Перепишемо рівняння у вигляді


Скачати 90.75 Kb.
НазваПерепишемо рівняння у вигляді
Дата23.06.2013
Розмір90.75 Kb.
ТипДокументи
ДІОФАНТОВІ РІВНЯННЯ

  1. Розв'яжіть рівняння х2 ху 2у2 = 7 у цілих числах.

Розв'язання

Перепишемо рівняння у вигляді (х 2у)(х + у) = 7.

Оскільки х, у цілі числа, то можливі такі випадки:

1) 2) 3) 4)

Розв'язавши ці системи, дістанемо розв'язки: (3; -2), (5; 2), (-3; 2), (-5; -2).


  1. Додали суму, різницю, добуток і частку від ділення двох цілих
    чисел і дістали 450. Знайдіть ці числа.

Розв'язання

Позначимо одне з цих чисел через х, а друге — через у. Тоді

.

Бачимо, що повинно бути цілим числом. Перепишемо наше рівнян­ня у вигляді . Зауважимо, що 450 = 1∙2∙32∙52. Тому (у + 1) може набувати лише значення: 12; 32; 52; 152. Переберемо всі випадки і дістанемо такі пари чисел: (28; 14), (100; 2), (72; 4), (-32; -16), (-200; -4), (-108; -6), (-900; -2).


  1. Знайдіть у цілих числах розв'язки рівняння х + у = х2 ху + у2.

Розв'язання

Розв'яжемо рівняння відносно у. Дістанемо: .

Оскільки корені рівняння мають бути дійсними, то 3(х – 1)2 ≤ 4, тобто . Розв'яжемо цю нерівність в цілих числах і дістанемо х = 0,

x = 1, x = 2. Для кожного з цих значень х дістанемо відповідні цілі значення у. Остаточно матимемо такі пари: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).


  1. Доведіть, що рівняння не має розв'язків у нату­ральних числах.

Розв'язання

Нехай х0, у0натуральні числа, що задовольняють це рівняння. Не­хай для визначеності х0 у0 > 0. Тоді , тобто . Тому у0 = 1 в рівнянні, і доходимо рівності , яка для натуральних значень х0 не виконується. Отже, вихідне рівняння не має розв'язків у нату­ральних числах.


  1. Знайдіть усі прості числа, що задовольняють рівняння х2 2у2 = 1.

Розв'язання

Оскільки х2 = 2у2 + 1— непарне, то й х — непарне. Нехай х = 2n + 1, х N. Тоді у2 = 2(п2 + п) – парне. Звідки у — парне число. Але існує єдине парне просте число 2. Підставимо це значення в рівняння і знаходимо х = 3. Отже, єдина проста пара, що задовольняє умову задачі — це (3; 2).


  1. Сума декількох послідовних натуральних чисел, починаючи з чис­ла 1, дорівнює тризначному числу, всі цифри якого рівні. Скільки взято чисел?

Розв'язання

Тризначне число можна подати так:

= 100а +10a + a = 111а = 37∙3а,

де а — одна з цифр 1, 2, 3, ..., 9. Оскільки 1 + 2 + ... + п = , то

n(n + 1) = 2∙3∙37а. Отже, або п, або n + 1 ділиться на 37.

Якщо п = 37k, то k(37k + 1) = 6а < 54, звідки к = 1.

Якщо п = 37, то не задовольняє умову задачі.

Якщо п + 1 = 37k, то k(37k 1) = 6а < 54. Тому k = 1. У цьому випадку .

Отже, n = 36.


  1. Розв'яжіть рівняння 3х + 5у = 7 у цілих числах.

Розв'язання

Знайдемо спочатку який-небудь конкретний розв'язок.

Оскільки 3∙2 + 5∙(-1) = 1, то 3∙14 + 5∙(-7) = 7. Отже, х0 = 14, у0 = -7 — один із розв'язків даного рівняння. Тоді 3(х x0) + 5(у y0) = 0. Звідки бачимо, що х х0 ділиться на 5, у у0 ділиться на 3. Покладемо: х - x0 = 5k, у у0 = 3k, k Z.

Отже, загальний розв'язок: х = 14 + 5k, у = -7 – 3k, k Z.


  1. Розв'яжіть у цілих числах рівняння 35x – 2004у = 11.

Розв'язання

Для знаходження конкретного розв'язку скористаємось алгоритмом Евкліда. НСД(2004; 35) = НСД(35; 9) = НСД(9; 8) = НСД(8; 1) = 1. Запи­шемо цей процес у зворотному напрямку:

1 = 8 – 7 ∙ 1 = 8 – 7(9 – 8) = 8 ∙ 8 – 7 ∙ 9 = 8(35 – 3∙9) – 7∙9 =

= 8 ∙ 35 – 31 ∙ 9 = 8 ∙ 35 – 31 – (2004 – 57 ∙ 35) = 1775 ∙ 35 – 31∙2004.

