Задача Коші для рівняння (4) полягає у знаходженні розв’язку, який задовольняє початкові умови

Коректність задачі Коші для системи осциляторів, розміщених на двовимірній решітці Рівняння руху системи, що розглядається, мають вигляд (1) Рівняння (1) представляють собою нескінченну систему звичайних диференціальних рівнянь. Розглядаються такі розв'язки системи (1), що (2) тобто осцилятори знаходяться в стані спокою на нескінченності. Потенціал запишемо у вигляді і покладемо Тоді рівняння (1) матиме вигляд (3) Враховуючи граничні умови (2), це рівняння зручно розглядати як диференціально-операторне рівняння (4) де (такі оператори вивчалися в [3, с. 506]), а нелінійний оператор визначається формулою (5) в просторі дійсних послідовностей зі скалярним добутком Позначимо цей простір . Неважко переконатися, що цей простір є гільбертовим. Скалярний добуток і норму в позначатимемо і відповідно. Далі нам також знадобиться простір – банахів простір обмежених послідовностей з нормою Відмітимо, що рівняння (3) у просторі можна подати у гамільтоновому вигляді з гамільтоніаном де . Гамільтоніан задає повну енергію системи, тобто суму кінетичної і потенціальної енергії, причому визначає кінетичну енергію, а – потенціальну. За означенням, розв’язком рівняння (4) вважається двічі неперервно диференційовна функція від зі значеннями в . Припускається, що виконуються умови: послідовності і дійсних чисел обмежені; – функція класу на , причому і для будь-якого існує таке , що для всіх (6) З умови випливає, що є обмеженим самоспряженим оператором в . Лема 1. Нехай виконується умова , тоді оператор є обмеженим оператором в . Більше того, оператор є неперервним за Ліпшицем на кожній кулі простору . Задача Коші для рівняння (4) полягає у знаходженні розв’язку, який задовольняє початкові умови: (7) Для отримання основного результату нам знадобляться дві теореми, які є наслідками зі стандартних результатів про існування та єдиність локального та глобального розв’язків ([8, с. 391–392]). Розглянемо в банаховому просторі нелінійне рівняння (8) Теорема 1 (локальна). Нехай для будь-якого існують і такі, що при і при Тоді для будь-якого існує таке, що рівняння (8) має один і тільки один розв’язок в інтервалі , який задовольняє початкову умову . Теорема 2 (глобальна). Нехай існують , і такі, що і . Тоді для будь-якого рівняння (8) має один і тільки один розв’язок , визначений при всіх , який задовольняє початкову умову . Щоб скористатися теоремою 1 зведемо рівняння (4) до рівняння першого порядку в просторі (9) де і (стандартний прийом приведення рівняння другого порядку до системи першого порядку). Згідно леми 1, оператор є неперервним за Ліпшицем в просторі . Норма в визначається рівністю: З теореми 1 випливає основний результат роботи про існування та єдиність локального розв’язку: Теорема 3. Нехай виконуються умови та . Тоді для будь-яких і задача (4), (7) має єдиний розв’язок класу , який визначений на деякому інтервалі . За допомогою теореми 2, аналогічно до теореми 3, можна отримати основний результат роботи про існування та єдиність глобального розв’язку: Теорема 4. Нехай виконуються умови та з константою , яка не залежить від . Тоді для будь-яких і задача (4), (7) має єдиний розв’язок класу , який визначений при всіх . Доведення цієї теореми аналогічне до доведення теореми 3 про існування та єдиність локального розв'язку і ґрунтується на використанні теореми 2.

Схожі: