|
|
Скачати 0.53 Mb.
|
| IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Четвертий тур Умови задач Молодша ліга. Група «А» 1. Назвімо число m особливим, якщо можна дібрати такі цілі a та b, що . Скільки існує натуральних чисел, менших від 123 456 789, які є добутком двох особливих чисел, але самі не є особливими? 2. Доведіть, що існують ненульові числа a, b, c, x, y, z, які задовольняють рівності та , і знайдіть усі можливі значення виразу за умови, що ці рівності справджуються. 3. У трикутнику ABC сторони AB й BC рівні, а кут B дорівнює . Доведіть, що . 4. Прямі AD та BC, що містять сторони вписаного чотирикутника ABCD, перетинаються в точці O. Нехай точка E симетрична до B відносно точки O, точка F симетрична до B відносно середини відрізка CD, а точка G симетрична до A відносно середини відрізка CE. Доведіть, що точки E, F, G та C лежать на одному колі. 5. Якого максимального значення може набувати найбільший спільний дільник чисел та за умови, що m та n — взаємно прості натуральні числа? 6. Знайдіть усі пари непарних цілих чисел, які задовольняють рівність . 7. Для яких натуральних n квадрат можна повністю замостити фігурками, що мають вигляд, зображений на рис. 1? Кожна клітина фігурки має розмір . Фігурки можна повертати, але не можна накладати одну на одну або розміщати так, щоб частина фігурки виходила за межі квадрата . 8. Чи можна з дев’яти чисел , , …, скласти магічний квадрат ? Нагадаємо, що магічним квадратом називається квадратна табличка з такою властивістю: суми чисел у кожному її рядку, стовпчику і на двох діагоналях однакові. Молодша ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» молодшої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» молодшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» молодшої ліги. 4. Висота, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника, дорівнює її половині. Знайдіть найменший кут трикутника. 5. На дошці було записано вісім чисел: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 та 16. Петрик витер кілька з них і підрахував добуток чисел, що залишилися. Добуток виявився квадратом деякого цілого числа. Яку найменшу кількість чисел міг витерти з дошки Петрик? 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. На одній відомій картині намальовані 444 бурі ведмеді. Двоє поціновувачів мистецтва грають у гру. Вони по черзі вибирають одного ведмедя та перефарбовують його: якщо ведмідь був бурим, вони забарвлюють його у білий колір, а якщо ведмідь був білим, повертають йому буре забарвлення. Роблячи хід, гравець може вибрати довільного ведмедя (зокрема й уже перефарбованого), але за умови, що після зміни кольору цього ведмедя картина не стане точно такою ж, якою вже колись була: до гри або після одного з попередніх ходів. Якщо комусь із гравців не вдається походити, не порушивши цього правила, він програє. Чи може хтось із гравців забезпечити собі перемогу? Якщо так, то хто: гравець, що ходить першим, чи його суперник? 8. Іван та Федір вистрілили в мішень по 4 рази кожен. По дві кулі влучили у круги 4 та 9 і по одній у круги 3, 5, 8 і 10 на мішені. Відомо, що Іван за перші три постріли набрав у 7 разів більше очок, ніж за четвертий, а Федір хоча б раз потрапив у круг 9. Хто з хлопців поцілив у десятку? Молодша ліга. Сьомі класи 1. Знайдіть найбільше значення, якого може набувати вираз при цілих m та n: . 2. Задача № 2 групи «А» молодшої ліги. 3. У трикутнику ABC сторони AB й BC рівні, а кут B дорівнює . Доведіть, що . 4. Задача № 4 групи «Б» молодшої ліги. 5. Задача № 5 групи «Б» молодшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «Б» молодшої ліги. 8. У купці лежать 2012 камінців. Двоє гравців ходять по черзі і за один хід роблять на вибір одну з двох дій: або докладають у купку 1 камінець, або, якщо купка складається не менше ніж з 4 камінців, забирають звідти 4 камінці. Запас камінців в обох гравців необмежений. Якщо хтось із гравців під час свого ходу забере з купки 4 камінці і більше камінців у купці не залишиться, цей гравець перемагає. Чи має хтось із гравців виграшну стратегію у такій грі? Якщо так, то хто? Середня ліга. Група «А» 1. За якого найбільшого значення параметра k нерівність справджується для всіх додатних чисел a та b: ? 2. Яку величину може мати найбільший кут трикутника, якщо його сторони a, b, c задовольняють співвідношення ? 3. Нехай O — середина гіпотенузи AB прямокутного трикутника ABC. На катетах AC й BC трикутника відмітили відповідно точки M та N, відмінні від вершин трикутника і такі, що . Доведіть, що . 4. Задача № 4 групи «А» молодшої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Знайдіть усі раціональні корені рівняння , де через позначено цілу частину числа x — найбільше ціле число, що не перевищує x. 7. У кожній комірці таблиці записане число 0. Можна вибрати довільну комірку та збільшити на 1 число, яке стоїть у ній, а також в усіх комірках, що мають із нею спільну сторону. Чи може після певної кількості таких операцій виявитися, що кожне число в таблиці дорівнює 2012? 8. Нехай n — натуральне число, а — множина всіх послідовностей довжини 2n, що складаються з чисел 0 та 1, за винятком послідовності, що складається тільки з нулів. Доведіть, що множину можна розбити на групи по 3 елементи таким чином, щоб у кожній групі загальна кількість одиниць у послідовностях була парною. Кожна послідовність повинна міститися рівно в одній групі. Середня ліга. Група «Б» 1. Про числа a, b, c відомо, що . Доведіть, що та . 2. Задача № 2 групи «А» середньої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Нехай ABC — правильний трикутник зі стороною 4, а O — деяка точка на медіані CM трикутника. Із центром у точці A та радіусом 4 побудували коло ; із центром у точці B й радіусом 2 побудували коло ; нарешті, з центром у точці O побудували коло так, щоб воно лежало всередині , дотикалося до , а також зовнішнім чином дотикалося до . Знайдіть радіус кола . 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» середньої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Задача № 8 групи «Б» молодшої ліги. Старша ліга. Група «А» 1. Задача № 1 групи «А» середньої ліги. 2. Петрик задумав 2012 чисел , , …, і порахував для них значення виразу Яке найменше число могло в результаті вийти у хлопця, якщо відомо, що ? 3. Серединний перпендикуляр до бісектриси AD трикутника ABC перетинає описане коло трикутника в точках K та L. Коло радіуса AK з центром у точці K вдруге перетинає описане коло трикутника ABC у точці S, а коло радіуса AL із центром у точці L удруге перетинає описане коло трикутника у точці T. Доведіть, що . 4. Доведіть, що точка Жерґонна, точка Наґеля і точка перетину антибісектрис трикутника лежать на одній прямій. Точкою Жерґонна називають точку перетину трьох прямих, що сполучають вершини трикутника з точками дотику протилежних сторін до вписаного кола трикутника. Точкою Наґеля називають точку перетину трьох прямих, що сполучають вершини трикутника з точками дотику до протилежних сторін відповідних зовнівписаних кіл. Антибісектриса трикутника — це відрізок, що сполучає вершину трикутника з точкою на протилежній стороні, симетричною відносно середини сторони до основи опущеної на цю сторону бісектриси. 5. Знайдіть усі прямокутні трикутники, сторони яких мають цілі довжини, а площа й периметр збігаються. 6. Чи існує нескінченна послідовність натуральних чисел , , сума квадратів довільної кількості перших членів якої сама є точним квадратом? 7. Задача № 7 групи «А» середньої ліги. 8. Кожен із учнів математичного класу, , задумав кілька послідовних натуральних чисел. Відомо, що кожен учень має принаймні з n іншими учнями класу хоча б по одному спільному задуманому числу (спільні числа з різними учнями можуть бути різними, а можуть і збігатися). Покажіть, що обов’язково знайдеться такий учень, який має хоча б по одному спільному задуманому числу з усіма учнями класу. Старша ліга. Група «Б» 1. Для довільних дійсних чисел a, b, c доведіть нерівність . 2. Задача № 2 групи «А» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» старшої ліги. 4. Задано трикутник зі сторонами a, b та c. Розгляньмо три просторові тіла , й , що утворені шляхом обертання трикутника навколо відповідних його сторін. Знайдіть і виразіть відношення об’ємів цих тіл через a, b та c. 5. Задача № 5 групи «А» старшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» старшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» середньої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» середньої ліги. Старша ліга. Група «В» 1. Задача № 1 групи «Б» старшої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» середньої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Задача № 4 групи «Б» старшої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» старшої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» середньої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Задача № 8 групи «А» середньої ліги. Відповіді та розв’язання Молодша ліга. Група «А» 1. Відповідь: 0. Розв’язання. Нехай , — два особливих числа. Тоді їхній добуток теж є особливим числом. Отже, чисел, які є добутком двох особливих чисел, а самі не є особливими, не існує. 2. Відповідь: . Розв’язання. Будемо шукати розв’язок у вигляді , для деякого числа u. Тоді незалежно від значення u, а . У випадку, якщо , цей добуток дорівнює 1. Отже, будь-яка шістка a, b, c, x, y, z, для якої , а , задовольняє обидві рівності. Наприклад, підходить набір чисел , , . Тепер знайдемо значення виразу . Домноживши рівність на xyz, дістанемо . А тоді . 3. Розв’язання. Доведення нерівності див. у розв’язанні задачі № 3 для сьомих класів. Для доведення другої частини нерівності добудуємо на відрізках AB та BC трикутники ABD та CBE, рівні трикутнику ABC, причому так, щоб (рис. 2). Тоді трикутник DBE рівнобедрений із кутом , тобто він рівносторонній. А значить, . 4. Розв’язання. Будемо розглядати паралельно два випадки: коли точка O лежить на промені DA (рис. 3) і коли O лежить на промені AD (рис. 4). Нехай точка H симетрична до A відносно точки O. Чотирикутник BCFD — паралелограм, бо, як випливає з умови задачі, його діагоналі діляться точкою перетину навпіл. Тому відрізки BD та CF рівні й паралельні, а промені BD та CF однаково направлені. Крім того, паралелограмами є ABHE та ACGE. Тому рівними й паралельними є також відрізки , а відповідні їм промені однаково направлені. Точка B не може лежати на прямій , тому HBD — трикутник. Тоді GCF — трикутник, що дорівнює HBD за парою паралельних сторін та і кутом між ними. Оскільки ACGE — паралелограм, . Разом із рівністю трикутників це дає один із двох ланцюжків рівностей: або (у випадку, коли O лежить на промені DA) , або (у випадку, коли O лежить на промені AD) . В обох випадках кути та виявляються рівними. Для того щоб довести, що E, F, G та C лежать на одному колі, лишається переконатися, що точки E та F лежать в одній півплощині відносно прямої CG. Для цього зсунемо всі точки в напрямку променя CB на відстань CB: після такого руху точка C перейде в точку B, точка F — у точку D (бо BCFD — паралелограм), точка G — у точку H (бо BCGH — паралелограм), а точка E — у деяку точку на промені BO. Зрозуміло, що точки та D лежать в одній півплощині відносно прямої BH, тому й відповідні їм точки E та F лежать в одній півплощині відносно відповідної прямій BH прямої CG. |
|
ОПТИМАЛЬНІ СТРАТЕГІЇ РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ: РІШЕННЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ РОЗВИТКУ Ключові слова: виробнича задача, критерії оптимальності, задача оптимального агрегування, багатовимірна оптимізаційна задача |
Задача № 1 групи «А» Нехай a, b та c — попарно різні натуральні числа. Доведіть, що число має принаймні 8 різних натуральних дільників |
|
Задача № 2 групи «А» Усередині квадрата ABCD позначено таку точку E, що трикутник BCE рівнобедрений із кутом. Знайдіть градусну міру кута |
Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
|
Задача На тему: Рівняння з параметрами Після першого засідання гуртка, за результатами анкетування ми вирішили детальніше познайомитися з темою «Рівняння з параметрами».... |
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
|
ПРОТОКОЛ Р. Короленко – запропонував Д. Слюсара обрати старостою групи. Обґрунтував його гарні організаторські здібності, добросовісне відношення... |
Політичні еліти У всіх країнах є групи населення, які беруть найактивнішу участь у політичному житті, відіграють ключову роль у здійсненні влади.... |
|
Конкурсу: 30 команд Учасники: групи учнів 8 11 класів (класи, групи учнів класу, шкільного гуртка, клубу, позашкільних навчальних закладів, молодіжних... |
Тема: Формування вхідних та вихідних грошових потоків на підприємстві.... Задача Визначити чистий рух грошових коштів і скласти звіт про рух грошових коштів підприємства прямим та непрямим методами |