Отже, пара (1775; 31) є розв'язком рівняння 35х – 2004у = 1. Тоді пара чисел х0 = 1775∙11 = 19525, у0 = 31 ∙ 11 = 341 є розв'язком рівняння

35х – 2004у = 11.

Міркуючи так, як і в попередній задачі, дістанемо загальний розв'язок рівняння: х = 19525 + 2004k, у = 341 + 35k, k Z.


  1. Розв'яжіть у цілих числах рівняння х2 + у2 + z22x + 4y6z = -l4.

Розв'язання

Перепишемо задане рівняння у вигляді (x – 1)2 + (у + 2)2 + (z – 3)2 = 0. Тепер очевидно, що рівняння має єдиний розв'язок: х = 1, у = -2, z = 3.


  1. Доведіть, що рівняння х2 - у2 = 2006 не має розв'язків у цілих числах.

Розв'язання

Нехай такий розв'язок (х0; у0) існує. Тоді (х0y0 )(х0 + у0) = 2006.

Але числа (x0 у0) та (х0 + у0) мають однакову парність. Тому їх добу­ток — або непарне число, або число, кратне 4. Але 2006 — парне число, не кратне 4.


  1. Розв'яжіть у цілих числах рівняння x3 + 3y3 = 9z3.

Розв'язання

Легко бачити, що x = y = z = 0 є розв'язком даного рівняння. Доведемо, що інших розв'язків немає. Припустимо протилежне, що існують інші цілі розв'язки. Тоді принаймні одне з чисел х, у, z відмінне від 0. Нехай р — найбільший спільний дільник х, у, z. При цьому якщо одне з них дорівнює нулю, то будемо вважати, що р — найбільший спільний дільник двох інших чисел. Очевидно, що два числа одночасно дорівнювати нулю не можуть. Нехай х = px1, y = py1, z = pz1. Тоді принаймні в одній парі чи­сел x1, y1, z1 маємо взаємно прості числа. Тоді . З цієї рівності випливає, що х1 ділиться на 3, тобто х1 = 3х2. Поділивши ліву й праву частини на 3, матимемо . Тому у1 = 3у2 і . А тому z1 = 3z2. Отже, серед чисел х1, y1, z1 немає жодної пари взаємно простих. Суперечність доводить, що інших цілих розв'язків, крім x = y = z= 0, немає.


  1. Розв'яжіть у цілих числах рівняння х2 + у2 = 4z1.

Розв'язання

Розглянемо остачі від ділення лівої і правої частини на 4; х2 та у2 мо­жуть давати в остачі 0 або 1, 4z1 дає остачу — 1. Оскільки сума остач, які дають х2 та у2, не може дорівнювати — 1, то наше рівняння розв'язків не має.


  1. Розв'яжіть у натуральних числах рівняння 3∙2т + 1 = n2.

Розв'язання

Очевидно, що n не ділиться на 3. Тому можливі випадки, коли п при діленні на 3 дає остачу 1 і коли п дає остачу 2. Розглянемо обидва випадки.

1) п = 3k + 2. Тоді 3∙2т + 1 = 9k2 + 12k + 4 або 2m =3k2 + 4k + 1= (3k+1)(k+l).

Отже, і k+1, і 3k+1 — степені числа 2. А це тільки k =0 і k =1.

Підходять k = 0 і k = 1.

При k2 4(k+1)>3k+1>2(k+1), а тому k+1 і 3k+1 не можуть одночасно бути степенями двійки. Отже, розгляд першого випадку дає розв'язки: п = 2, т =1 і п = 5, т = 3.

2) п = 3k+1. Тоді 3∙2т + 1 = 9k2 + 6k + 1 або 2т = 3k2 +2k = k(3k+2). Отже, і k, і 3k+2 — степені числа 2. Очевидно, що k = 1 не підходить, а k = 2 — підходить. При k 3 маємо: 4k > 3k + 2 > 2k, а тому k і 3k + 2 не можуть бути степенями числа 2. Розглянувши цей випадок, маємо ще один розв'язок: п=7, т=4.


  1. Для фіксованого простого числа р знайдіть усі пари (х; у) цілих чи­сел, що задовольняють співвідношення р(х + у) = ху.

Розв'язання

Перепишемо рівняння у вигляді . Права частина – ціле число. У правій частині дріб або скоротний, або нескоротний. Якщо він нескоротний, то х р = ± 1 і маємо два розв'язки: х = р + 1, у = р(р + 1) і х = р 1, у = (1 р) ∙ р.

Розглянемо випадок, коли скоротний дріб.

НСД(х; х-р) = НСД(х; р) = НСД(р; х-р).

Тому цей дріб може бути скоротним лише на р, тобто х=kр. Тоді . Але НСД(k; k-1) = НСД(k; 1) = 1, тому р має ділитись на k1, а це можливо у таких випадках:

1) k 1 = 1, k = 2, х = 2р, у = 2р;

2) k 1= -1, k = 0, х = 0, у = 0;

3) k 1 = р, k = р +1, х = р(р + 1), у = р + 1;

4) k + 1= - р, k = 1 р, х = р(1 р), у = р 1.


  1. Доведіть, що рівняння (n N) має єдиний розв'язок у нату-ральних числах тоді й тільки тоді, коли п — просте число.

Розв'язання

Якщо n = pg (p, q > l), то і . Якщо n — просте, то п(у х) = ху, отже, ху, ділиться на п, тобто х або у діляться на п. Зрозуміло, що саме у ділиться на п, тобто у = kп. Тоді , звідки k = n – 1, тобто існує тільки одне подання: .
Задачі для самостійного розв'язування

  1. Розв'яжіть у цілих числах рівняння: а) x2 = 14 + у2; б) х2 + у2 = x + y + 2.

  2. Розв'яжіть у цілих числах рівняння: а) х2 – 7у = 10; б)15х2 – 7у2 = 9.

  3. Знайдіть усі розв'язки рівняння 19х + 99у = 2002 у натуральних числах.

  4. Учневі прислали 20 задач. За кожну розв'язану задачу він отримує
    8 балів, неправильно розв'язану — лише 5 балів, і задачу, яку він не брався розв'язувати — 0 балів. Скільки задач пробував розв'язати учень, якщо він набрав 13 балів?

  5. Знайдіть усі цілі розв'язки рівняння: а)21х + 48у = 6; б) 1990х – 173y = 11.

  6. Розв'яжіть у натуральних числах рівняння 3т + 7 = 2m.

  7. Чи існують натуральні числа х, у, які задовольняють рівняння

х3 х = 3у2 + 2003?

  1. Доведіть, що коли рівняння х2 + у2 = п має розв'язки в натуральних
    числах, то й рівняння х2 + у2 = 2n також має розв'язки в натуральних числах. Чи правильним є обернене твердження?

  2. Знайдіть усі цілі розв'язки рівняння: а) 2x + 1 = 3y; б) 2x + 1 = уz.

  3. Розв'яжіть у простих числах рівняння: а) ху + 1 = z; б) xyz = 5(x + y + z).

  4. Розв'яжіть у цілих числах рівняння .

  5. Знайдіть цілі розв'язки системи

  6. Розв'яжіть у цілих числах рівняння х(х + 1)(х + 7)(х + 8) = у2.

  7. Доведіть, що не існує простих чисел a, b, с, d, які задовольняють
    рівняння a2 + b2 + c2 + d2 = abed + 4. Чи може це рівняння мати розв'язки
    в натуральних числах?

  8. Розв'яжіть рівняння 1! + 2! + ... + х! = у2.

Схожі:

Урок №3 Тема. Рівняння та його корені
Мета: домогтися свідомого сприйняття змісту поняття «рівняння»; по­глибити, розширити та узагальнити знання учнів про рівняння, здобуті...
Тема: Квадратні рівняння. Теорема Вієта. НАВЧАЛЬНА МЕТА
Вивчити теорему Віета та їй обернену, вміти застосовувати при знаходженні суми і добутку коренів зведеного квадратного рівняння,...
З використанням тестових технологій. Алгебра 7-10 Розділ: Рівняння
Розв’яжіть рівняння. Якщо рівняння має один корінь, запишіть його у відповіді, якщо два корені – запишіть їх суму
Розділ І. Загальні відомості про алгебраїчні рівняння вищих степенів
Рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до н е вавилоняни. Використовуючи сучасний алгебраїчний запис, можна говорити, що...
Лінійні рівняння з параметрами та рівняння, які зводяться до них
Дидактична мета: сформувати в учнів поняття параметра, лінійного рівняння з параметром. Навчати іх дослідувати та розв’язки. Виробити...
Лінійне рівняння з двома змінними та його графік
Рівняння не має розв’язків тому, що і модулЬ, І квадрат будь-якого числа додатній, то їх сума не дорівнює нулю і не перетвориться...
Лінійні рівняння з однією змінною”
Яке з чисел є розв’язком лінійного рівняння 2х + 3 = 9? а 5; б 3; в -4; г 1,8
Галогени як сильні окисники перебувають у природі у відновленому...
Ці солі перебувають у вигляді покладів, походження яких пов'язане з висиханням давніх соляних озер, або в розчиненому виді у воді...
Задача Коші для рівняння (4) полягає у знаходженні розв’язку, який задовольняє початкові умови
Рівняння (1) представляють собою нескінченну систему звичайних диференціальних рівнянь
Урок Тема уроку : Рівняння
Мета уроку: узагальнити знання учнів про рівняння, продовжити формування навичок розв я
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка