Перепишемо рівняння у вигляді

Скачати 90.75 Kb.

Назва	Перепишемо рівняння у вигляді
Дата	23.06.2013
Розмір	90.75 Kb.
Тип	Документи

ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ

Розв'яжіть рівняння х² – ху – 2у² = 7 у цілих числах.

Розв'язання

Перепишемо рівняння у вигляді (х – 2у)(х + у) = 7.

Оскільки х, у — цілі числа, то можливі такі випадки:

1)

Розв'язавши ці системи, дістанемо розв'язки: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2).

Додали суму, різницю, добуток і частку від ділення двох цілих
чисел і дістали 450. Знайдіть ці числа.

Розв'язання

Позначимо одне з цих чисел через х, а друге — через у. Тоді

.

Бачимо, що

повинно бути цілим числом. Перепишемо наше рівняння у вигляді

. Зауважимо, що 450 = 1∙2∙3²∙5². Тому (у + 1) може набувати лише значення: 1²; 3²; 5²; 15². Переберемо всі випадки і дістанемо такі пари чисел: (28; 14), (100; 2), (72; 4), (-32; -16), (-200; -4), (-108; -6), (-900; -2).

Знайдіть у цілих числах розв'язки рівняння х + у = х² – ху + у².

Розв'язання

Розв'яжемо рівняння відносно у. Дістанемо:

.

Оскільки корені рівняння мають бути дійсними, то 3(х – 1)² ≤ 4, тобто

. Розв'яжемо цю нерівність в цілих числах і дістанемо х = 0,

x = 1, x = 2. Для кожного з цих значень х дістанемо відповідні цілі значення у. Остаточно матимемо такі пари: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).

Доведіть, що рівняння не має розв'язків у натуральних числах.

Розв'язання

Нехай х₀, у₀ — натуральні числа, що задовольняють це рівняння. Нехай для визначеності х₀ ≥ у₀ > 0. Тоді

, тобто

. Тому у₀ = 1 в рівнянні, і доходимо рівності

, яка для натуральних значень х₀ не виконується. Отже, вихідне рівняння не має розв'язків у натуральних числах.

Знайдіть усі прості числа, що задовольняють рівняння х² – 2у² = 1.

Розв'язання

Оскільки х² = 2у² + 1— непарне, то й х — непарне. Нехай х = 2n + 1, х N. Тоді у² = 2(п² + п) – парне. Звідки у — парне число. Але існує єдине парне просте число 2. Підставимо це значення в рівняння і знаходимо х = 3. Отже, єдина проста пара, що задовольняє умову задачі — це (3; 2).

Сума декількох послідовних натуральних чисел, починаючи з числа 1, дорівнює тризначному числу, всі цифри якого рівні. Скільки взято чисел?

Розв'язання

Тризначне число

можна подати так:

= 100а +10a + a = 111а = 37∙3а,

де а — одна з цифр 1, 2, 3, ..., 9. Оскільки 1 + 2 + ... + п = , то

n(n + 1) = 2∙3∙37а. Отже, або п, або n + 1 ділиться на 37.

Якщо п = 37k, то k(37k + 1) = 6а < 54, звідки к = 1.

Якщо п = 37, то не задовольняє умову задачі.

Якщо п + 1 = 37k, то k(37k – 1) = 6а < 54. Тому k = 1. У цьому випадку .

Отже, n = 36.

Розв'яжіть рівняння 3х + 5у = 7 у цілих числах.

Розв'язання

Знайдемо спочатку який-небудь конкретний розв'язок.

Оскільки 3∙2 + 5∙(-1) = 1, то 3∙14 + 5∙(-7) = 7. Отже, х₀ = 14, у₀ = -7 — один із розв'язків даного рівняння. Тоді 3(х – x₀) + 5(у – y₀) = 0. Звідки бачимо, що х – х₀ ділиться на 5, у – у₀ ділиться на 3. Покладемо: х - x₀ = 5k, у – у₀ = 3k, k

Z.

Отже, загальний розв'язок: х = 14 + 5k, у = -7 – 3k, k

Розв'яжіть у цілих числах рівняння 35x – 2004у = 11.

Розв'язання

Для знаходження конкретного розв'язку скористаємось алгоритмом Евкліда. НСД(2004; 35) = НСД(35; 9) = НСД(9; 8) = НСД(8; 1) = 1. Запишемо цей процес у зворотному напрямку:

1 = 8 – 7 ∙ 1 = 8 – 7(9 – 8) = 8 ∙ 8 – 7 ∙ 9 = 8(35 – 3∙9) – 7∙9 =

= 8 ∙ 35 – 31 ∙ 9 = 8 ∙ 35 – 31 – (2004 – 57 ∙ 35) = 1775 ∙ 35 – 31∙2004.

