру учня, привчає охоплювати спів­відношення частин рисунка і тим допомагає йому розв'язати задачу. Невдало виконаний рисунок не тільки не допомагає учневі роз­в'язати задачу, а навпаки, пере­шкоджає в цій справі. Щоб рисунок став ефективним способом розв'язування геомет­ричної задачі, в процесі його ви­конання повинні бути реалізовані вимоги: правильність, яка означає, що існує такий спосіб проектуван­ня, за якого зображення фігури подібне до отриманої проекції; наочність, яка показує, що об­раз фігури створює те ж саме враження, що й прообраз; простота побудови, яка поля­гає в тому, що у виконанні до­даткових побудов не доводить­ся користуватись складними допоміжними побудовами; повнота, суть якої в тому, що з розміщення усіх елементів геометричної фігури чи її час­тини на рисунку можна суди­ти про розміщення елементів у просторі. Реалізувати ці вимоги допомага­ють правила побудови зображень геометричної фігури. Зображенням фігури (прообразу) називається яка-небудь фігура (об­раз), подібна паралельній проекції даної фігури на дану площину. Форма її зображення залежить від положення зображуваної фігури по відношенню до площини про­екції, а також від вибору напряму проектування. Способи побудови зображуваної фігури визначені властивостями паралельного про­ектування. Рисунки до задачі Деяка частина стереометричних задач може виконуватись без ри­сунка. В окремих випадках можна зображати не всю просторову фігуру, а її осьовий переріз або одну з кількох секцій, або лінію перетину фігур. Замість кулі, впи­саної в многогранник або описа­ної навколо нього, можна зобра­жати коло великого круга, а в дея­ких випадках — тільки центр і окремі точки її поверхні. Якщо, наприклад, в циліндр впи­сано правильну шестикутну при­зму і для розв'язування задачі ви­користовується лише частина вписаної фігури, то можна пока­зати лише частину вписаної при­зми, але пояснити, як цю фігуру вписують з усіма контрольними моментами. У зошитах бажано, щоб учні ви­конували рисунки олівцем. Це пов'язано з тим, що під час відо­браження умови задачі і додат­кових побудов може виникнути ситуація, коли збігаються окремі відрізки чи, наприклад, розташу­вання висоти фігури чи її основи на рисунку не відповідає умові за­дачі, що з'ясовується вже в про­цесі розв'язання. Тоді такий ри­сунок уже не можна виправити. Буквені позначення на рисунку роблять пастою. Букви і цифри на рисунку слід писати так, щоб вони не перети­нали ліній. Рисунок краще виконувати по центру, а під ним записувати умо­ву і розв'язання. Якщо необхідно винести частину рисунка, то кра­ще зображати його поряд з пер­шим. Нумерувати — рис. 1, а ви­несену частину рис. 1.1. При цьо­му буквені позначення повинні бути ідентичними. Якщо рисунок не відповідає умові задачі або, наприклад, не дотри­мано властивостей паралельного проектування при зображенні фігури та її. елементів, то оцінка знижується. Якщо в процесі розв'язування задачі учень припустився помилки на основному рисунку, наприклад центр описаного трикутника знаходиться поза межами трикутника, і це не вплинуло на результат, то за неможливості виправлення рисунка можна винести і цей трикутник окремим рисунком і чітко показати положення І центра. Розміри рисунка повинні бути від до довжини аркуша зошита: довжини аркуша — у випадку, якщо рисунок до задачі з планіметри, довжини аркуша — коли рисунок виконується до задач зі стереометрії. Числові величини чи параметри не потрібно наносити на рису­нок, за винятком кутів, які можна позначати дугами і буквами гре­цького алфавіту чи цифрами. Рівні кути позначають однаковою цифрою або рівним числом дужок. У складних рисунках бажано по­ряд давати рисунки-виноски. У більшості простих задач рису­нок можна виконувати від руки, але додержуючись правил пара­лельного проектування. До основної задачі рисунок вико­нується за допомогою кресляр­ських інструментів, а до варіантів можна від руки, але правильно. Слід зазначити, що рисунок не обов'язковий атрибут кожної за­дачі, оскільки є чимало задач, під час розв'язування яких можна обійтися без нього. Це, як прави­ло, задачі на 1—2 логічних кроки чи на безпосереднє використання формул. Задачі на комбінації тіл Особливий тип задач становлять задачі на комбінації тіл, напри­клад многогранників (призми, піраміди) і тіл обертання (ци­ліндра, конуса, кулі). Складність розв'язування їх полягає в пояс­ненні взаємного розміщення еле­ментів обох тіл, що входять у ком­бінації: висот, ребер, центра впи­саного та описаного кіл і т. ін. | Інколи такі пояснення бувають досить громіздкими. У підручнику подається означення призми й піраміди, вписаних у циліндр і конус і описаних на­вколо них. Тому, пояснюючи хід розв'язування таких задач, по­трібно спиратися на ці означення і можна не пояснювати факти, які є очевидними їх наслідками. З них випливають і означення циліндра (конуса), вписаного в призму (піраміду) і описаного навколо призми (конуса). Що стосується висот конуса й піраміди, то вони збігаються на підставі єдиності прямої, перпен­дикулярної до площини і прове­деної через точку, що не лежить у площині. Очевидним є і те, що радіус вписаного в основу пірамі­ди кола перпендикулярний до стороні многокутника, який ле­жить в основі піраміди, і є про­екцією твірної конуса на площи­ну основи. Значні труднощі виникають у процесі розв'язування задач на комбінацію кулі з многогранниками (призма, піраміда) і тілами обертання (циліндр, конус). У під­ручнику наведено лише означен­ня многогранника, описаного на­вколо кулі (кулі, вписаної в многогранник), і многогранника, вписаного в кулю (кулі, описаної навколо многогранника). Ці оз­начення слід доповнити такими: Під час-розв'язування задач на вписану й описану кулі головне — пояснити, де знаходиться її центр. Важливу роль у поясненні відіграє очевидний факт, який випливає з означень: центр кулі, вписаної в многогранник, рівновіддалений від усіх граней, тобто є точкою перетину півплощин, \ проведених через ребра двогранного кута, утвореного двома суміжними гранями, які ділять цей кут навпіл; центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від усіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер, перпендикулярно до них. Часто в поясненнях використовується теорема про переріз і кулі площиною, її центра, а також симетричність окремих геомет­ричних тіл. Тому, наприклад, для комбінації кулі з круглими тілами доцільно розглядати не всю кон­струкцію, а лише її осьовий пе­реріз, який може бути колом (кругом) із вписаним чи описа­ним многогранником. Крім цих випадків, можливі й ін­ші комбінації геометричних фігур (призма і піраміда, півкуля і ци­ліндр тощо). Як правило, взаємне розміщення геометричних тіл у таких комбінаціях задається умовою задачі.

---

Схожі:

Урок №10 Тема. Розв'язування задач Мета: узагальнити та систематизувати знання учнів щодо озна­чень, властивостей та ознак різновидів паралелограма; вдосконалити вміння...	Урок №45 Тема. Пряма пропорційна залежність. Розв'язування задач на пропорційний поділ Мета: продовжити роботу з формування вмінь складати пропорції для розв'язування задач на пряму пропорційну залежність величин; вдо­сконалювати...
Урок гра з геометрії в 8 класі. Тема уроку «Подібність трикутників» в процесі розв’язування задач; розглянути застосування подібності трикутників для розв’язування практичних...	Розв'язування прикладних задач У математиці задачі відіграють важливу роль. Iсторiя свідчить, що математика як наука виникла iз задач i розвивається в основному...
9-й клас. ГЕОМЕТРІЯ Розв'язує трикутники. Застосовує алгоритми розв'язування трикутників до розв'язування прикладних задач	Урок №60 Тема. Розв'язування задач Мета: сформувати уявлення в учнів про схему розв'язання тексто­вих задач складанням квадратного рівняння; сформувати вміння за­стосовувати...
Конспекти уроків Тема. Перпендикулярність прямої і площини. Розв’язування задач Методи уроку: розв’язування задач в гетерогрупах, в моногрупах, самостійна робота	Урок №9 Тема. Розв'язування задач за допомогою рівнянь Мета: розширити знання про види задач, що розв'язуються складан­ням рівнянь, розширити спектр умінь щодо складання математичної мо­делі...
УРОК 129. РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ Мета Мета. Узагальнити знання учнів про відсотки та масштаб, завершити формування вмінь і навичок розв'язування задач на застосування...	Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання Портал навчання

---