Рис. 4.21. Графік функції щільності для бета-розподілу
4.5.10. Розподіл Вейбулла
Розглянемо, якому розподілу підпорядковуються значення випадкової величини, які визначають тривалість безвідмовної роботи складної системи з кількох об'єктів, за умови, що з ладу можуть виходити окремі об'єкти. Через позначимо тривалість безвідмовної роботи системи, через F(t) = Р( < t) — неперервну і диференційовану функцію розподілу випадкової величини, а через (t) — інтенсивність відмови елементів, що працювали до часу t:
|
(4.10)
|
де n(t) — число об'єктів системи, які працювали безвідмовно до моменту часу t, а t — нескінченно малий відрізок часу.
Інтенсивність відмов визначається як відношення кількості об'єктів системи, що вибули з ладу до моменту часу t, до загальної кількості об'єктів системи, що працювали безвідмовно, n(t). Розв'яжемо рівняння (4.10) відносно функції розподілу F(t):
|
(4.11)
|
Із формули випливає, що конкретний вигляд функції F(t) залежить від функції (t). На рис. 4.22 зображено графік життєвого циклу складного виробу. У ньому можна виділити три періоди, кожному з яких відповідають три окремих відрізки графіка. Для кожного відрізка існує своя функція (t) і, отже, свій закон розподілу часу безвідмовного функціонування системи F(t). Для першого відрізка (період припрацьовування) системи параметр < 1, для другого (період нормальної експлуатації) = 1, для третього (період старіння) > 1. На графіку видно, чому в період припрацьовування не бажано продавати вироби або експлуатувати в критичних режимах складні системи.
Рис. 4.22. Графік функції зміни інтенсивності відмов у часі для складної системи
Розглянемо випадок, коли функція (t) має вигляд
де 0, > 0 — деякі числові параметри, які характеризують систему. Якщо підставити різні значення у формули (4.10) та (4.11), отримаємо
Відповідно, функція щільності ймовірності такої випадкової величини має такий вигляд:
Це і є розподіл Вейбулла. Математичне сподівання і дисперсія задаються виразами
Для моделювання випадкових величин wi розподілених по закону Вейбулла, використовуються незалежні рівномірно розподілені в інтервалі [0, 1] випадкові величини, що перетворюються за методом оберненої функції. Значення wi отримують за формулою
де 1/0 – масштабний параметр; – параметр крутизни.
4.5.11. Гіпер- і гіпоекспоненціальні розподіли
Експоненціально розподілені випадкові величини використовуються і для моделювання випадкових величин з гіпер- і гіпоекспоненціальним розподілом. Ці розподіли дають змогу замінити неекспоненціальний розподіл випадкової величини сумою незалежних зважених експоненціальних розподілів (такий спосіб називається методом суперпопозиції). Вони широко використовуються в теорії масового обслуговування. Це дає можливість застосовувати методи теорії марківських процесів з неперервним часом для розрахунків характеристик систем, в яких випадкові процеси підпорядковуються неекспоненціальним законам розподілу.
Якщо потрібно отримати випадкову величину з неекспоненціальним розподілом з коефіцієнтом варіації2 С > 1, можна скористатись гіперекспоненціальним розподілом, з функцією розподілу ймовірностей
Математичне сподівання і дисперсія цієї випадкової величини задаються виразами
Легко показати, що коефіцієнт варіації визначається як
Експоненціальний розподіл з коефіцієнтом варіації С = 1 отримуємо за умови, що i = для всіх і.
Розглянемо деякий обслуговуючий центр, обведений контуром на рис. 4.23, який має k паралельно з'єднаних пристроїв для обслуговування з імовірністю використання wi. Припустимо також, що в довільний момент часу може бути зайнято не більше одного пристрою з k, тобто нова вимога надходить до обслуговуючого центру тільки після того, як закінчиться обслуговування попередньої вимоги і вона залишить центр. Тоді, якщо час обслуговування вимог на кожному пристрої підпорядковується експоненціальному закону розподілу з інтенсивністю i, то час обслуговування вимог у центрі в цілому матиме гіперекспоненціальний розподіл. Схема з паралельними етапами обслуговування, наведена на рис. 4.23, використовується для моделювання гіперекспоненціального розподілу. Наприклад, під час моделювання обчислювальних систем такий розподіл добре описує функціонування центрального процесора комп'ютера [64].
Рис. 4.23. Схема моделі для отримання гіперекспоненціального розподілу
Якщо необхідно отримати розподіл з коефіцієнтом варіації С < 1, можна скористатись гіпоекспоненціальним розподілом з функцією розподілу ймовірностей
Математичне сподівання, дисперсія і коефіцієнт варіації випадкової величини х задаються виразами
За умови, що всі коефіцієнти однакові (i = ), час перебування вимоги в обслуговуючому центрі (обведений на рис. 4.24) буде мати k-розподіл Ерланга:
Для моделювання пристрою СМО, час обслуговування якого є випадковою величиною з гіпоекспоненціальним розподілом, необхідно послідовно з'єднати k пристроїв для обслуговування, у кожному з яких час обслуговування має експоненціальний розподіл. Під час моделювання слід ураховувати, що в будь-який момент часу повинен бути зайнятим лише один пристрій (рис. 4.24), тобто нова вимога може надійти до першого пристрою для обслуговування тільки після того, як попередня вимога залишить останній пристрій.
Рис. 4.24. Схема моделі для отримання гіпоекспоненціального розподілу
У разі моделювання обчислювальних систем випадкові величини з таким розподілом застосовують для визначення часу роботи пристроїв введення-виведення комп'ютера.
4.6. Моделювання випадкових векторів
Під час моделювання систем керування багатьох типів виникає необхідність генерувати багатовимірні випадкові вектори, які мають заданий сумісний розподіл або багатомірний розподіл. У цьому разі окремі компоненти вектора можуть бути залежними або незалежними одне від одного.
Якщо випадкові величини x1, x2, …, xn незалежні, то їх спільна щільність розподілу рівна
де xi, i = 1, 2, …, n — випадкова незалежна величина; f(xi) — щільність розподілу ймовірності випадання випадкової незалежної величини xi.
В цьому випадку моделювання випадкового n-мірного вектору зводиться до моделювання n незалежних випадкових величин xi, i = 1, 2, …, n, кожна з яких має свою щільність розподілу f(xi).
Якщо випадкові величини x1, x2, …, xn залежні, то їх спільна щільність розподілу рівна
 
де  , i = 1, 2, …, n — випадкові залежні величини: випадання  за умови, що випали  ;  — щільність розподілу умовної ймовірності появи , якщо випали .
Таким чином, для моделювання залежних випадкових величин вимагається уміти моделювати випадкові величини, які підкоряються умовній щільності розподілу.
Розглянемо моделювання неперервного випадкового вектора зі складовими X, Y. Нехай випадкові величини X, Y описуються спільною функцією щільності f(x, у), яку може бути використано для визначення функції щільності f(x) випадкової величини X:
Маючи функцію щільності f(x), можна знайти випадкове число хi, а потім, якщо х = хi, знайти умовний розподіл випадкової величини Y:
З цього виразу для функції щільності можна визначити випадкову величину у. Тоді пара чисел (хi, уi) буде реалізацією неперервного випадкового вектора (X, Y). Такий спосіб реалізації двомірних векторів можна узагальнити і для моделювання багатомірних випадкових векторів. Однак слід мати на увазі: зі збільшенням числа компонентів вектора складність обчислень різко зростає, що перешкоджає широкому використанню цього методу на практиці.
Приклад
Розглянемо дві залежні випадкові величини X і Y, які распределенны за нормальним законом. Щільність розподілу випадкового вектору (X, Y) має вигляд:
 
де mx, my – математичні очікування випадкових величин X і Y; σx, σy – їх середньоквадратичні відхилення; q – коефіцієнт кореляції, який показує, наскільки тісно пов'язані величини X і Y.
Коэффициент корреляции определяется как отношение
Якщо коефіцієнт кореляції q = 1, то залежність X і Y взаємно однозначна: одному значенню X відповідає одно значення Y (рис. 4.25, а).
|
|
|
а) q = 1
|
б) 0 < q < 1
|
в) q 0
|
Рис. 4.25. Вид залежності двох випадкових величин при позитивному коефіцієнті кореляції
|
При q близьких до одиниці (0 < q < 1) виникає ситуація, показана на рис. 4.25, б, тобто одному значенню X може відповідати одно з декількох значень Y, визначуване випадковим чином. В цьому випадку X і Y менш корельовані, менш залежні один від одного.
І, нарешті, коли коефіцієнт кореляції прагне до нуля (q 0), виникає ситуація, при якій будь-якому значенню X може відповідати будь-яке значення Y, тобто X і Y не залежать або майже не залежать один від одного, не корелюють один з одним (рис. 4.25, в).
На усіх графіках кореляція була прийнята позитивною величиною. Якщо q < 0, то графіки виглядатимуть так, як показано на рис. 4.26.
а) q = –1 б) –1 < q < 0 в) q 0
Рис. 4.26. Вид залежності двох випадкових величин при негативному коефіцієнті кореляції
Якщо задані значення:
mx, σx – для випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом;
my, σy – для випадкової величини Y, розподіленої за нормальним законом;
q – коефіцієнт кореляції двох випадкових величин X і Y,
те алгоритм моделювання випадкового вектору (X, Y) наступний:
Розігруються 12 випадкових рівномірно розподілених на інтервалі [0; 1] чисел s1 s12; знаходиться їх сума S = s1 + … + s12 і формується нормально розподілене випадкове число x за формулою:
За формулою
знаходиться умовне математичне очікування  (тобто y набуватиме випадкових значень з урахуванням того, що x вже набув якихось певних значень).
За формулою
знаходиться умовне середньоквадратичне відхилення  .
Розігруються 12 випадкових рівномірно розподілених на інтервалі [0; 1] чисел r1 r12; знаходиться їх сума R = r1 + … + r12 і формується нормально розподілене випадкове число y за формулою:
4.7. Моделювання випадкових процесів
Випадковий процес — це процес (тобто зміна в часі стану деякої системи чи об'єкта), який розвивається під впливом якихось випадкових чинників і для якого задано ймовірнісні характеристики його протікання. До числа таких процесів можна віднести багато виробничих процесів, які супроводжуються випадковими флуктуаціями, а також процесів, з якими можна зустрітись у природничих науках, економіці, соціології тощо.
Моделювання будь-якого процесу, в тому числі і випадкового, полягає у відтворенні значень (величин) реалізації цього процесу. Випадковий стаціонарний процес задається значеннями математичного сподівання та автоковаріаційною або автокореляційною функцією. Для його моделювання скористаємось параметричними моделями авторегресії, які широко застосовуються для аналізу часових рядів [6].
|