|
|
Скачати 0.54 Mb.
|
Рис. 12 Кожна трійка чисел n, , або повністю лежить у межах однієї групи, або два числа з трійки належать одній групі, а третє число належить іншій групі. У будь-якому разі у трійці є два послідовних числа, які належать одній і тій самій групі і, отже, забарвлені по-різному. Візьмімо тепер довільну арифметичну прогресію з першим членом і різницею d. Виберемо довільну групу чисел, що складається не менш ніж із 2d чисел і всі числа якої більші за . З огляду на те, як ми сконструювали розбиття чисел, така група обов’язково знайдеться. Якщо d непарне, розглянемо довільні два послідовні члени прогресії, які належать вибраній групі чисел: такі знайдуться, бо кількість чисел у групі принаймні вдвічі більша за різницю прогресії. Ці два члени мають різну парність (бо d непарне) і належать одній групі, тому пофарбовані по-різному. Якщо d парне, розглянемо найбільший член a прогресії, що належить вибраній групі. Наступний за a член належить групі, що йде відразу за вибраною групою, бо вона теж містить більше ніж d чисел. Але a та мають однакову парність, а в сусідніх групах числа однієї парності пофарбовані по-різному. Отже, незалежно від парності числа d арифметична прогресія містить два члени, що мають різні кольори. Старша ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Відповідь: . Розв’язання. Проведемо у трикутнику ABC медіани та (рис. 13). Вони перетинаються у точці O, яка за умовою є центром вписаного кола трикутника ABH. Оскільки центр уписаного кола лежить на перетині бісектрис трикутника, прямі та є бісектрисами кутів та . Тому , а відрізок є водночас медіаною та бісектрисою трикутника ABC, звідки . Тоді . За властивістю бісектриси , тому . А далі з відомої тригонометричної формули маємо . Зауважимо також, що трикутник ABC, який задовольняє умову задачі, справді існує. Щоб його побудувати, накреслимо прямокутний трикутник ABH із катетом і гіпотенузою . Точку C відмітимо на промені AH, так щоб . Тоді , тому медіана трикутника ABC, проведена з вершини A, збігається з бісектрисою кута при цій вершині. У той же час якщо — інша медіана трикутника, то , звідки . Тому (бо ). Отже, теж бісектриса трикутника ABH, і точка перетину медіан трикутника ABC збігається з центром вписаного кола трикутника ABH. Крім того, ABC гострокутний, тому що висота BH за побудовою лежить усередині трикутника і кут гострий, бо . 5. Задача № 5 групи «Б» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» старшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Розв’язання. Якщо зафіксовано дві точки A та B на відстані d одна від одної, то всі такі точки C, для яких площа дорівнює 1, лежать на двох паралельних прямих, розташованих на віддалі від прямої AB (рис. 14). Це випливає з того, що площа трикутника дорівнює половині добутку сторони на проведену до неї висоту, а остання дорівнює відстані від точки C до прямої AB. Оскільки на кожній із прямих за умовою лежить щонайбільше дві різні позначені точки, трикутників із заданою парою вершин A та B є щонайбільше . Тепер візьмемо всі можливі пари позначених точок. Як ми з’ясували, для кожної пари кількість трикутників не перевищує 4, тому в сумі матимемо щонайбільше трикутників. Разом із тим кожен трикутник ми рахували тричі — для кожної пари його вершин по одному разу. Тому справжня кількість трикутників площі 1 не перевищує . Старша ліга. Група «В» 1. Задача № 1 групи «Б» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «Б» середньої ліги. 4. Задача № 4 групи «Б» старшої ліги. 5. Задача № 5 групи «Б» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «Б» середньої ліги. 8. Задача № 8 групи «Б» старшої ліги. |
| ОПТИМАЛЬНІ СТРАТЕГІЇ РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ: РІШЕННЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ РОЗВИТКУ Ключові слова: виробнича задача, критерії оптимальності, задача оптимального агрегування, багатовимірна оптимізаційна задача |
Задача № 1 групи «А» Нехай a, b та c — попарно різні натуральні числа. Доведіть, що число має принаймні 8 різних натуральних дільників |
| Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
Задача № 1 групи «А» Назвімо число m особливим, якщо можна дібрати такі цілі a та b, що. Скільки існує натуральних чисел, менших від 123 456 789, які... |
| Задача На тему: Рівняння з параметрами Після першого засідання гуртка, за результатами анкетування ми вирішили детальніше познайомитися з темою «Рівняння з параметрами».... |
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
| ПРОТОКОЛ Р. Короленко – запропонував Д. Слюсара обрати старостою групи. Обґрунтував його гарні організаторські здібності, добросовісне відношення... |
Політичні еліти У всіх країнах є групи населення, які беруть найактивнішу участь у політичному житті, відіграють ключову роль у здійсненні влади.... |
| Конкурсу: 30 команд Учасники: групи учнів 8 11 класів (класи, групи учнів класу, шкільного гуртка, клубу, позашкільних навчальних закладів, молодіжних... |
Тема: Формування вхідних та вихідних грошових потоків на підприємстві.... Задача Визначити чистий рух грошових коштів і скласти звіт про рух грошових коштів підприємства прямим та непрямим методами |