4 Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань

Скачати 2.04 Mb.

Назва	4 Метод статистичних випробувань Метод статистичних випробувань
Сторінка	31/31
Дата	08.04.2013
Розмір	2.04 Mb.
Тип	Лекция

bibl.com.ua > Інформатика > Лекция

1 ... 23 24 25 26 27 28 29 30 31

лекция 4

= 2.

103. Система находится в одной из вершин правильного шестиугольника, причем в соседние вершины она переходит с вероятностью 1/6, а в противоположную - с вероятностью 2/3. Найти матрицу и граф перехода.

104. Матрица вероятностей перехода цепи Маркова имеет вид

$\begin{displaymath} {{\bf p}} = \left[ {\begin{array}{ccc} 0,4&0,5&0,1 \\ 0,2&0,3&0,5\\ 0,3&0,4&0,3 \\ \end{array}}\right]. \end{displaymath}$

Вектор начальных вероятностей $\vec {a}(0,1;0,2;0,7).$ Найти вероятность того, что через два шага система будет находиться в состоянии .

105. Частица находится в одном их трех состояний , , , которые выбираются в начальный момент с вероятностями 1/2, 1/3, 1/6 соответственно. Под воздействием случайных толчков система переходит в другое состояние с вероятностью 1/4 и остается на месте с вероятностью 1/2. Найти вероятность того, что через два толчка система будет находиться в состоянии .

106. Вероятности перехода за один шаг в цепи Маркова задаются матрицей

$\begin{displaymath} \left[\matrix{ 0&2/5&3/5&0\cr 1/4&3/4&0&0\cr 0&2/3&0&1/3\cr 0&1/2&0&1/2\cr} \right]. \end{displaymath}$

Найти число состояний и определить среди них существенные и несущественные. Построить граф, соответствующий матрице P.

II 107. Бросаем игральную кость и условимся, что в момент система находится в состоянии E, если - наибольшее из чисел, выпавших в первых бросаниях. Найти матрицу перехода P и ей соответствующий граф.

108. Рассмотрим последовательность испытаний Бернулли и определим, что в момент времени наблюдается состояние , если испытания с номерами привели к результату YY. Аналогично , , означают переходы YH, HY, HH. Найти матрицу перехода P и все ее степени.

III 109. Доказать, что для однородной цепи Маркова с матрицей вероятностей перехода P = (p имеют место следующие соотношения:

а) ${ij}^{(n)} = \sum\limits_{m = 1}^k {p_{im} \cdot p_{mj}^{(n - 1)} (n = 2,3,...);} $$

б) P $^{(n)}$ = P $^{n}$ .

110. В двух отделениях ящика находятся четыре шара. Каждую минуту случайным образом выбирается отделение и из него перекладывается в другое отделение один шар. В качестве состояний марковской цепи рассматривается число шаров в первом отделении. Найти матрицу перехода из состояния в состояние за один шаг.

Из множества видов исследованных ныне случайных процессов важное место занимают марковские процессы, которые характеризуются свойством отсутствия последействия. Это свойство проявляется в том, что для предсказания вероятностного характера в будущем достаточно знать состояние процесса в настоящий момент независимо от того, когда и как процесс перевел в это (настоящее) состояние.

Различают марковские процессы с дискретным и непрерывным временем. Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные дискретные моменты времени, а в цепи Маркова с непрерывным временем изменения состояний могут происходить в любые случайные моменты.

Рассмотрим систему, состоящую из трех измерительных комплектов (Ж), контролирующих параметры технологического процесса. Результаты измерений подаются в центральный управляющий вычислительный комплекс АСУ через фиксированные интервалы времени Т. В момент передачи измерительных сигналов система может находиться в различных состояниях, характеризующихся количеством неисправных ИК (рис. 2. 15). Состояние Е₀ соответствует исправному состоянию всех трех ПК. За время Т система может остаться в этом состоянии с вероятностью P₀₀ или же
перейти в другие состояния Е_i, (i =1, 2, 3), при которых неисправны i измерительных комплектов с соответствующими вероятностями Р_0i. При нахождении системы в состоянии е_i она может перейти в другое состояние с вероятностью P_ij или остаться в прежнем состоянии с вероятностью P_ij.

Система считается работоспособной, если исправны не менее двух приборов. В этом случае из трех потоков сигналов методом выбора по большинству выбираются идентичные сигналы, которые принимаются за истинные. При наличии хотя бы двух исправных ПК измерительные сигналы с их выходов будут идентичными. Сигналы третьего ИК при этом в расчет приниматься не будут. Такая система является реализацией так называемого метода мажоритарного резервирования, применяемого для повышения надежности работы системы. Очевидно, состояния Е₀, Е₁ будут соответствовать случаю, когда система работоспособна, а состояния Е₂, Е₃— случаю отказа системы.

Описанный процесс является марковским с дискретным временем переходов из одного состояния в другое. Следует иметь в виду относительную условность такого рассмотрения. Отказы в отдельных ИК могут наступать в любые случайные непрерывные моменты времени. Если эту систему рассматривать с точки зрения организации ремонтных работ, то она должна рассматриваться как цепь Маркова с непрерывным временем, когда сразу же после возникновения неисправности необходимо приступать к восстановлению отказавшего комплекта. В рассматриваемом же случае нас интересуют лишь состояния системы в фиксированные моменты времени, когда надо передавать результаты измерений. Промежуточные состояния и переходы системы внутри интервала t_i t_i + 1 (t_i + 1– t_i= Т), нас не интересуют. С этой точки зрения рассматриваемая система относится к цепи Маркова с дискретным временем. Таким образом, рассматривае

мая система, в зависимости от методов ее анализа, может рассматриваться как цепь Маркова с непрерывным или дискретным временем.

Для определения марковской цепи необходимо знать совокупность начальных состояний Р_i, соответствующих нахождению системы в начальный момент времени в состоянии Е_i. Кроме того, для установления зависимостей, связывающих каждую пару состояний (Е_i , Е_j), составляется матрица вероятностей переходов:

P =	Р₁₁	Р₁₂	...	Р_1n
	Р₂₁	Р₂₂	...	Р_2n
	...	...	...	...	,
	Р_n1	Р_n2	...	Р_nn

где

для каждого фиксированного значения I, так как каждая строка матрицы состоит из вероятностей, составляющих полную группу событий переходов из состояния i в любое возможное состояние j, включая j = n.

Данная матрица называется стохастической. Если характеристики установившегося режима не зависят от начальных вероятностей Р_i (0), то такая марковская цепь называется эргодической.

Процесс моделирования рассмотренной цепи Маркова состоит в получении последовательности состояний Е₁, Е₂... Е_n в соответствии с заданной матрицей переходов. Алгоритм моделирования будет основан на определении марковской цепи, а именно на том, что исход каждого последующего перехода зависит только от результата предыдущего. При моделировании необходимо взять (n+1) участков (0, 1). Первый участок разбивается на отрезки в соответствии с вероятностями начальных состояний системы P_i(0),

Остальные участки разбиваются на отрезки в соответствии с переходными вероятностями, соответствующими строкам матрицы P_1i, P_2i , ... , P_ni (рис. 2.16).

При моделировании вначале определяется начальное состояние

системы. Для этого разыгрывается случайное число r , равномерно распределенное на участке (0, 1), Затем, согласно вышеописанной процедуре моделирования дискретной случайной величины, определяется состояние S_k, исходя из условия р_к(0) <� r <� P_k+1(0) для первого участка. Вновь разыгрывается следующее случайное число и сравнивается с вероятностями К, строки матрицы Р_ki. Состояние системы не изменится при условии Р_к,к <� r <� Р_к,к+1или осуществится переход в следующее состояние при условии

p_kj< r < p_{kj + i}.

Дальнейшие шаги моделирования идентичны. При большом числе испытаний N система L_kраз будет находиться в К состоянии. Отношение L_k /N будет соответствовать вероятности К состояния (P(S_k) = L_k /N). Коэффициент готовности системы для рассматриваемого примера будет определяться суммой вероятностей К_r= Р (S₀) + Р ( S₁).

Таким образом, путем статистического моделирования можно определить вероятности отдельных состояний дискретной цепи Маркова, а на основе этих вероятностей — необходимые характеристики системы.

1 Таке нормування необхідне для того, щоб спростити процедуру випробувань. Усі сучасні мови моделювання та програмування загального призначення мають вбудовані засоби генерування рівномірно розподілених незалежних випадкових величин у інтервалі [0, 1].

2 Коефіцієнт варіації С — це відношення стандартного відхилення до математичного сподівання випадкової величини.

Вопросы для самоконтроля

Что такое цепь Маркова?
Какие цепи Маркова называются однородными?
Как задаются однородные цепи Маркова?
Какие матрицы называются стохастическими?
Граф перехода цепи Маркова.
Как находится матрица перехода за шагов?
Какое состояние системы называется существенным?
Вектор начальных вероятностей.

Задачи

I 101. Вероятности перехода задаются матрицей

$\begin{displaymath} {{\bf p}} = \left[ {\begin{array}{ccc} 1 / 2&1 / 3&1/6 \\ 1 / 2&1 / 3&1/6 \\ 1 / 2&1 / 3&1/6 \\ \end{array}} \right]. \end{displaymath}$

Чему равно число состояний? Найти вероятности перехода из одного состояния в другое за два шага.

102. Дана матрица вероятностей перехода

$\begin{displaymath} {{\bf p}} = \left[ {\begin{array}{l} 1 / 3 \\ 1 / 5 \\ ... ... {\begin{array}{l} 2 / 3 \\ 4 / 5 \\ \end{array}} \right] \end{displaymath}$

и вектор начальных вероятностей $\vec {a}\left( {{\displaystyle 3\over\displaystyle 4},{\displaystyle 1\over\displaystyle 4}} \right).$ Найти распределение по состояниям в момент <div type=header> <p class=

1 ... 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Схожі:

Тема: Предмет, структура, завдання й методи досліджень в юридичній психології Юридична психологія, метод спостереження (інтроспекція), метод бесіди, метод експерименту (законодавчий, природний, лабораторний,...	Урок розвитку мовлення в 11 класі Підготовка до написання твору роздуму... Методи: метод випереджального навчання, метод наукового дослідження, метод дискусії, активний метод навчання — робота в малих групах,...
Список абітурієнтів, які подали ОРИГІНАЛИ ДОКУМЕНТІВ на напрям 050502 Сума балів вступних випробувань, творчих конкурсів, та вступних випробувань з фізичної підготовки	«УЗАГАЛЬНЕНИЙ МЕТОД НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ (метод ЕЙТКЕНА)» Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) оцінка параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастиними заліками....
МетодичнІ матеріали до ВСТУПНИХ ВИПРОБУВАНЬ Методичні матеріали до вступних випробувань на навчання для осіб, які здобули освітньо-кваліфікаційний рівень молодшого спеціаліста...	УРОК 58 Тема уроку: Розв'язування логарифмічних рівнянь Мета уроку: формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння різними методами: зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного;...
ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...	ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...
ЗМІСТ Вступ 3 Змістовна програма вступних випробувань 3 Критерії оцінювання 7 Література 9 Вступ Методичні матеріали до вступних випробувань з Історії України на навчання до Дніпропетровського університету імені Альфреда Нобеля...	Тема: Введення в хімію високомолекулярних сполук Опишіть методики визначення молекулярних мас полімерів (кріоскопія, ебуліоскопія, осмометрія, метод кінцевих груп, ультрацентрифугування,...

Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання