Уроки математики в 6 класі Додаткові матеріали


Скачати 154.62 Kb.
НазваУроки математики в 6 класі Додаткові матеріали
Дата04.04.2013
Розмір154.62 Kb.
ТипУрок
bibl.com.ua > Банк > Урок

В.Г.Бевз, Г.П.Бевз. Уроки математики в 6 класі Додаткові матеріали

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ СКЛАДНОСТІ

Ці задачі молена використовувати для позакласної роботи. Для вчителів та учнів старших класів, які не мають підручни­ка [1], наводимо формулювання задач.
1459. До якого числа досить приписати справа 36, щоб від цьо­го дане число збільшилось у 103 рази?

Розв'язання. Якщо шукане число дорівнює а, то припи­савши до нього справа 36, матимемо число а · 100 + 36. За умовою ця сума в 103 рази більша за а. Маємо рівняння 100а + 36 = 103а. Звідси а = 12.
1460. Чи при кожному натуральному значенні п число 10п + 17 ділиться на 9?

Розв'язання. Так. Бо сума цифр даного числа дорівнює 9.
1461. Заповніть порожні клітинки стрічки, зображеної на малюнку 166 підручника, так, щоб сума чисел у кожних трьох сусідніх клітинках дорівнювала 10.

Розв'язання. Якщо у перших двох клітинках написати числа х і у, то далі числа х, у і -5 мають періодично повторюва­тися. Отже, у = 7, х = 8.
1462. До числа 10 припишіть зліва і справа по одній цифрі так, щоб утворене чотирицифрове число ділилося на 72.

Розв'язання. Оскільки число має ділитися на 72, то воно має ділитися також на 4 і на 9. Тому у дорівнює 0, 4 або 8, а утворене число має вигляд , або , Умову задачі задовольняє тільки число 4104.
1463. Відновіть цифри, замінені зірочками:

а) 1111 = ** · ***;

б) 1265 = * · ** · *3;

в) 1001 = * · *1 · **;

г) 1166 = * · *3 · **;

ґ) 2001 = * · *3 · **;

д)



Розв'язання. Дані числа розкладіть на прості множники.

а) 1111 = 11 · 101;

б) 1265 = 5 · 11 · 23, 1265 = 1 · 55 · 23;

в) 1001 = 7 · 11 · 13, 1001 = 1 · 11 · 91;

г) 1166 = 2 · 53 · 11;

ґ) 2001 = 3 · 23 · 29, 2001 = 1 · 23 · 87;

д) розклавши на прості множники число 210, заповніть нижні рядки. Дане число 840.
1464. Знайдіть двоцифрове число, сума цифр якого дорівнює 14 і яке на 36 більше від числа, записаного тими самими цифра­ ми у зворотному порядку.

Перший спосіб. Оскільки сума цифр дорівнює 14, то цифра­ми шуканого числа можуть бути тільки: 7 і 7, 8 і 6 або 9 і 5. Пе­ревірка показує, що задачу задовольняє тільки число 95.

Другий спосіб. Якщо дане число 10х + у, то х + у = 14 і х – у = 4.
1465. Батькові стільки років, скільки дочці та синові разом. Син удвоє старший за дочку і на 20 років молодший за батька. Скільки років кожному?

Розв'язання. Оскільки батькові стільки років, скільки дочці і синові разом, і син на 20 років молодший за батька, то дочці 20 років. Тоді синові 40, а батькові 60 років.
1466. Перший рибалка дав для спільного обіду 2 окуні, дру­гий - одного окуня, а третій - 6 грн. Як мали поділити між со­бою гроші два перші рибалки?

Розв'язання. Разом 3 рибалки з'їли 3 окуні, кожен - одно­го окуня. Тому всі 6 грн. третій рибалка мав віддати першому.
1467. Скільки зайців та качок убив мисливець, якщо в ко­шику, куди він їх поклав, було 10 голів і 28 ніг?

Розв'язання. Коли б у кошику всі 10 голів були качиними, то там було б усього 20 ніг. Оскільки насправді ніг було на 8 (на 4 пари) більше, то зайців було 4. Тоді качок було 10 – 4 = 6.
1468. Швидкість сокола більша від швидкості чайки на 75 км/год. Чайка літає швидше від стрижа в 1,5 раза. Знайдіть швидкість сокола, якщо вона більша від швидкості стрижа в 2 рази.

Розв'язання. Нехай х - швидкість стрижа, тоді 1,5х – швидкість чайки, 2х - швидкість сокола.

Отже, 2х - 1,5х = 75, звідси х = 150 (км/год).

Відповідь. Швидкість сокола 300 км/год.
1469. Пасажир прийшов на вокзал за 5 хв до відходу електрички. Якби відстань до вокзалу була на 1 км більшою, то, йду­чи з такою самою швидкістю, він запізнився б на 5 хв. З якою швидкістю йшов пасажир?

Розв'язання. Відстань 1 км пасажир пройшов би за 10 хв, бо 5 хв + 5 хв = = 10 хв. Тому йшов він зі швидкістю 0,1 км/хв.
1470. З пункту А в пункт В зв'язківець приніс пакет за 35 хв. Повертаючись в А, він збільшив швидкість на 0,6 км/год, тому затратив на дорогу 30 хв. Чому дорівнює відстань між пункта­ми А та В?

Перший спосіб. Нехай від А до В зв'язківець ішов зі швидкістю v м/хв, а назад - зі швидкістю (v + 10) м/хв, оскіль­ки 0,6 км/год = 10 м/хв. Маємо рівняння 35v = 30(v + 10), Звідси v = 60. Отже, АВ = 60 м/хв · 35 хв = 2100 м = = 2,1 км.

Другий спосіб. Якщо АВ = х, то х : 30 - х : 35 = 10. Звідси x = 2100(м).
1471. Електричка пройшла повз мене за 5 с, а повз платформу завдовжки 150 м – за 15с.З якою швидкістю їхала електричка?

Розв'язання. Відстань, яка дорівнює довжині електрички, вона здолала за 5 с. А відстань 150 м - за 10 с, оскільки 15 с - 5 с = 10с. Отже, електричка їхала зі швидкістю 150 : 10 = 15(м/с).
1472. Через 2 роки хлопчик буде вдвоє старшим, ніж був 2 ро­ки тому. А дівчинка через 3 роки буде в 3 рази старшою, ніж бу­ла 3 роки тому. Хто з них старший?

Розв'язання. Якщо тепер хлопчикові х років, то 2 роки то­му йому було х - 2 роки, а через 2 роки буде х + 2. Тому х + 2 = 2(х - 2), звідси х = 6 (років).

Якщо дівчинці тепер у років, то 3 роки тому їй було у - 3, а че­рез 3 роки буде у + 3. Тому у + 3 = 3(y - 3), звідси у = 6 (років).

Відповідь. Хлопчик і дівчинка мають по 6 років.
1473. Маса повної каністри з водою дорівнює 23 кг, а заповне­ної наполовину - 12,5 кг. Яка маса порожньої каністри?

Розв'язання. Коли б дві такі каністри були до половини за­повнені водою, то їх загальна маса дорівнювала б 12,5 кг · 2 = = 25 кг. Різниця 25 кг - 23 кг відповідає масі порожньої каністри.

Відповідь. 2 кг.
1474. 20 туристів - чоловіки, жінки та діти - разом несли вантаж 200 кг. Скільки серед них було дітей, якщо кожен чо­ловік ніс 20 кг, кожна жінка - 5 кг, а кожна дитина - 3 кг?

Розв'язання. Нехай було х чоловіків, у жінок і п дітей.

Тоді 20x + 5у + 3п = 200. Число п має ділитися на 5.

Якщо п = 5, то 4х + у = 37 і х + у = 15, таких натуральних значень х і у не існує. Якщо п = 10, то 4х + у = 34 і х + у = 10. Звідси х = 8, у = 2. Якщо п = 15, то рівняння 4х + у = 155 і х + у = 5 не задовольняє жодна пара натуральних чисел.

Відповідь. Дітей було 10.
1475. Одне з двох чисел закінчується нулем. Якщо цей нуль закреслити, то вийде друге число. Знайдіть ці числа, якщо їх су­ма дорівнює 924.

Розв'язання. Нехай друге число дорівнює п, тоді перше – 10n. Їх сума 11n = 924, звідси п = 84.

Відповідь. 840 і 84.
1476. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9 розмістіть у кругах (див. мал. 167 підручника) так, щоб сума чисел на кожній стороні дорівнювала 17.

Розв'язання. Якщо кожне число, вписане при вершині трикутника рахувати двічі, то сума трьох четвірок чисел дорівнювала б 17 · 3 = 51. Це - на 6 більше від суми всіх даних чисел. Отже, у вершинах трикутника слід написати такі числа, сума яких дорівнює 6, тобто 1, 2 і 3. Закінчити розв'язання не­важко випробуванням. Відповідь можна подати, як на малюнку 59. Пари чисел між вершинами трикутника можна переставляти, а всю фігуру повертати.
1477. Позначте у зошиті 9 точок, як зображено на малюнку 168 підручника. Не відриваючи олівця від паперу, проведіть 4 від­різки так, щоб вони пройшли через усі 9 точок.

Розв'язання показане на малюнку 60.
1478. Зібрали 100 кг грибів, вологість яких дорівнювала 99 %. Коли гриби підсушили, вологість їх зменшилася до 98 %. Якою стала маса цих грибів після підсушування?

Розв'язання. Якщо вологість грибів спочатку дорівнюва­ла 99 %, то в 100 кг було 99 кг води і 1 кг безводної грибної маси.



Якщо після просушування грибів їх загальна маса дорівнювала х кг, а безводна маса становила 2 % від загальної маси, тобто 1 : х = 0,02, то х = 1 : 0,02, х = 50 (кг).
1479. Частина мешканців міста розмовляє тільки українсь­кою мовою, частина - тільки російською, а частина знає обидві мови. Українською мовою розмовляють 85 % усіх мешканців, російською - 45 %. Скільки відсотків усіх мешканців во­лодіють обома мовами?

Розв'язання. Припустимо, що в місті є всього 100 меш­канців, які вміють розмовляти хоч однією із згадуваних мов. З них українською не вміють розмовляти 100 – 85 = 15, а російською 100 – 45 = 55. Таких, які не знають української або російської, 15 + 55 = 70. Отже мешканців, які володіють двома мовами 100 - 70 = 30 (мал. 61).
1480. З 9 монет одна фальшива (легша за інші). Як виявити фальшиву монету двома зважуваннями на терезах із двома шальками?

Розв'язання. Треба всі 9 монет порівну розкласти на 3 куп­ки. Якщо якась із двох таких купок виявиться легшою, то фальшива монета - в ній Якщо ж вони - в рівновазі, то фаль­шива монета в треті купці. Так в результаті одного зважуван­ня, можна відкинути 6 монет. Далі зважуємо будь-які дві моне­ти із залишених. Якщо якась із них легша - вона фальшива. Якщо дві ці монети врівноважуються, то фальшивою є третя.
1481. Андрій, Борис, Віра і Ганна збирали гриби. Найбільше від усіх зібрала Ганна, Віра - не менше, ніж Борис. Чи правда, що дівчата зібрали грибів більше, ніж хлопці?

Розв'язання. Нехай вони зібрали А, Б, В і Г грибів. Відповідно до умови задачі Г > А,а В ≥ Б. Отже, Г + В > А + Б.

Відповідь. Правда.
1482. Маса 4 найбільших коропів така сама, як і 3 найбіль­ших сазанів. А маса одного коро­па на 8 кг менша від маси одного сазана. Яка маса найбільшого са­зана?

Розв'язання. Якщо маса ко­ропа дорівнює х кг, то маса сазана (х + 8) кг. Маса чотирьох коропів 4х кг, а трьох сазанів 3(х + 8). Оскільки ці маси рівні, то 4х = 3(х + 8), звідси х = 24 (кг). Це маса коропа, а сазана - на 8 кг більша, тобто 32 кг.
1483. Скількома способами можна розмістити трьох гостей на трьох стільцях?

Розв'язання. Нехай А, В, С - гості. Розмістити їх на трьох стільцях можна такими шістьма різними способами: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, CAB, CBA.
1484. Скільки різних трицифрових чисел можна написати цифрами 1, 2 і 3 так, щоб цифри не повторювалися?

Розв'язання. Це числа: 123,132, 213, 231, 312, 321. Усього їх 6.
1485. В автомобілі 4 вільних місця. Скількома способами мо­жуть розміститися на них 4 пасажири?

Розв'язання. На перше місце можна посадити будь-кого з пасажирів, таких можливостей 4. На трьох інших місцях 3 па­сажири можуть розміститися шістьма способами (див. задачу 1483). Отже, кожній з чотирьох можливостей розміщення пер­шого пасажира відповідає 6 способів розміщення трьох інших. А всього способів: 4 · 6 = 24.
1486. Кожна з п'яти подруг написала одного листа кожній іншій. Скільки всього листів вони написали?

Розв'язання. Кожна має чотири подруги, тому кожна на­писала 4 листи. Всього дівчат 5. Тому вони написали 5 · 4, або 20 листів.
1487. На класній дошці позначили 5 точок і кожну з них сполучили відрізком з кожною іншою. Скільки утворилося відрізків?

Розв'язання. З кожної точки виходить 4 відрізки. З п'яти точок виходять 4·5, тобто 20 відрізків. При цьому кожний відрізок рахується двічі. Отже, відрізків 20 : 2 = 10.
1488. Скількома способами можна нанизати на нитку 6 різ­ них намистин? А 7 різних намистин?

Розв'язання. Першою можна нанизати будь-яку з намис­тин; маємо 6 можливостей. Другою можна нанизати будь-яку з решти 5 намистин. Отже, дві перші можна нанизати 6 · 5 різни­ми способами. При кожному з них третьою намистиною можна нанизати будь-яку з чотирьох тих, що залишилися. Тому три перші можна нанизати 6 · 5 · 4 способами. Міркуючи так само до кінця, отримаємо добуток 6 · 5 · 4 · 3 · 2, який дорівнює 720.

Примітка. Якщо кінці нитки можна переставляти (коли, наприклад, один її кінець не закріплений), то симетричні низки можна вважати однаковими. Тоді число різних низок менше вдвічі, тобто дорівнює 360.
1489. Добуток усіх натуральних чисел від 1 до п коротко по­значають так: п!. Наприклад, 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24. Обчисліть:

а) 5!; б) 6!; в) 7! : 6!; г) (8! - 7!) : 7!.
а) 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 24 · 5 = 120;

б) 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 120 · 6 = 720;

в) 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 720 · 7 = 5040;

г) (8! - 7!) : 7! = (7! · 8 – 7!) : 7! = 7! · (8 – 1) : 7! = 7.
1490. У турнірі першості із футболу брали участь 17 команд. Кожна команда грала з іншими по 2 рази. Скільки було всього матчів у турнірі?

Розв'язання. Уявімо, що команди А і В грали двічі: пер­ший раз на полі А, другий - на полі В. Першою з них позначати­мемо гру А - В, другою В – А. Якщо кожна із 17 команд грала з рештою 16 команд на своєму полі, то всього вони зіграли 17-16, тобто 272 матчі, - кожна з кожною двічі.

Відповідь. 272 матчі.
1491. Кожну із фігур, зображених на малюнку 169 підруч­ника, розріжте прямою на дві частини так, щоб з них можна бу­ло скласти квадрат.

Розв'язання див. на малюнку 62. Зверніть увагу, що кожна вправа має безліч розв'язків: січні прямі можна проводити в інших місцях (мал. 63).




1492. У торбі є яблука трьох сортів. Скільки яблук треба взяти навмання, щоб серед узятих виявилося принаймні 2 яблу­ка одного сорту?

Розв'язання. Якщо взяти 3 яблука, вони можуть бути трьох різних сортів. Якщо взяти 4 яблука, обов'язково при­наймні два з них виявляться одного сорту.

Відповідь. 4 яблука.
1493. Як слід посадити 16 дерев, щоб вийшло 4 ряди і в кож­ному з них було по 5 дерев?

Розв'язання. Треба садити так, щоб, наприклад, деякі кілька дерев можна було рахувати двічі. Це можна зробити ба­гатьма різними способами, наприклад, як показано на малюн­ку 64.
1494. В який бік повертатиметься шестірня Е, якщо шестір­ню А повертати, як показано на малюнку 170 підручника?

Розв'язання. Напрями обертань зручно зображати стрілками. Можна задачу узагальнити. Будь-які дві з'єднані шестірні обертаються в протилежних напрямах, а з'єднані проміжною третьою шестірнею обертаються в тому самому напрямі. Отже, шестірні А, К і Е обертаються в одному на­прямі.
1495. Поставте між цифрами 987654321 знаки «+» і «-» так, щоб значення утвореного виразу дорівнювало 100.

Розв'язання. Задача має багато різних розв'язків:

а) 98 – 8 + 7 – 6 + 5 + 4 – 3 + 2 + 1 = 100;

б) 98 + 8 – 7 + 6 – 5 + 4 – 3 – 2 + 1 = 100;

в) 9 + 8 + 76 + 5 + 4 – 3 + 2 – 1 = 100.


1496. Скільки всього квадратів зображено на малюнку 171 підручника? Знайдіть суму площ усіх цих квадратів.

Розв'язання. Найменших квадратиків - 13, більших, по 4 клітинки, - 6, найбільший, що містить 9 клітин, - 1. Усього таких квадратів: 13 + 6 + 1 = 20.

Якщо за одиницю площі прийняти площу однієї клітинки, то сума площ усіх перерахованих квадратів дорівнює 13 + 6 · 4 + 9 = 46 (кв. од).
1497. Позавчора Олі було ще тільки 10 років, а наступного ро­ку їй виповниться 13. Коли вона відзначає свій день народження?

Розв'язання. Учора Олі могло бути 11 років, а через 2 роки їй стане 13. Отже, сьогодні 1 січня. 31 грудня цього самого року їй виповниться 12 років, а 31 грудня наступного року - 13.

Відповідь. Оля народилася 31 грудня.
1498. На сковорідці вміщається 2 рибини. На підсмажуван­ня рибини з одного боку потрібна 1 хв. Як за 3 хв підсмажити 3 рибини з обох боків?

Розв'язання. Занумеруємо подумки рибини: І, II і ІІІ. Протя­гом першої хвилини підсмажуємо з одного боку рибини І і II, про­тягом другої - з другого боку рибину І і з одного боку - III, протя­гом третьої хвилини - рибини II і III підсмажуємо з других боків.
1499. На малюнку 172 підручника заштриховано фігуру Ф - частину круга радіуса 2 см. Знайдіть площу фігури Ф і довжи­ну лінії, яка її обмежує.

Розв'язання. Замальована частина круга дорівнює незамальованій, тому площа фігури Ф дорівнює половині площі кру­га. Площа круга 4π см2. Тому площа фігури Ф дорівнює 2π см2 або приблизно 6,28 см2. Лінія, що обмежує фігуру Ф, скла­дається з трьох півкіл, довжини яких 2π, π і π. її довжина 4π дорівнює довжині даного кола.
1500. Собака доганяє зайця, який знаходиться від нього за 150 футів. Він стрибає на 9 футів кожного разу, коли заєць стрибає на 7 футів. Скільки разів має стрибнути собака, щоб наздогнати зайця?

Розв'язання. З кожним стрибком собака наближається до зайця на 2 фути. 150 : 2 = 75. Отже, собака наздожене зайця, зро­бивши 75 стрибків.
1501. Настелити підлогу рівними паркетинами можна так, як показано на малюнку 173 підручника. Якими ще способами мож­на замостити підлогу такими паркетинами?

Розв'язання. Різних способів безліч, один із них - на малюнку 65.
1502. Знайдіть площу блакитної фігури (див. мал. 174 підручника),
якщо точки А, В, С, D вершини квадрата і АВ = 5 см.

Розв'язання. Розглядувану фігуру можна розрізати на части­ни, з яких складається квадрат, що дорівнює квадрату ABCD. Отже, площа кожної клітинки даної сітки 5 см · 5 см = 25 см2.
1503. Поставте замість однакових букв однакові цифри, за­мість різних букв - різні цифри:

а) куб - пік; б) акт = пік; в) кок = ххх.

Розв'язання. Двоцифрове число, тільки піднесене до квад­рата може дати трицифрове число. Тому в усіх трьох випадках показник степеня дорівнює 2.

Відповідь, а) 289 = 172; б) 324 = 182; в) 484 = 222.
1504. Будильник відстає щогодини на півхвилини. Півгоди­ни тому він відставав на 3 хв, а тепер показує рівно 2 год. О котрій годині він відставатиме на 5 хв?

Розв'язання. За півгодини будильник відстає на чверть хвилини. Тому тепер, показуючи 2 год, він відстає на 3хв. Тобто насправді тепер 1 год 56хв. Щоб будильник відставав на 5 хв, його відставання має збільшитися на 1хв, бо 5 - 3 = 1. Таке відставання станеться через х год, де х : 1 = 1 : , тобто через 3 год 30 хв. 1 год 56хв + 3 год 30 хв = 5 год 26хв.
1505. Якщо на одну шальку терезів покласти шматок мила, а на другу - такого самого шматка і гирі на кг, то терези врівноважаться. Знайдіть масу шматка мила.

Розв'язання. кг становлять четверту частину шматка мила. Маса всього шматка в 3 рази більша, тобто, дорівнює 3 кг.
1506. Стародавня задача. Селянин купляв на ярмарку коня, корову і вівцю. За коня він віддав усіх своїх грошей, за корову - половину того, що дав за коня, за вівцю - останніх 5 карбованців. Скільки коштували кінь і корова?

Розв'язання. Якщо селянин мав х крб, то за коня він запла­тив х, а за корову х. Маємо рівняння х + х + 5 = х, звідси х = 80. Отже, за коня він заплатив 50 крб, а за корову 25 крб.
1507. Стародавня задача. У харчевні обідали 23 чоло­віків і жінок. Кожен чоловік заплатив за обід 5 копійок, кожна жінка - 4 копійки, а всі разом - 1 карбованець. Скільки серед них було чоловіків і скільки жінок?

Розв'язання. Якщо чоловіків було х, то жінок 23 - х. Згідно з умовою задачі 5х + 4(23 - х) = 100. Корінь цього рівняння х = 8. Отже, чоловіків було 8, а жінок 15.
1508. Котра тепер година, якщо до закінчення доби залиши­лася п'ята частина часу, який пройшов від її початку?

Розв'язання. Усього в добі 24 год. Нехай до закінчення доби залишилося х год, а від її початку минуло (24 - х) год. Маємо рівняння 5х = 24 - х. Звідси х = 4. До закінчення доби залишилось 4 год, тому тепер 20 год.
1509. Олені тепер 24 роки. А коли їй було стільки років, скільки тепер Марії, то Марії років було удвічі менше, ніж те­пер Олені. Скільки років Марії?

Розв'язання. Складемо таблицю.

Імена дівчат

Років було

Років тепер

Марії

12

х

Олені

х

24

Оскільки 24 - х = х - 12, то х = 18.

Відповідь. Тепер Марії 18 років.
1510. Задача для кмітливих. Микола і Петро із синами рибалили. Микола спіймав стільки рибин, скільки його син Ва­силь, а Петро втричі більше, ніж його син. Усього вони впійма­ли 35 рибин. Як звати сина Петра? Скільки рибин він упіймав?

Розв'язання. Микола разом із сином упіймали парну кількість рибин, як і Петро із сином. Бо 3п + п = 4п. Оскільки всього вони впіймали 35 рибин - непарну кількість, то рибали­ли не вчотирьох. Це могло бути тільки тоді, коли Микола - син Петра і батько Василя. Якщо Василь і Петро впіймали по х ри­бин, то Петро 3х. Отже, х + х + 3х = 35, х = 7.

Відповідь. Син Петра - Микола, він упіймав 7 рибин.
1511. Андрій ходить до бібліотеки раз на 3 дні, Борис – раз на 4 дні, Віктор - раз на 5 днів. Утрьох вони зустрілися в бібліотеці в суботу. Коли наступного разу всі вони знову зустрінуться в бібліотеці?

Розв'язання. Після суботи до наступної зустрічі усіх трьох хлопців мало пройти число днів, кратне числам 3, 4 і 5. Най­меншим таким числом є 60. 60 : 7 = 8 (ост. 4). Отже, до першої зустрічі має пройти 8 тижнів і 4 дні. Четвертий день після субо­ти - середа.
1512. Скільки неділь може бути в одному році?

Розв'язання. Невисокосний рік має 365 днів. 365 : 7 = 52 (ост. 1). Маємо 52 тижні та 1 день. У кожному тижні - 1 неділя. Остача 1 або 2 дні (якщо рік високосний) може при­пасти на неділю. Тому всього рік може мати 52 або 53 неділі.
1513. В одному місяці три неділі випали на парні дати. Який день тижня був 20 числа того місяця?

Розв'язання. Нехай а - дата неділі першого в місяці тиж­ня. Тоді всі неділі цього місяця припадають на такі дати: а, а + 7, а + 14, а + 21, а + 28. Парні дати чергуються з непарними, тому якщо їх три, то це дати: а, а + 14, а + 28. Оскільки 21 < а + 28 < 31, то а = 2, а + 14 = 16. Якщо число 16 - неділя, то число 20 припадає на четвер.
1514. Пішов мисливець на полювання із собакою. Йдуть во­ни лісом, і раптом собака побачив зайця. Відстань від собаки до зайця дорівнює 40 стрибкам собаки, а відстань, яку собака пробігає за 5 стрибків, заєць пробігає за 6 стрибків. За скільки стрибків собака наздожене зайця? (Стрибки роблять одночасно і собака, і заєць.)

Розв'язання. Приймемо за одиницю відстані відстань, яку долає собака за 1 стрибок. Тоді заєць за 1 стрибок долає такої відстані. За кожний стрибок відстань між ними змен­шується на , тобто на одиниці відстані. Оскільки всього собаці треба здолати 40 таких одиниць, то стрибнути він має 40 : , тобто 240 разів.
1515. Чотири брати Максим, Олег, Євген і Тарас ловили ка­расів. Олег і Тарас зловили стільки ж рибин, скільки Максим і Євген; Максим зловив більше карасів, ніж Євген; максим з Та­расом зловили риби менше, ніж Олег і Євген. Скільки риби зло­вив кожен з братів, якщо Олег зловив 3 карася?

Розв'язання. Нехай Максим, Євген і Тарас упіймали відповідно х, у і z карасів, а Олег - 3. Тоді 3 + z = x + y, х > у і х + z < 3 + у. З цих умов випливає, що 3 > х > у > z. Це можливо тільки за умови, коли х = 2, у = 1, z = 0.
1516. Є шестилітрова банка олії і дві порожні банки: трилітрова і чотирилітрова. Як налити 1 літр олії в трилітрову банку?

Розв'язання. Слід наповнити чотирилітрову банку, з неї - трилітрову. Тоді з трилітрової всю олію вилити в найбільшу банку, а з чотирилітрової банки 1 л вилити у трилітрову.
1517. Число закінчується цифрою 2. Якщо переставити цю
цифру на початок числа, то воно подвоїться. Знайдіть це число.

Розв'язання. Перша цифра шуканого числа дорівнює 1, бо від заміни її цифрою 2 все число має збільшитися вдвічі. Як­що шукане число має вигляд , то число удвічі більше від нього. Тобто z = 4, у = 8, х = 16 (цифру 6 пишемо, а 1 пам'ятаємо). Так поступово множимо цифри на 2, поки не поч­неться новий період таких самих цифр.

Найменше з чисел, які задовольняють умову задачі,

105 263 157 894 736 842. Приписавши до нього таке саме, мож­на отримати 36-цифрове число, яке також задовольняє задачу. Всього таких чисел існує безліч, усі вони дуже великі.





Книга для вчителя Задачі підвищеної складності

Схожі:

Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
В. Г. Бевз, Г. П. Бевз. Уроки математики в 6 класі Розділ Подільність натуральних чисел
Уроки-змагання
Вона виділяє: уроки змістовної спрямованості; уроки на інтегративній основі; уроки-змагання; уроки суспільного огляду знань; уроки...
Уроки-бесіди, уроки-конференції, уроки-зустрічі з письменниками,...
Головне управління освіти і науки Дніпропетровської державної обласної адміністрації
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ввести поняття пропорція, ознайомити учнів з основною властивістю пропорції і її застосуван­ням
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ознайомити учнів з поняттями випадкова подія, рівноймовірні події, ймовірність випад­кової події
Уроки математики в 6 класі Розділ Відношення і пропорції
Мета. Ввести поняття пропорційні величини. Навчити учнів розв'язувати задачі на пропорційні вели­чини
Уроки математики в 6 класі Розділ Звичайні дроби Розділ 2
Програма на вивчення розділу відводить 30 годин. Тут пе­редбачається вивчення таких тем
Уроки математики в 6 класі Розділ Раціональні числа Розділ 4
Програма на вивчення розділу відводить 64 години. Тут передбачається вивчення таких тем
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка