Таблиця 4.4. Вузли апроксимації і значення функції нормального розподілу
zi
|
Ф(zi)
|
zi
|
Ф(zi)
|
zi
|
Ф(zi)
|
zi
|
Ф(zi)
|
zi
|
Ф(zi)
|
- 5
|
0
|
- 1,5
|
0,06681
|
- 0,4
|
0,34458
|
0,6
|
0,72575
|
2
|
0,97725
|
- 4
|
0,00003
|
- 1,2
|
0,11507
|
- 0,2
|
0,42074
|
0,8
|
0,78814
|
2,5
|
0,99379
|
- 3
|
0,00135
|
- 1
|
0,15866
|
0
|
0,5
|
1
|
0,84134
|
3
|
0,99865
|
- 2,5
|
0,00621
|
- 0,8
|
0,21186
|
0,2
|
0,57964
|
1,2
|
0,88493
|
4
|
0,99997
|
- 2
|
0,02275
|
- 0,6
|
0,27425
|
0,4
|
0,65542
|
1,5
|
0,93319
|
5
|
1
|
Для того щоб одержати нормально розподілену випадкову величину з математичним сподіванням mх 0 і середньоквадратичним відхиленням x 1, необхідно виконати обчислення за формулою (4.7). На рис. 4.14 зображено графік функції, отриманої в результаті апроксимації функції нормального розподілу Ф(z), а на рис. 4.15 — графік функції Ф–1(r), якою зручніше користуватися під час моделювання (як аргумент використовують значення ri від генератора випадкових чисел і отримують значення функції).
Рис. 4.14. Кусково-лінійна апроксимація функції нормального розподілу
Рис. 4.15. Обернена функція до апроксимованої
У системі GPSS для моделювання нормально розподілених випадкових величин використовується функція NOR, яка апроксимує функцію стандартного нормального розподілу.
 Рис. 4.16. Зображення вектора для моделювання нормального розподілу
Недоліком розглянутих вище методів моделювання є те, що значення функції нормального розподілу, які лежать за межами mx х, суттєво відрізняються від точних значень. Щоб зменшити загальну похибку моделювання, треба використовувати більш точні методи отримання значень функції нормального розподілу. Ці методи базуються на такій властивості. Якщо Х1 і Х2 є незалежними нормально розподіленими випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням і одиничним середньоквадратичним відхиленням, то величина кута між віссю абсцис і вершиною випадкового вектора з координатами (x1, x2) має рівномірний розподіл і не залежить від довжини вектора  (рис. 4.16).
Квадрат довжини вектора в цьому випадку має розподіл 2 з двома ступенями свободи і моделюється як окремий випадок показового розподілу з параметром = 1/2.
Існує два методи моделювання нормального розподілу, які використовують цю властивість:
Метод Бокса-Мюллера (Box-Muller). Генеруємо пару незалежних нормально розподілених чисел з mx = 0 і x = 1 за допомогою двох незалежних випадкових чисел r1 і r2, які рівномірно розподілені на інтервалі [0, 1]:
Таким чином, отримуємо два незалежних числа x1 і х2 з нормальним стандартним розподілом.
Метод Марсальї-Брея (Marsaglia-Bray). Існує більш швидка модифікація методу Бокса-Мюллера. Генерують два незалежних випадкових числа r1 і r2, які рівномірно розподілені на інтервалі [0, 1]. На їх основі формують два незалежні випадкові числа  , які рівномірно розподілені на інтервалі [–1, +1]. Далі, обчислюють суму  . Якщо s > 1 або s = 0, то числа r1 і r2 слід відкинути і повторити процедуру. Якщо s < 1, то одержують два незалежних нормально розподілених стандартних числа:
Щоб одержати за цим методом 100 пар нормально розподілених чисел, потрібно генерувати 127 пар випадкових чисел. Це простий та швидкий метод, у разі його застосування більша частина часу роботи алгоритму витрачається на обчислення логарифму.
4.5.6. Логарифмічно-нормальний розподіл
Логарифмічно-нормальний розподіл – це такий розподіл випадкової величини, в якої нормальний розподіл має натуральний логарифм її значень. Цей розподіл придатний для моделювання мультиплікативних процесів так само, як нормальний розподіл – для адитивних. Дійсно, використовуючи центральну граничну теорему, можна показати, що добуток незалежних додатних випадкових величин прямує до логарифмічно-нормального розподілу.
Логарифмічно-нормальна величина є результатом взаємодії великої кількості незалежних малих випадкових факторів. Внесок кожного фактора пропорційний уже досягнутому рівню досліджуваної величини, тобто характер впливу є мультиплікативним. Функція щільності логарифмічно-нормального розподілу має вигляд
Щоб перевірити, чи мають емпіричні вибіркові дані логарифмічно-нормальний розподіл, потрібно обчислити логарифм від кожного елементу вибірки і перевірити її на нормальність, наприклад за допомогою критерію 2. Якщо трансформований набір даних має нормальний розподіл, то вхідні дані є логарифмічно-нормально розподіленими.
На відміну від нормального розподілу, значення випадкової величини х з логарифмічно-нормальним розподілом завжди додатне і використовується під час моделювання економічних, фізичних, біологічних систем багатьох типів. Вони добре описують процеси, в яких значення змінної, що спостерігається, є випадковою часткою значення попереднього спостереження.
Випадковими величинами з цим розподілом можуть бути тривалість безвідмовної роботи виробу в режимі спрацювання та старіння, розмір банківського вкладу, довжини слів певної мови та переданих повідомлень у мережі, розміри файлів, що зберігаються в комп'ютері.
Як і нормальний розподіл, логарифмічно-нормальний також визначається двома параметрами а і . Графіки функції щільності логарифмічно-нормального розподілу для різноманітних значень параметрів а і зображено на рис. 4.17.
Рис. 4.17. Графіки функції щільності логарифмічно-нормального розподілу
Метод моделювання логарифмічно-нормального розподілу передбачає підставлення в рівняння  значень з вибірки N(m, 2), які мають нормальний розподіл з математичним сподіванням m і дисперсією 2, де L — логарифмічно-нормальний розподіл.
Математичне сподівання для цього розподілу
і дисперсія
4.5.7. Розподіл і потоки Ерланга
Випадкові величини з експоненціальним розподілом не завжди адекватно описують деякі реальні процеси та події, наприклад час обслуговування і моменти надходження вимог до СМО. Для більш точного моделювання таких процесів доцільніше використовувати гамма-розподілені випадкові величини або ті, що мають розподіл Ерланга. Розподіл Ерланга є результатом підсумовування взаємно незалежних і однаково розподілених експоненціальних випадкових величин і є окремим випадком гамма-розподілу.
Функція щільності розподілу Ерланга k-гo порядку з інтенсивністю має такий вигляд:
Математичне сподівання і дисперсія розподілу Ерланга визначаються як
Графік функції щільності розподілу Ерланга зображено на рис. 4.18.
Рис. 4.18. Графік функції щільності розподілу Ерланга
Для моделювання розподілу Ерланга використовують метод згорток випадкових величин з експоненціальними функціями розподілу. Для цього треба лише обчислити суму k експоненціально розподілених випадкових величин. Зі збільшенням k розподіл Ерланга наближається до нормального.
4.5.8. Гамма-розподіл
Випадкова величина має гамма-розподіл з параметрами та , якщо її функція щільності має вигляд
|
(4.8)
|
де — параметр форми розподілу, — масштабний коефіцієнт, Г() — гамма- функція або функція Ейлера, яка визначається як [18]
Нагадаємо деякі властивості гамма-функції:  для z > 0;  для від'ємних цілих k;
 /2)
для додатних цілих k;  .
Математичне сподівання гамма-розподілу і дисперсія визначаються як
Вигляд функції гамма-розподілу значною мірою залежить від значень параметрів. Ця властивість дає змогу використовувати випадкові величини з цим розподілом для моделювання різноманітних фізичних та економічних явищ і процесів. Графіки функції розподілу при різних значеннях параметрів а і р зображено на рис. 4.20.
Рис. 4.20. Графік функції щільності для гамма-розподілу
Гамма-розподіл є узагальненням розподілу Ерланга, коли кількість підсумованих експоненціальних величин не є цілим числом. Якщо = 0,5 і = 2, то випадкові величини з гамма-розподілом можна інтерпретувати також як суму квадратів нормально розподілених випадкових величин, тобто таких, які мають розподіл 2. Таким чином, розподіл 2, розподіл Ерланга та експоненційальний розподіл є окремими випадками гамма-розподілу.
Гамма-розподіл має важливу властивість. Сума будь-якої кількості незалежних гамма-розподілених випадкових величин m з однаковим значенням параметра теж підпорядковується гамма-розподілу, але з параметрами (1 + 2 + ... + m) і .
Метод моделювання випадкової величини з гамма-розподілом залежить від значень параметрів та . Якщо = 1 і = 1, гамма-розподіл перетворюється в експоненціальний розподіл, і тому для отримання випадкової величини з гамма-розподілом можна використати відповідні методи моделювання. Якщо має ціле значення можна перейти до моделювання розподілу Ерланга. Якщо = 0,5, гамма-розподіл перетворюється на розподіл 2, тому для його моделювання досить підносити до квадрату вибіркові значення нормально розподілених випадкових величин.
Від випадкової величини X, яка має гамма-розподіл з будь-яким значенням параметра і значення = 1, досить легко можна перейти до випадкової величини X' з параметрами і > 1. Для цього використовується перетворення виду X' = Х. Причому ефективність і швидкодія методу зростає зі збільшенням значення .
Існує багато методів моделювання значень гамма-розподіленої випадкової величини [18, 46, 67]. Основна проблема, яка виникає під час її моделювання, — це обчислення гамма-функції. Справа в тому, що цей інтеграл обчислити аналітично неможливо. Тому для його обчислення зазвичай використовують числові методи.
Щоб отримати значення гамма-функції Г(z) або 1/Г(z), можна скористатися такою формулою [26, 59]:
де
a1 = –0,422784335092; a2 = –0,233093736365; a3 = 0,191091101162;
a4 = –0,024552490887; a5 = –0,017645242118; a6 = 0,008023278113;
a7 = –0,000804341335; a8 = –0,000360851496; a9 = 0,000145624324;
a10 = –0,000017527917; a11 = –0,000002625721; a12 = 0,000001328554;
a13 = –0,00000018122.
Обчислення гамма-функції для різних значень х ускладнюється тим, що вона залежить від трьох аргументів — х, та . Тому на практиці під час моделювання у формулі функції щільності (4.8) використовується неповна гамма-функція
|
(4.9)
|
для обчислення якої за умови, що < 1 можна скористатися таким виразом [59]:
Для > 1 інтеграл (4.9) можна легко обчислити за допомогою будь-яких формул числового інтегрування, наприклад квадратурних формул Ньютона-Котеса або Гаусса [59].
Отримана функція щільності гамма-розподілу використовується для перетворення випадкових незалежних рівномірно розподілених величин. Для цього область можливих значень випадкової величини X розбивається на n однакових інтервалів, кількість яких залежить від заданої точності апроксимації функції f(x). Потім за допомогою значення ri (методом розіграшу за жеребом) обирається один із n інтервалів, у якому отримують випадкові числа з функцією щільності розподілу f(x).
Для оцінювання близькості функції щільності розподілу ймовірностей отриманих значень випадкової величини до функції щільності розподілу f(x) використовують метод найменших квадратів. Цей метод передбачає задания максимально допустимої похибки (наприклад, = 10 –4).
Наведені вище формули та метод кускової апроксимації функції щільності можна використати, щоб задати таблицю значень функції гамма-розподілу при фіксованих значеннях параметрів і , як це зроблено для мови GPSS у генераторі програм ISS 2000 [61].
Наведемо ще кілька алгоритмів моделювання випадкової величини, яка має гамма-розподіл, при різних значеннях параметра [46].
1. 0 < < 1.
Генеруємо три числа: r1, r2 та r3, які є незалежними реалізаціями випадкової величини, рівномірно розподіленої в інтервалі [0, 1]. Обчислимо значення: 
Якщо  , обчислюємо  і розраховуємо значення i випадкової величини за формулою
Або знаходимо нові значення X і Y (для цього знову генеруємо два числа r1, r2) і повторно перевіряємо умову .
2. 1 < 5.
Позначимо через  цілу частину від і через  . Обчислимо значення
Якщо
то обчислюємо нове значення X.
Або розраховуємо значення i випадкової величини за формулою
3. 5
У цьому випадку провадиться зважений відбір значень послідовності, що має розподіл Ерланга.
Якщо  , то i визначається як значення випадкової величини з розподілом Ерланга з параметрами  .
Якщо  , то i обчислюється як значення випадкової величини, що має розподіл Ерланга з параметрами  .
4.5.9. Бета-розподіл
Бета-розподіл визначений у скінченному інтервалі й при різних значеннях параметрів описується різноманітними кривими. Ці криві можуть бути симетричними, асиметричними, мати форму дзвону, U-подібну форму і т. ін. Одна із найпростіших різновидностей бета-розподілу — розподіл Парето, який часто використовується в економічних моделях для моделювання розподілу доходів або витрат.
Те, що бета-розподіл визначений лише в скінченному інтервалі, вносить обмеження на об'єкт моделювання (значення випадкової величини X лежить в інтервалі від 0 до 1). Прикладами можуть бути функції щільності оцінок імовірності, або частки чогось, експертні суб'єктивні ймовірності події, що нас цікавлять. Функція щільності бета-розподілу має вигляд
де 0 < 1, 2 < .
Математичне сподівання
а дисперсія
Види функцій розподілу залежно від параметрів 1 та 2 зображено на рис. 4.21.
Метод моделювання випадкової величини базується на такій властивості бета-розподілу: якщо 1 і 2 — дві незалежні гамма-розподілені випадкові величини з параметрами 1, та 2, відповідно, то значення  підпорядковується бета-розподілу з параметрами 1 і 2. Тому метод моделювання передбачає перетворення випадкової величини за формулою
де 1 і 2 — дві незалежні гамма-розподілені випадкові величини з параметрами 1, 1 та 2, 1.
|