Розділ РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
|
|
Скачати 172.67 Kb.
|
Розділ 3. РОЗВ’ЯЗАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ У цьому розділі розглянемо основні чисельні методи розв’язання задач лінійної алгебри. Наведемо математичне описання, блок-схеми та програми, реалізовані в пакеті Mathcad розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, обчислення визначників та обернення матриць. 3.1. Основні поняття Система алгебраїчних рівнянь називається лінійною, якщо вона може бути записана у вигляді:  (1)або  ,де  – невідомі; – дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи;  – вільні члени.Систему лінійних алгебраїчних рівнянь часто записують у матричній формі  (2) ,  ,  ,де А – матриця коефіцієнтів системи,  – вектор вільних членів і  – вектор невідомих. Матриця з вимірності  називається прямокутною. У випадку, якщо  , то матрицю називають квадратною матрицею порядку  .Квадратна матриця  вимірності  називається: нульовою, якщо всі елементи дорівнюють нулю:  ; верхньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю:  ; нижньою трикутною, якщо всі елементи, розташовані вище головної діагоналі, дорівнюють нулю:  ; діагональною, якщо всі елементи, крім головної діагоналі, дорівнюють нулю:  ; одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші – нулю:  .Квадратна матриця називається неособливою, якщо її визначник (детермінант) відмінний від нуля. У протилежному випадку матриця називається особливою або виродженою. Якщо матриця А неособлива, тобто її визначник не дорівнює нулю, то система (2) має єдиний розв’язок. У лінійній алгебрі звичайно використовують спосіб розв’язання системи рівнянь (2), який базується на обчислені оберненої матриці  . Дійсно, якщо помножити обидві частини рівняння (2) на , розв’язок рівняння (2) отримаємо у вигляді . (3)Як відомо, елементи оберненої матриці  можна обчислити за відомою формулою  , де  – алгебраїчні доповнення елемента  матриці А і  визначник цієї матриці. Тоді для знаходження всіх її елементів потрібно обчислити  визначників  -го порядку. Остання задача настільки трудомістка (вимагає велику кількість арифметичних операцій), що розв’язати її навіть при  дуже важко (це задача складності  ).Менш трудомістким є метод Крамера, згідно з яким значення невідомих знаходяться за допомогою формули  , (4)де матриця  формується з матриці  заміною її j-го стовпця на стовпець вільних членів. Але для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими у такий спосіб потрібно обчислити  визначник порядку , що знову ж таки вимагає виконання арифметичних операцій порядку  . Уже при  , такий обсяг обчислень практично не доступний сучасним комп’ютерам. Тому далі ми будемо розглядати більш ефективні для обчислень методи.У зв’язку з цим наведемо визначення деяких спеціальних матриць. Квадратна матриця називається: симетричною, якщо  ; кососиметричною, якщо  ; ортогональною, якщо  і  ; ідемпотентною, якщо  ; інволютивною, якщо  , де Е – одинична матриця.Методи чисельного розв’язання систем рівнянь (2) діляться на дві групи: прямі та ітераційні. До першої групи належать наведені вище методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. В прямих або точних методах кількість арифметичних операцій, потрібних для отримання розв’язку системи (2) є скінченим числом, причому, якщо обчислення виконуються точно (без заокруглень), то розв’язок отримуємо точний. Прикладом прямого методу є також метод Гаусса та його модифікації. Ітераційні методи полягають в тому, що розв’язок системи (2) знаходять як границю послідовних наближень  , коли  , де  – номер ітерації.Чисельні методи розв’язання задач лінійних алгебри на сьогодні добре досліджені та описані в літературі. Крім того, є розроблено ряд математичних пакетів (Mathcad, Mathematica, Maple, Matlab), які дають можливість як досліджувати, так і розв’язувати задачі лінійної алгебри. Для ілюстрації обчислень і викладок ми вибрали пакет Mathcad з огляду на можливість виконувати за допомогою цього пакету арифметичні операції як в символьному, так і в числовому вигляді. А наявність нотації запису формул близької до звичайних математичних записів, на нашу думку, буде сприяти кращому розумінню та засвоєнню алгоритмів розв’язання задач лінійної алгебри. Цьому ж буде сприяти і наявність простих засобів програмування та можливостей графічного редактора даного пакету. 3.2. Метод вилучення Гаусса Найпростішим варіантом методу вилучення Гаусса є схема єдиного ділення. Відповідно до даної схеми алгоритм виключення невідомої  і-те рівняння  , яке називається головним, ділять на провідний коефіцієнт  . Потім отримане таким чином рівняння множать на  і віднімають відповідно із  -го,  -го, і т.д, -го рядків системи (1). В результаті таких перетворень, при умові, що визначник матриці системи не дорівнює нулю, приходимо до системи з трикутною матрицею з одиничними діагональними елементами, яка є еквівалентна вихідній системі. Якщо провідний елемент на і-му кроці перетворюється в нуль  , то для продовження процесу, у відповідній системі і-й рядок потрібно поміняти місцями з одним із наступних рядків. Остаточно розв’язок системи одержується шляхом розв’язання одержаної системи з трикутною матрицею, що уже не складає труднощів.Розглянемо цей алгоритм детальніше. Нехай маємо систему рівнянь з невідомими (1).Будемо реалізовувати метод Гаусса шляхом еквівалентних перетворень системи. Для зручності записів введемо позначення:   ,  ,  .Тоді системи (1) запишемо у вигляді  (5)Метод виключення Гаусса, прийнято реалізовувати за два ходи: прямого і зворотного. На прямому ході, за допомогою еквівалентних перетворень, систему (5) зводять до верхнього трикутного вигляду, а на зворотному ході, з одержаної системи знаходять, значення невідомих, тобто розв’язок системи. Прямий хід методу Гаусса. Нехай  . Тоді перше рівняння залишимо без зміни (6)і використаємо його для виключення невідомого  із всіх рівнянь системи (5), починаючи з другого. Для виключення із другого рівняння додамо до нього перше, помножене на  . Потім, помноживши перше рівння на  і додамо результа до третього рівняння, також виключимо з нього і т.д. В результаті одержимо системи рівнянь вигляду (7)де  .Нехай  . Тоді друге рівняння залишимо без зміни , (8)і використаємо його для виключення невідомого  із всіх рівнянь системи (5), починаючи з третього. Для цього до третього і наступних рівняннь системи (7) додамо рівняння (8), помножене на  . В результаті одержимо систему вигляду (9)де  Продовжуючи процес за даною схемою далі, на n-1-му кроці одержимо систему трикутного вигляду   (10)На цьому закінчується прямий хід методу Гаусса. Зворотний хід. На зворотному ході методу Гаусса знаходимо значення невідомих в оберненому порядку. З останнього рівняння системи (10) маємо, що  . Тоді з передостаннього рівняння системи (10) знаходимо:  т.д. Нарешті з першого рівняння знаходимо:  .У загальному випадку під час прямого ходу методу Гаусса коефіцієнти системи та праві частини обчислюються за наведеними нижче формулами:  ; (11) (12) (13) . (14)Якщо коефіцієнти  і праві частини  зберігаються в пам’яті ЕОМ, то зворотний хід здійснюється за формулами: або  . (15)Основним обмеженням методу Гаусса є припущення про те, що всі ведучі елементи  відмінні від нуля. Слід мати на увазі, що якщо якийсь ведучий елемент не дорівнює нулю, а просто близький до нього, то в процесі обчислень може відбутись значне накопичення похибок. У такому разі, як уже відмічалось, у відповідній системі достатньо буде переставити місцями (перенумерувати) рівняння для продовження процесу вилучення. Уникнути цього дозволяє метод Гаусса з вибором головного елемента.Ідея методу Гаусса з вибором головного елемента полягає в тому, щоб на черговому кроці виключати ту невідому, коефіцієнт при якій найбільший за модулем. Отже, ведучим елементом тут вибирається найбільший за модулем елемент матриці. Тим самим, якщо  , то в процесі обчислень не відбудеться ділення на нуль.На практиці, для зменшення похибок заокруглення, здебільшого, роблять так. Серед елементів першого стовпця  кожної проміжної матриці з номером  вибирають найбільший за модулем елемент в і-му стовпці  і роблять його ведучим, проводячи при цьому перестановка і-го і  -го рівнянь. Такий спосіб виключення називається методом Гаусса з вибором головного елемента за стовпцем. Він еквівалентний застосуванню звичайного методу Гаусса до системи, в якій на кожному кроці виключення робиться відповідна перестановка рівнянь. |
Схожі:
|
“Ітераційні методи розв’язання систем лінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення ітераційних методів розв’язання систем лінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
Урок №73 Тема. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними та... Ня щодо залежності кількості розв'язків системи лінійних рівнянь від співвідношення коефіцієнтів a, b, c цих рівнянь; вироблення... |
|
Урок №80 Тема. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь Мета: відпрацювати навички застосування схеми розв'язання текстових задач на складання системи лінійних рівнянь із двома змінними... |
“Чисельні методи розв’язання нелінійних рівнянь” Мета роботи: Вивчення методів розв’язання алгебраїчних і трансцендентних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного... |
|
Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними Учитель Сьогодні на уроці ми продовжимо вивчати тему «Розв’язування систем лінійних рівнянь з двома змінними графічним способом».... |
УРОК №71 Тема уроку. Системи рівнянь Мета уроку: формування понять: «система рівнянь з двома змінними»; «розв'язки системи лінійних рівнянь з двома змінними»; «ознайомлення... |
|
УРОК №75 Тема уроку. Спосіб додавання Мета уроку: ознайомлення учнів із розв'язуванням систем лінійних рівнянь способом додавання; засвоєння алгоритму розв'язування систем... |
УРОК №76 Тема уроку. Розв'язування вправ на розв'язування систем... Мета уроку: формування вмінь учнів розв'язувати системи лінійних рівнянь з двома змінними способом додавання |
|
ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ Ужгород –... Мета роботи: Вивчення методів розв’язання систем нелінійних рівнянь і набуття навичок їх реалізації за допомогою математичного пакету... |
УРОК №72 Тема уроку. Розв'язування систем рівнянь графічним способом Мета уроку: формування вмінь учнів розв'язувати системи лінійних рівнянь графічним способом |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua