|
|
Скачати 0.54 Mb.
|
|
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Третій тур Умови задач Молодша ліга. Група «А» 1. Додатні числа a, b, c, m, n, p задовольняють умову . Доведіть рівність . 2. Знайдіть усі пари цілих чисел (a, b), які задовольняють рівність . 3. Усередині квадрата ABCD позначено таку точку E, що трикутник BCE рівнобедрений із кутом . Знайдіть градусну міру кута . 4. На рис. 1 зображено правильний п’ятикутник із проведеними діагоналями. Який із двох відрізків, наведених на рисунку товстою лінією, довший? Многокутник називається правильним, якщо всі його кути рівні і всі сторони мають однакову довжину. 5. Розв’яжіть у цілих числах рівняння . 6. Нехай цифри деякого числа A попарно різні і серед них немає нуля. Якщо середнє арифметичне всіх чисел, які можна утворити з числа A шляхом перестановки його цифр, збігається із самим числом A, назвімо число A феноменальним. Знайдіть усі трицифрові феноменальні числа. 7. Яку найбільшу кількість шахових королів можна розставити на дошці таким чином, щоб кожен король був під ударом рівно одного іншого короля? 8. На аркуші в клітинку позначили 100 вузлів сітки — усі вузли, що містяться строго всередині деякого квадрата , чиї сторони проходять по лініях сітки. Із лівого нижнього позначеного вузла у правий верхній проводять по лініях сітки ламані найменшої можливої довжини. Яку найменшу кількість таких ламаних треба провести, щоб через кожен зі 100 позначених вузлів пройшла хоча б одна ламана? Молодша ліга. Група «Б» 1. Нехай a та b — натуральні числа. Доведіть, що число є дільником числа . 2. Задача № 2 групи «А» молодшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» молодшої ліги. 4. Точки A, B, C, D розташовані, як показано на рис. 2. Відомо, що , і . Знайдіть градусну міру кута . 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Знайдіть найбільший простий дільник числа 1 001 001 001. 7. Чи можна деякі з чисел 1, 2, 3, …, 20 записати на одному боці аркуша, а решту чисел — на іншому боці аркуша, так щоб ніякі два числа, записані з одного боку аркуша, не давали в сумі жодне з чисел 4, 5, 9, 14, 23 або 37? 8. Задача № 8 групи «А» молодшої ліги. Молодша ліга. Сьомі класи 1. На клумбі ростуть білі, жовті й рожеві троянди. Жовтих троянд більше, ніж білих, але принаймні втричі менше, ніж рожевих. Разом білих і жовтих квітів понад 50. Яка найменша кількість рожевих троянд може рости на клумбі? 2. Задача № 2 групи «А» молодшої ліги. 3. Усередині квадрата ABCD позначено такі точки E та F, що трикутники BCE і CDF рівнобедрені з кутом . Доведіть, що трикутник CEF рівносторонній. 4. Задача № 4 групи «Б» молодшої ліги. 5. Задача № 5 групи «А» молодшої ліги. 6. Задача № 6 групи «Б» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «Б» молодшої ліги. 8. На шахівниці розставлено 20 тур, причому кожне з 64 полів дошки або містить туру, або перебуває під ударом хоча б однієї тури. Доведіть, що з дошки можна прибрати 12 тур, не порушивши цієї умови. Тура — це шахова фігура, що б’є водночас усі поля на своїй горизонталі і всі поля на своїй вертикалі. Середня ліга. Група «А» 1. Нехай a, b та c — сторони деякого трикутника. Доведіть нерівність . 2. Послідовність задано таким чином: , , . Доведіть, що , , і знайдіть значення . 3. Усередині трикутника ABC вибрали деяку точку X. Прямі AX, BX і CX перетинають описане коло трикутника ABC в точках , і відповідно (відмінних від A, B, C). Точки , і симетричні до точок , і відносно середин відрізків BC, CA та AB відповідно. За умови, що , і — три різні точки, доведіть, що описане навколо трикутника коло проходить через певну фіксовану точку незалежно від вибору X. 4. Бісектриса CD трикутника ABC ділить сторону AB на відрізки і . Яку найбільшу площу може мати трикутник? 5. Послідовність натуральних чисел із деяким початковим членом задається рекурентно: , , де позначає кількість натуральних дільників числа n. Чи можуть два сусідніх члени такої послідовності бути точними квадратами? 6. Знайдіть усі натуральні n, для яких число ділиться на . 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. У Сашиній лабораторії живуть електронні хамелеони, і кожен із них з’єднаний дротами з непарною кількістю інших хамелеонів. Спершу частина хамелеонів мала жовте забарвлення, а решта тваринок були синіми. У межах Сашиного експерименту щодня опівночі кожен хамелеон набуває того кольору, в який протягом дня, що минув, була забарвлена більшість з’єднаних із ним хамелеонів. Доведіть, що рано чи пізно Сашин улюблений хамелеон, Дискримінант, або взагалі перестане змінювати забарвлення, або почне міняти його з жовтого на синє і назад неперервно кожного дня. Зауважте, що з’єднання дротом двостороннє, тобто якщо хамелеон А з’єднаний із хамелеоном Б, то й хамелеон Б з’єднаний із хамелеоном А. Середня ліга. Група «Б» 1. Для довільних чисел x, y і z доведіть нерівність . 2. Задача № 2 групи «А» середньої ліги. 3. Усередині квадрата ABCD зі стороною 1 вибрано точку M. Позначимо через P, Q, R і T точки перетину медіан трикутників AMB, BMC, CMD й DMA відповідно. Знайдіть площу чотирикутника PQRT. 4. Задача № 4 групи «А» середньої ліги. 5. Доведіть, що для натурального N число є точним квадратом тоді й лише тоді, коли існує таке натуральне n, що . 6. Задача № 6 групи «А» середньої ліги. 7. Двоє гравців накреслили на аркуші в клітинку горизонтальний прямокутник і по черзі вписують у його порожні клітини довільні цифри (не обов’язково в порядку від першої клітинки до останньої). Доведіть, що гравець, який ходить другим, незалежно від ходів першого гравця зможе зробити так, щоб утворене після останнього 12-го ходу число було кратним 77. При цьому число може починатися нулями. 8. Задача № 8 групи «А» середньої ліги. Старша ліга. Група «А» 1. Нехай — квадратична функція така, що многочлен зростає на проміжку . Доведіть, що для довільних чисел x, y і z, таких що та , справджується нерівність . 2. Знайдіть усі функції такі, що для довільних дійсних x та y справджується рівність . 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. Знайдіть геометричне місце точок X, що містяться всередині або на межі правильного трикутника ABC, для яких , де , й — відстані від точки X до відповідних сторін трикутника. 5. Задача № 5 групи «А» середньої ліги. 6. Доведіть, що рівняння не має розв’язків у цілих числах. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. Доведіть, що кожне натуральне число можна пофарбувати у жовтий або в синій колір таким чином, щоб водночас:
Старша ліга. Група «Б» 1. Задача № 1 групи «А» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «А» середньої ліги. 4. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоту BH. Виявилося, що центр кола, вписаного у трикутник ABH, збігається з точкою перетину медіан трикутника ABC. Знайдіть відношення площі трикутника ABH до площі трикутника ABC. 5. Задача № 5 групи «Б» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» старшої ліги. 7. Задача № 7 групи «А» молодшої ліги. 8. На площині позначили n точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Доведіть, що кількість трикутників площі 1 з вершинами в позначених точках не більша за число . Старша ліга. Група «В» 1. Задача № 1 групи «Б» середньої ліги. 2. Задача № 2 групи «А» старшої ліги. 3. Задача № 3 групи «Б» середньої ліги. 4. Задача № 4 групи «Б» старшої ліги. 5. Задача № 5 групи «Б» середньої ліги. 6. Задача № 6 групи «А» молодшої ліги. 7. Задача № 7 групи «Б» середньої ліги. 8. Задача № 8 групи «Б» старшої ліги. Відповіді та розв’язання Молодша ліга. Група «А» 1. Розв’язання. Нехай . Тоді , , і , що й треба було довести. 2. Відповідь: , , , , , , , . Розв’язання. Перепишемо рівняння у вигляді . Оскільки єдина пара квадратів, сума яких дорівнює 13, — це і , маємо два варіанти: чи , а , чи , а . Обидва варіанти залежно від вибору знаків « » або « » дають по чотири системи рівнянь, а кожна з восьми систем дає, очевидно, по одному розв’язку початкового рівняння в цілих числах. 3. Відповідь: . Розв’язання. Оскільки для довільної точки E всередині квадрата кути BCE та CBE гострі, кут розташований при вершині E трикутника BCE (рис. 3). Позначимо всередині квадрата таку точку F, що трикутник CDF також рівнобедрений із кутом . Маємо, що , звідки . З міркувань симетрії відрізки CE й CF рівні, що разом із рівністю означає, що трикутник CEF правильний. А тоді , тобто DFE рівнобедрений. Крім того, точка F лежить усередині трикутника CDE, бо . Тепер можемо підрахувати кути: , , . 4. Відповідь: відрізки рівні. Розв’язання. Позначимо вершини п’ятикутника і кінці відрізків, як показано на рис. 4. З міркувань симетрії випливає, що відрізок FG паралельний до прямої BD. Тому . Якщо повернути п’ятикутник так, щоб сторона AB наклалася на сторону CD, кут п’ятикутника ADB перейде в кут CAD. Тому , звідки . Це означає, що трикутник AFG рівнобедрений і . Залишається додати, що — знов-таки з міркувань симетрії — , а отже . 5. Відповідь: розв’язків немає. Розв’язання. Нехай (x, y) — деякий розв’язок рівняння у цілих числах. Число y повинно бути непарним, бо непарне. Тоді для деякого цілого числа . Підставивши це в початкове рівняння, матимемо . Значить, число x парне, тобто для деякого цілого . Тоді . Оскільки одне з чисел або обов’язково парне, ліва частина останньої рівності парна. Але права її частина непарна. Дістали суперечність. Отже, цілих розв’язків рівняння не має. |
|
ОПТИМАЛЬНІ СТРАТЕГІЇ РОЗВИТКУ ВИРОБНИЧИХ СИСТЕМ: РІШЕННЯ ВАРІАЦІЙНОЇ ЗАДАЧІ РОЗВИТКУ Ключові слова: виробнича задача, критерії оптимальності, задача оптимального агрегування, багатовимірна оптимізаційна задача |
Задача № 1 групи «А» Нехай a, b та c — попарно різні натуральні числа. Доведіть, що число має принаймні 8 різних натуральних дільників |
|
Задача 2 Задача (5 балів) На резисторі 3 Ом виділяється напруга 100 мВ. Знайти значення струму через резистор в мА і потужність в кВт |
Задача № 1 групи «А» Назвімо число m особливим, якщо можна дібрати такі цілі a та b, що. Скільки існує натуральних чисел, менших від 123 456 789, які... |
|
Задача На тему: Рівняння з параметрами Після першого засідання гуртка, за результатами анкетування ми вирішили детальніше познайомитися з темою «Рівняння з параметрами».... |
УРОК 7 Тема. Контрольна робота. Мета уроку. Оцінити рівень засвоєння... Задача (З бали.) Виконати зображення правильної трикутної піраміди, вписаної в конус. Описати властивості одержаної комбінації фігур.... |
|
ПРОТОКОЛ Р. Короленко – запропонував Д. Слюсара обрати старостою групи. Обґрунтував його гарні організаторські здібності, добросовісне відношення... |
Політичні еліти У всіх країнах є групи населення, які беруть найактивнішу участь у політичному житті, відіграють ключову роль у здійсненні влади.... |
|
Конкурсу: 30 команд Учасники: групи учнів 8 11 класів (класи, групи учнів класу, шкільного гуртка, клубу, позашкільних навчальних закладів, молодіжних... |
Тема: Формування вхідних та вихідних грошових потоків на підприємстві.... Задача Визначити чистий рух грошових коштів і скласти звіт про рух грошових коштів підприємства прямим та непрямим методами |