Отже, пара (1775; 31) є розв'язком рівняння 35х – 2004у = 1. Тоді пара чисел х₀ = 1775∙11 = 19525, у₀ = 31 ∙ 11 = 341 є розв'язком рівняння

35х – 2004у = 11.

Міркуючи так, як і в попередній задачі, дістанемо загальний розв'язок рівняння: х = 19525 + 2004k, у = 341 + 35k, k

Розв'яжіть у цілих числах рівняння х² + у² + z² – 2x + 4y – 6z = -l4.

Розв'язання

Перепишемо задане рівняння у вигляді (x – 1)² + (у + 2)² + (z – 3)² = 0. Тепер очевидно, що рівняння має єдиний розв'язок: х = 1, у = -2, z = 3.

Доведіть, що рівняння х² - у² = 2006 не має розв'язків у цілих числах.

Розв'язання

Нехай такий розв'язок (х₀; у₀) існує. Тоді (х₀ – y₀ )(х₀ + у₀) = 2006.

Але числа (x₀ – у₀) та (х₀ + у₀) мають однакову парність. Тому їх добуток — або непарне число, або число, кратне 4. Але 2006 — парне число, не кратне 4.

Розв'яжіть у цілих числах рівняння x³ + 3y³ = 9z³.

Розв'язання

Легко бачити, що x = y = z = 0 є розв'язком даного рівняння. Доведемо, що інших розв'язків немає. Припустимо протилежне, що існують інші цілі розв'язки. Тоді принаймні одне з чисел х, у, z відмінне від 0. Нехай р — найбільший спільний дільник х, у, z. При цьому якщо одне з них дорівнює нулю, то будемо вважати, що р — найбільший спільний дільник двох інших чисел. Очевидно, що два числа одночасно дорівнювати нулю не можуть. Нехай х = px₁, y = py₁, z = pz₁. Тоді принаймні в одній парі чисел x₁, y₁, z₁ маємо взаємно прості числа. Тоді

. З цієї рівності випливає, що х₁ ділиться на 3, тобто х₁ = 3х₂. Поділивши ліву й праву частини на 3, матимемо

. Тому у₁ = 3у₂ і

. А тому z₁ = 3z₂. Отже, серед чисел х₁, y₁, z₁ немає жодної пари взаємно простих. Суперечність доводить, що інших цілих розв'язків, крім x = y = z= 0, немає.

Розв'яжіть у цілих числах рівняння х² + у² = 4z – 1.

Розв'язання

Розглянемо остачі від ділення лівої і правої частини на 4; х² та у² можуть давати в остачі 0 або 1, 4z – 1 дає остачу — 1. Оскільки сума остач, які дають х² та у², не може дорівнювати — 1, то наше рівняння розв'язків не має.

Розв'яжіть у натуральних числах рівняння 3∙2^т + 1 = n².

Розв'язання

Очевидно, що n не ділиться на 3. Тому можливі випадки, коли п при діленні на 3 дає остачу 1 і коли п дає остачу 2. Розглянемо обидва випадки.

1) п = 3k + 2. Тоді 3∙2^т + 1 = 9k² + 12k + 4 або 2^m =3k² + 4k + 1= (3k+1)(k+l).

Отже, і k+1, і 3k+1 — степені числа 2. А це тільки k =0 і k =1.

Підходять k = 0 і k = 1.

При k ≥ 2 4(k+1)>3k+1>2(k+1), а тому k+1 і 3k+1 не можуть одночасно бути степенями двійки. Отже, розгляд першого випадку дає розв'язки: п = 2, т =1 і п = 5, т = 3.

2) п = 3k+1. Тоді 3∙2^т + 1 = 9k² + 6k + 1 або 2^т = 3k² +2k = k(3k+2). Отже, і k, і 3k+2 — степені числа 2. Очевидно, що k = 1 не підходить, а k = 2 — підходить. При k ≥ 3 маємо: 4k > 3k + 2 > 2k, а тому k і 3k + 2 не можуть бути степенями числа 2. Розглянувши цей випадок, маємо ще один розв'язок: п=7, т=4.

Для фіксованого простого числа р знайдіть усі пари (х; у) цілих чисел, що задовольняють співвідношення р(х + у) = ху.

Розв'язання

Перепишемо рівняння у вигляді

. Права частина – ціле число. У правій частині дріб або скоротний, або нескоротний. Якщо він нескоротний, то х – р = ± 1 і маємо два розв'язки: х = р + 1, у = р(р + 1) і х = р – 1, у = (1 – р) ∙ р.

Розглянемо випадок, коли

скоротний дріб.

НСД(х; х-р) = НСД(х; р) = НСД(р; х-р).

Тому цей дріб може бути скоротним лише на р, тобто х=kр. Тоді

. Але НСД(k; k-1) = НСД(k; 1) = 1, тому р має ділитись на k – 1, а це можливо у таких випадках:

1) k – 1 = 1, k = 2, х = 2р, у = 2р;

2) k – 1= -1, k = 0, х = 0, у = 0;

3) k – 1 = р, k = р +1, х = р(р + 1), у = р + 1;

4) k + 1= - р, k = 1 – р, х = р(1 – р), у = р – 1.

Доведіть, що рівняння (n N) має єдиний розв'язок у нату-ральних числах тоді й тільки тоді, коли п — просте число.

Розв'язання

Якщо n = pg (p, q > l), то

. Якщо n — просте, то п(у – х) = ху, отже, ху, ділиться на п, тобто х або у діляться на п. Зрозуміло, що саме у ділиться на п, тобто у = kп. Тоді

, звідки k = n – 1, тобто існує тільки одне подання:

.
Задачі для самостійного розв'язування

Розв'яжіть у цілих числах рівняння: а) x² = 14 + у²; б) х² + у² = x + y + 2.
Розв'яжіть у цілих числах рівняння: а) х² – 7у = 10; б)15х² – 7у² = 9.
Знайдіть усі розв'язки рівняння 19х + 99у = 2002 у натуральних числах.
Учневі прислали 20 задач. За кожну розв'язану задачу він отримує
8 балів, неправильно розв'язану — лише 5 балів, і задачу, яку він не брався розв'язувати — 0 балів. Скільки задач пробував розв'язати учень, якщо він набрав 13 балів?
Знайдіть усі цілі розв'язки рівняння: а)21х + 48у = 6; б) 1990х – 173y = 11.
Розв'яжіть у натуральних числах рівняння 3^т + 7 = 2^m.
Чи існують натуральні числа х, у, які задовольняють рівняння

х³ – х = 3у² + 2003?

Доведіть, що коли рівняння х² + у² = п має розв'язки в натуральних
числах, то й рівняння х² + у² = 2n також має розв'язки в натуральних числах. Чи правильним є обернене твердження?
Знайдіть усі цілі розв'язки рівняння: а) 2^x + 1 = 3^y; б) 2^x + 1 = у^z.
Розв'яжіть у простих числах рівняння: а) х^у + 1 = z; б) xyz = 5(x + y + z).
Розв'яжіть у цілих числах рівняння .
Знайдіть цілі розв'язки системи
Розв'яжіть у цілих числах рівняння х(х + 1)(х + 7)(х + 8) = у².
Доведіть, що не існує простих чисел a, b, с, d, які задовольняють
рівняння a² + b² + c² + d² = abed + 4. Чи може це рівняння мати розв'язки
в натуральних числах?
Розв'яжіть рівняння 1! + 2! + ... + х! = у².

Схожі:

Урок №3 Тема. Рівняння та його корені Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; поглибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...	Тема: Квадратні рівняння. Теорема Вієта. НАВЧАЛЬНА МЕТА Вивчити теорему Віета та їй обернену, вміти застосовувати при знаходженні суми і добутку коренів зведеного квадратного рівняння,...
З використанням тестових технологій. Алгебра 7-10 Розділ: Рівняння Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповіді, якщо два корені – запишіть їх суму	Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...
Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, які зводяться до них Дидактична мета: сформувати в учнів поняття параметра, лінійного рівняння з параметром. Навчати іх дослідувати та розв’язки. Виробити...	Лінійне рівняння з двома змінними та його графік Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться...
Лінійні рівняння з однією змінною” Яке з чисел є розв’язком лінійного рівняння 2х + 3 = 9? а 5; б 3; в -4; г 1,8	Галогени як сильні окисники перебувають у природі у відновленому... Ці солі перебувають у вигляді покладів, походження яких пов'язане з висиханням давніх соляних озер, або в розчиненому виді у воді...
Задача Коші для рівняння (4) полягає у знаходженні розв’язку, який задовольняє початкові умови Рівняння (1) представляють собою нескінченну систему звичайних диференціальних рівнянь	Урок Тема уроку : Рівняння Мета уроку: узагальнити знання учнів про рівняння, продовжити формування навичок розв я

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання