|
Скачати 172.67 Kb.
|
Розділ 3. РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми та програми, реалізовані в пакеті Mathcad розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислення визначників та обернення матриць. 3.1. Основні поняття Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді: ![]() або ![]() де ![]() ![]() ![]() Систему лінійних алгебраїчних рівнянь часто записують у матричній формі ![]() ![]() ![]() ![]() де А – матриця коефіцієнтів системи, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Квадратна матриця ![]() ![]() нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю: ![]() верхньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю: ![]() нижньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані вище головної діагоналі, дорівнюють нулю: ![]() діагональною, якщо всі елементи, крім головної діагоналі, дорівнюють нулю: ![]() одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші – нулю: ![]() Квадратна матриця називається неособливою, якщо її визначник (детермінант) відмінний від нуля. У протилежному випадку матриця називається особливою або виродженою. Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система (2) має єдиний розв’язок. У лінійній алгебрі звичайно використовують спосіб розв’язання системи рівнянь (2), який базується на обчислені оберненої матриці ![]() ![]() ![]() Як відомо, елементи оберненої матриці ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Менш трудомістким є метод Крамера, згідно з яким значення невідомих знаходяться за допомогою формули ![]() де матриця ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() У зв’язку з цим наведемо визначення деяких спеціальних матриць. Квадратна матриця ![]() симетричною, якщо ![]() кососиметричною, якщо ![]() ортогональною, якщо ![]() ![]() ідемпотентною, якщо ![]() інволютивною, якщо ![]() Методи чисельного розв’язання систем рівнянь (2) діляться на дві групи: прямі та ітераційні. До першої групи належать наведені вище методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В прямих або точних методах кількість арифметичних операцій, потрібних для отримання розв’язку ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Чисельні методи розв’язання задач лінійних алгебри на сьогодні добре досліджені та описані в літературі. Крім того, є розроблено ряд математичних пакетів (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab), які дають можливість як досліджувати, так і розв’язувати задачі лінійної алгебри. Для ілюстрації обчислень і викладок ми вибрали пакет Mathcad з огляду на можливість виконувати за допомогою цього пакету арифметичні операції як в символьному, так і в числовому вигляді. А наявність нотації запису формул близької до звичайних математичних записів, на нашу думку, буде сприяти кращому розумінню та засвоєнню алгоритмів розв’язання задач лінійної алгебри. Цьому ж буде сприяти і наявність простих засобів програмування та можливостей графічного редактора даного пакету. 3.2. Метод вилучення Гаусса Найпростішим варіантом методу вилучення Гаусса є схема єдиного ділення. Відповідно до даної схеми алгоритм виключення невідомої ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Розглянемо цей алгоритм детальніше. Нехай маємо систему ![]() ![]() Будемо реалізовувати метод Гаусса шляхом еквівалентних перетворень системи. Для зручності записів введемо позначення: ![]() ![]() ![]() ![]() Тоді системи (1) запишемо у вигляді ![]() Метод виключення Гаусса, прийнято реалізовувати за два ходи: прямого і зворотного. На прямому ході, за допомогою еквівалентних перетворень, систему (5) зводять до верхнього трикутного вигляду, а на зворотному ході, з одержаної системи знаходять, значення невідомих, тобто розв’язок системи. Прямий хід методу Гаусса. Нехай ![]() ![]() і використаємо його для виключення невідомого ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() де ![]() Нехай ![]() ![]() і використаємо його для виключення невідомого ![]() ![]() ![]() де ![]() Продовжуючи процес за даною схемою далі, на n-1-му кроці одержимо систему трикутного вигляду ![]() ![]() На цьому закінчується прямий хід методу Гаусса. Зворотний хід. На зворотному ході методу Гаусса знаходимо значення невідомих в оберненому порядку. З останнього рівняння системи (10) маємо, що ![]() ![]() ![]() У загальному випадку під час прямого ходу методу Гаусса коефіцієнти системи та праві частини обчислюються за наведеними нижче формулами: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Якщо коефіцієнти ![]() ![]() ![]() ![]() Основним обмеженням методу Гаусса є припущення про те, що всі ведучі елементи ![]() Ідея методу Гаусса з вибором головного елемента полягає в тому, щоб на черговому кроці виключати ту невідому, коефіцієнт при якій найбільший за модулем. Отже, ведучим елементом тут вибирається найбільший за модулем елемент матриці. Тим самим, якщо ![]() На практиці, для зменшення похибок заокруглення, здебільшого, роблять так. Серед елементів першого стовпця ![]() ![]() ![]() ![]() |
“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення... |
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними... |
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними Учитель Сьогодні на уроці ми продовжимо вивчати тему «Розв’язування систем лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом».... |
УРОК №71 Тема уроку. Системи рівнянь Мета уроку: формування понять: «система рівнянь з двома змінними»; «розв'язки системи лінійних рівнянь з двома змінними»; «ознайомлення... |
УРОК №75 Тема уроку. Спосіб додавання Мета уроку: ознайомлення учнів із розв'язуванням систем лінійних рівнянь способом додавання; засвоєння алгоритму розв'язування систем... |
УРОК №76 Тема уроку. Розв'язування вправ на розв'язування систем... Мета уроку: формування вмінь учнів розв'язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання |
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –... Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету... |
УРОК №72 Тема уроку. Розв'язування систем рівнянь графічним способом Мета уроку: формування вмінь учнів розв'язувати системи лінійних рівнянь графічним способом |