2 Тригонометричні функції
2.1 Загальна характеристика теми і цільові установки
Тригонометричні функції мають важливе значення як у математиці, так і в її застосуваннях. Знайомство з цим класом функцій є складовою природничо-математичної освіти загальнокультурного спрямування.
Зміст теми «Тригонометричні функції» спрямований на розвинення функціонального мислення учнів, їх умінь використовувати функції до моделювання процесів і явищ навколишнього світу.
У процесі вивчення теми «Тригонометричні функції» повторюються і поглиблюються знання учнів про функції, їхні властивості і графіки, розширюється клас рівнянь і нерівностей, розглядається застосування тригонометричних функцій до дослідження періодичних процесів.
Отже, основними завданнями вивчення теми є:
- розширити запас функцій, які застосовуються для дослідження реальних процесів, при вивченні суміжних предметів;
- розширити запас рівнянь, які можна застосувати для розв'язання геометричних, прикладних задач, у суміжних предметах;
- розвинути вміння досліджувати властивості функцій, будувати їх графіки, зокрема за допомогою геометричних перетворень.
Вивчення теми треба спланувати так, щоб після завершення навчання учні мали змогу набути таких вмінь:
- користуватись різними одиницями виміру кутів, вміти переходити від радіанної міри до градусної і навпаки;
- встановлювати відповідність між дійсними числами і точками тригонометричного кола;
- обчислювати та порівнювати значення тригонометричних виразів без використання обчислювальних засобів, а також за їх допомогою;
- перетворювати вирази, які містять тригонометричні функції з метою спрощення виразів, обчислення їх значень, доведення тотожностей;
- зображати і розпізнавати графіки тригонометричних функцій, а також функцій, які одержують з них за допомогою геометричних перетворень;
- встановлювати основні властивості тригонометричних функцій за їх графіком чи формулою;
- використовувати тригонометричні функції і рівняння при дослідженні реальних процесів, зокрема гармонічних коливань;
- розв'язувати найпростіші тригонометричні рівняння.
Володіння вказаними видами діяльності виражається вмінням розв'язувати наступні завдання:
Чи можуть існувати синус і косинус того самого аргументу одночасно дорівнювати:
а)  ; б) 0,9 і 0,1.
Зростаючою чи спадаючою є функція 
а)  ; б)  ; в)  .
Які з поданих чисел є періодом функції 
а)  б) в) г)  .
Зобразіть на тригонометричному колі точки, що відповідають числам ;  ; ; - ; 1; 2.
Обчисліть з точністю до 0,001, користуючись обчислювальними засобами:
а)  ; б) ; в)  .
Розташуйте в порядку спадання числа: 
Відомо, що  . Чому дорівнює  ?
Порівняйте:
а)  б) в)
Знайдіть значення виразу:
 б)
Розв’яжіть рівняння:
 ;  ;  ; 
Які з наведених нижче рівнянь є однорідними відносно  і  Розв’яжіть рівняння:
 б) 
в) 
г) 3
Укажіть рисунок, на якому наведено розв’язок нерівності 
Побудуйте графік функції:
а)  ; б) ; в)  .
Скільки розв'язків на заданому проміжку має рівняння:
а)  ; б) .
2. 2 Загальні методичні рекомендації
Розгляд теми «Тригонометричні функції» базується на знаннях та вміннях, отриманих учнями в курсі геометрії основної школи і пов'язаних з розв'язанням трикутників. Тому ґрунтовне повторення і систематизація відповідного навчального матеріалу є важливою умовою успішного засвоєння теми.
Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» реалізуються основні змістові лінії курсу алгебри:
обчислюються, порівнюються, оцінюються значення тригонометричних виразів, причому як із застосуванням обчислювальних засобів, так і без них;
перетворюються тригонометричні вирази з метою їх спрощення, обчислення їх значень, знаходження з формул однієї змінної через інші, доведення тотожностей;
знаходяться загальні і окремі розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей, їх застосовують до розв'язання геометричних і прикладних задач;
досліджуються властивості тригонометричних функцій, заданих аналітичне або графічно, будуються та розпізнаються їхні графіки.
При розгляді тригонометричних функцій та їх графіків доцільно користуватись загальною схемою дослідження функцій. При цьому варто спочатку розглянути її властивості, які дадуть змогу побудувати графік відповідної функції, а саме:
область визначення (фактично вона є складовою означення);
періодичність (дає змогу будувати графік функції на обмеженому проміжку, що дорівнює її найменшому додатному періоду);
парність або непарність функції (дозволяє будувати графік функції при додатних значеннях аргументу);
проміжки зростання і спадання функції;
неперервність функції (дають підставу з'єднувати точки при побудові графіка неперервною кривою, напрямленою знизу догори або навпаки).
Інші властивості (нулі функції, проміжки знакосталості, множина значень, найбільше і найменше значення функції, якщо вони існують) можна розглядати або за допомогою графіків функцій, або, якщо це дозволяють умови навчання, не користуючись ними. Належну увагу слід приділити побудові графіків тригонометричних функцій за допомогою геометричних перетворень.
Нижче наводиться орієнтовний план вивчення теми.
Тема 3. Тригонометричні функції (26 год.)
|
|
Синус, косинус, тангенс, котангенс кута. Діагностика готовності до вивчення теми.
|
2
|
|
Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу.
|
4
|
|
Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Формули зведення.
|
4
|
|
Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання.
|
5
|
|
Тригонометричні формули додавання та наслідки з них.
|
4
|
|
Найпростіші тригонометричні рівняння та нерівності.
|
4
|
|
Тематичне оцінювання (повторення, систематизація, контролюючі заходи, коригувальна робота)
|
3
|
|
Періодичність функцій. Властивості та графіки тригонометричних функцій. Гармонічні коливання.
|
5
|
2.3. Методичні рекомендації до навчальних модулів
2.3.1. Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.
Основні завдання
Даний модуль призначений для забезпечення готовності вивчення теми у цілому. Головними завданнями навчального модуля є:
формування установ на вивчення теми;
повторення тригонометричного матеріалу, який вивчався в курсі геометрії 8 - 9 класів;
проведення діагностики готовності до вивчення теми.
Реалізація основних завдань
Проведенню установчої бесіди, ознайомленню учнів зі змістом теми сприяє їх знайомство з тригонометричними функціями кутів та їх застосуваннями до вимірювання довжин сторін трикутників, їх площ. Для повторення тригонометричного матеріалу, який вивчався в основній школі, можна використати таблиці 24 - 28, які містяться у підручнику на с. 222 - 224.
Під час вивчення теми «Тригонометричні функції» реалізуються основні змістові лінії курсу алгебри: обчислюються, порівнюються, оцінюються значення тригонометричних виразів, причому як із застосуванням обчислювальних засобів, так і без них; перетворюються тригонометричні вирази з метою їх спрощення, обчислення їх значень, знаходження з формул однієї змінної через інші, доведення тотожностей; знаходяться загальні і окремі розв'язки найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей, їх застосовують до розв'язання геометричних і прикладних задач; досліджуються властивості тригонометричних функцій, заданих аналітичне або графічно, будуються та розпізнаються їхні графіки. Враховуючи, що головною змістовою лінією у курсі алгебри і початків аналізу є функціональна, саме їй слід приділити основну увагу. Не слід приділяти занадто багато уваги громіздким перетворенням тригонометричних виразів і спеціальним методам розв'язування тригонометричних рівнянь. Вони, як правило, не знаходять практичних застосувань. Спеціально вивчати властивості і графіки обернених тригонометричних функцій не передбачається програмою. Достатньо розглянути їх в обсязі, необхідному для запису розв'язків тригонометричних рівнянь.
Після повторення зазначеного матеріалу доцільно запропонувати учням тест для діагностики готовності до вивчення теми. Він міститься у підручнику.
№
|
Зміст навчального матеріалу
|
Тип уроку
|
Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.
Діагностика готовності до вивчення теми.(2 год.)
|
1
|
Синус, косинус, тангенс, котангенс кута.
|
Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок
|
2
|
Діагностика готовності до вивчення теми.
|
|
2.3.2. Тригонометричні функції числового аргументу
Основні завдання
Головними завданнями навчального модуля є:
формування поняття кута обертання;
введення поняття радіанної системи вимірювання кутів, формування вмінь переходу від градусної міри до радіанної і навпаки;
формування вмінь встановлювати відповідність між дійсними числами і точками тригонометричного кола;
формування понять тригонометричних функцій довільного числового аргументу.
Забезпечення готовності до навчання
Фактично робота щодо забезпечення готовності до опанування матеріалом навчального модуля розпочалась у попередньому модулі. Тому аналіз результатів діагностики типових помилок учнів є головним засобом забезпечення готовності учнів до навчання у даному модулі.
Виклад теоретичного матеріалу
Розгляд теоретичного матеріалу доцільно розпочати із формування поняття кута обертання.
Особливої уваги заслуговує питання про вимірювання кутів обертання. Градусна міра має ту перевагу, що в ній одиниця вимірювання (градус) сумірна з повним обертом (360°). Тому у практичних обчисленнях у більшості випадків користуються градусною мірою. Але існують й інші системи вимірювання кутів, зокрема радіанна систему вимірювання кутів, яка ґрунтується на вимірюванні довжин ліній.
Важливим інструментом для введення і вивчення тригонометричних функцій є тригонометричне коло. Щоб тригонометричне коло учні засвоїли так само добре, як і числову пряму корисними будуть вправи таких типів:
зобразити задані дійсні числа точками тригонометричного кола;
вказати, яким числам відповідають задані точки тригонометричного кола;
зобразити на тригонометричному колі множину точок, які відповідають за даним нерівностям;
записати множину дійсних чисел, які відповідають заданій множині точок на тригонометричному колі.
У підручнику є достатньо таких вправ як серед контрольних запитань, так і серед задач.
Зв'язок між двома системами координат дає змогу знаходити декартові координати точок тригонометричного кола. Корисними є вправи на:
знаходження декартових координат точок кола, що відповідають заданим дійсним числам;
знаходження на тригонометричному колі точок із заданими прямокутними координатами;
запис усіх дійсних чисел, яким відповідають точки тригонометричного кола із заданими прямокутними координатами.
Нижче наводиться орієнтовний план вивчення даного модуля.
№
|
Зміст навчального матеріалу
|
Тип уроку
|
Радіанне вимірювання кутів.
Тригонометричні функції числового аргументу.(4 год.)
|
1
|
Радіанне вимірювання кутів.
|
Засвоєння нових знань
|
2
|
Радіанне вимірювання кутів.
|
Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок
|
3
|
Тригонометричні функції числового аргументу й деяких їхні властивості
|
Засвоєння нових знань
|
4
|
Тригонометричні функції числового аргументу й деяких їхні властивості
|
Узагальнення й систематизація знань, умінь і навичок
|
Коментарі до розв'язування задач
Охарактеризуємо систему задач до § 13.
Номер завдання
|
Розподіл за організаційними формами
|
228, 229
|
Переведення градусної міри кутів у радіану і навпаки
|
230
|
Зображення на тригонометричному колі кутів із заданою радіанною мірою
|
231
|
Знаходження градусної міри кута за відношенням
|
232, 233
|
Відпрацьовування твердження про те, що міри всіх кутів обертання, які мають те саме положення рухомого променя, відрізняються одна від одної на ціле число обертів
|
234 - 240
|
Встановлення зв'язку між кутовою і лінійною швидкостями при обертанні, між різними одиницями вимірювання кутів
|
241 - 247
|
Розглядається відповідність між дійсними числами, точками на тригонометричному колі, їх координатами, кутами обертання
|
248 - 252
|
Застосування означень тригонометричних функцій
|
Розглянемо розв’язання деяких задач.
Орієнтовний розподіл задач з §13.
Зміст
|
Кількість
годин
|
Дидактичне забезпечення
|
ФР
|
СР
|
ДЗ
|
Радіанне вимірювання кутів. Тригонометричні функції числового аргументу.
|
4
|
228 (1,2,7), 229 (1,2,3), 230 (1,3). 231 (1,2), 232, 241 (1),242 (1), 243(1,4), 244 (3), 245(1),246(1,4), 247(1), 248(1,4),249(1), 250(1,4),251(1), 252(1,4),253(1)
|
228 (3,4), 229 (4,5), 230 (2,4). 231 (3), 241 (2),242 (3), 243(2,5), 244 (2), 246(2,5), 247(2), 248(2), 249(2,4), 250(2,5), 252(2,5),253(2,4)
|
228 (5,6), 229 (6,7), 230 (5,6). 231 (4), 233, 241 (3),242 (2), 243(3), 244 (1), 245(2),246(3), 248(3),249(3), 250(3,6),251(2), 252(3),253(3,5)
|
Безумовно, цей розподіл є орієнтовним і залежить від конкретних умов роботи в класі. Задачі, що залишились нерозподіленими, або нереалізованими, можна використати для індивідуальної роботи з учнями.
Організація самостійної роботи
і контролю за засвоєнням навчального матеріалу
Тригонометричні функції числового аргументу
Варіант 1
Визначте знак виразу:
 ; 2) ; 3)  .
Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:
1) 2) ; 3)  ; 5.
Варіант 2
Заповніть таблицю
Визначте знак виразу:
 ; 2)  ; 3)  .
Позначте на одиничному колі точки, які відповідають числам:
 2)  ; 3)  ; -1.
Суттєве місце при організації самостійної роботи займає самостійна робота з підручником. Якщо на уроці йшлося про лінію тангенсів, то матеріал, присвячений лінії котангенсів, доцільно доручити учням проробити самостійно: слід привчати учнів читати підручник, працювати з ним.
Щодо контрольних запитань, то вони можуть бути використані вчителем для поточного контролю засвоєння учнями основних понять і фактів теми, а також учнями для самоконтролю при засвоєнні теоретичного матеріалу.
|
