Арифметична прогресія ( урок – лекція)
Мета уроку. 1) формувати означення арифметичної прогресії, формувати поняття n- го члена арифметичної прогресії, поняття суми членів скінченої арифметичної прогресії;
2) розвивати вміння аналізувати, систематизувати, вміння застосовувати теоретичні відомості до розв’язання вправ;
3) виховувати інтерес до знань, інтерес до роботи з комп’ютерною технікою.
Обладнання: комп’ютер.
Епіграф уроку: «Те, що я чую, я забуваю.
Те, що я бачу й чую, я трохи пам’ятаю.
Те, що я бачу, чую й обговорюю, я починаю розуміти.
Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю, я набуваю знань
і навичок».
(Китай, Конфуцій)
Хід уроку.
І. Актуалізація опорних знань.
- На минулому уроці ми з вами дали означення послідовності. Створіть, будь ласка, «Асоціативній кущ» на цей термін.
скінченна і нескінченна
зростаюча
і спадна
приклади послідовностей
  
Послідовність
наступний член послідовності
попередній член послідовності
  
формула
n-го члена
Учні називають і записують на дошці всі поняття, які асоціюються у них з терміном «послідовність», а також означають ці поняття.
- Послідовність, про яку ми сьогодні будемо говорити, є особливою послідовністю. Її назва – арифметична прогресія.
(Оголошую тему і мету уроку)
На комп’ютері – перший слайд, на якому яскравий напис: Арифметична прогресія.
На дошці записую план лекції.
План лекції
Означення арифметичної прогресії.
Формула n-го члена прогресії.
Характеристична властивість прогресії.
Сума n перших членів арифметичної прогресії.
Графічне завдання арифметичної прогресії.
ІІ. Лекція по плану.
На другому слайді учні бачать ряд послідовностей. А саме:
а) 2; 5; 8; 11; 14; 17;
б) 105; 90; 75; 60; 45; 60; 45; 30;
в) -3; -6; -9; -12; -15.
- Можна помітити, що в цих послідовностях кожний член, починаючи з другого, можна знайти додаванням до попереднього одного й того самого числа. Такі послідовності називають арифметичними прогресіями.
Учні самостійно формулюють означення арифметичної прогресії.
На третьому слайді на екрані комп’ютера учні бачать це означення і коректують свої формулювання. Учитель вводить поняття різниці арифметичної прогресії.
На четвертому слайді – рекурентна формула:
d – різниця арифметичної прогресії
Запитання учителя: Як знайти d? (учні дають відповіді)
(звідси і назва – різниця арифметичної прогресії)
На екрані комп’ютера задача: випишіть перші п’ять членів арифметичної прогресії (an), якщо:
а) а1 = 10, d = 4;
б) a1 = 1,7; d = - 0,2.
Розв’язання.
а) an + 1 = an + d, б) a2 = 1,7 + (- 0,2) = 1,5
a2 = a1 + d = 10 + 4 = 14 a3 = 1,5 + (- 0,2) = 1,3
a3 = a2 + d = 14 + 4 = 18 a4 = 1,3 + (- 0,2) = 1,1
a4 = a3 + d = 18 + 4 = 22 a5 = 1,1 + (- 0,2) = 0,9
a5 = a4 + d = 22 + 4 = 26
Відповідь. 10, 14, 18, 22, 26. Відповідь. 1,7; 1,5; 1,3; 1,1; 0,9.
Які з цих послідовностей є зростаючими (спадними)?
Від чого це залежить?
Спробуйте в кожному з розв’язаних прикладів знайти a10 ; a100 . Для цього вам доведеться обчислити всі попередні елементи. Тому, крім рекурентної формули, що задає прогресії, потрібно знайти ще й формулу n-го члена, яка дає змогу за номером елемента обчислити його.
Вчитель виводить формулу.
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = a1 + 4d
an = a1 + (n – 1) d
Формулу можна бачити також на наступному слайді.
Усна вправа: Виразіть користуючись цією формулою a7 , a25 , a231 , ak , ak+5 , а2k .
Умову наступної вправи учні записують з монітора комп’ютера:
a1 = -3; d = 0,7. Знайдіть: a11.
Розв’язання.
a11 = а1 + 10 d = - 3 + 10 · 0,7 = 4.
Відповідь. a11 = 4.
Історична довідка (готують учні).
У перекладі з латинської слово прогресія означає рух уперед. Прогресії відомі здавна, а тому не можна сказати, хто їх відкрив. Адже і натуральний ряд 1, 2, 3, 4, …. – це арифметична прогресія, в якої a1 = 1, d = 1.
Під час розкопок у Єгипті було знайдено папірус, що датується 2000 р. до н.е. Учені розшифрували текст папірусу і прочитали кілька задач. Зміст деяких з них дає можливість віднести їх до задач на прогресії.
Задачі на прогресії зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток права – «Руській правді», укладеній ще за київського князя Ярослава Мудрого (ХІ ст.).
Значна кількість задач на прогресії є в «Арифметиці» Л.Магницького (1703р.), що була основним математичним підручником у Росії протягом майже півстоліття. Прогресією Л.П.Магницький називає такий числовий ряд, в якому числа збільшуються, або зменшуються по певному закону. «Арифметична прогресія або пропорція, є коли три або багато чисел відрізняються одне від одного на одне число…» .
- А тепер подумаємо, чому прогресію назвали саме арифметичною? Все дуже просто: кожний член арифметичної прогресії дорівнює середньому арифметичному наступного і попереднього членів, тобто:
Формулу можна бачити також на наступному слайді.
- Звідси і назва прогресії. Це і є характеристична властивість арифметичної прогресії.
Задача. Учитель запропонував знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40; думав, що школярі довго додаватимуть сорок чисел. А малий Карл Гаус (згодом відомий німецький математик) завдання виконав за хвилину. Як він міркував? Спробуйте завдання виконати усно.
Послідовність чисел від 1 до 40 становить арифметичну прогресію, у якої a1 = 1, d=1, n=40, n – кількість перших членів арифметичної прогресії. Малий Гаус помітив, що сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів. Справді, якщо  , то
 і т. д.
Виведемо тепер формулу суми перших n членів арифметичної прогресії. Нехай Sn – сума перших n членів арифметичної прогресії a1, a2, a3 …an …
На наступному слайді учням демонструється доведення:
 
Користуючись цією формулою знайти суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 5, 7, 9, ….
а1 = 5
п = 20
S20 - ?
Розв’язання
d = 7 – 5 = 2
a20 = а1 + 19 d = 5 + 19 · 2 = 43
Відповідь. 480.
- Давайте подумаємо, чи існує відповідність між номером члена прогресії та значенням члена цієї прогресії?
- Якою формулою задається така залежність?
- Як в математиці називається така відповідність?
- Яка функція задає арифметичну прогресію?
an = a1 + d (n – 1)
an = y, n = x, x є N
y = a1 + d( x – 1) = a1 + dx – d = dx + ( a1 – d) = kx + b
- Отже, лінійна функція, визначена на множині натуральних чисел, визначає арифметичну прогресію. Побудуємо графік.
a n
 ( an ): 1;3; 5; 7;9;………….
  n
1 2 3 4 5
- Легко помітити, що всі побудовані точки належать прямій.
ІІІ. Підсумок уроку.
ІV. Домашнє завдання. Вивчити § 60. Заповнити таблицю:
-
-
|
a1
|
d
|
n
|
an
|
Sn
|
1
|
1
|
2
|
10
|
|
|
2
|
5
|
|
7
|
29
|
|
3
|
|
-2
|
10
|
-20
|
|
Застосування інтернет-технологій
в школі
В час становлення й розвитку системи національної освіти особливо актуальним є питання вдосконалення форм, методів і технології навчання в навчальних закладах різних типів.
Чи готуємо ми своїх учнів до життя в ХХІ столітті? Прискорення науково-технічного прогресу поставило перед сучасною психолого-педагогічною наукою важливе завдання – виховати та підготувати молодь, спроможну активно включатися в якісно новий етап розвитку сучасного суспільства, який пов’язаний з інформатизацією. Інформаційно-комунікаційні технології є потужним засобом інтелектуальної діяльності людини. У сучасних умовах задовольнити вимоги до системи освіти традиційними методами не вдається, тому спроби створення нових, більш досконалих й ефективних засобів навчання є комп’ютерні технології навчання. Що ж нового приносить у навчальний процес комп’ютер?
Назвемо можливості інформаційних технологій:
урізноманітнення форм подання інформації (демонстрація нових понять, фактів, тощо);
створення навчальних середовищ, які забезпечують «занурення» учня в уявний світ, у певні ситуації;
урізноманітнення типів навчальних завдань (контроль якості знань і навичок, різноманітні тренінги);
забезпечення миттєвого зворотного зв’язку, широкі можливості діалогізації навчального процесу;
широка індивідуалізація процесу навчання, розширення поля самостійності;
широке застосування ігрових прийомів;
широкі можливості відтворення фрагмента навчальної діяльності (відпрацювання алгоритмів розв’язання різних задач);
активізація навчальної роботи учнів, посилення їх ролі як суб’єкта учбової діяльності, посилення мотивації навчання.
Залучення комп’ютерних технологій на різних етапах навчання допомагає реалізувати основний принцип особистісно-орієнтованого підходу в освіті – принцип діяльності. Комплексне використання різних засобів навчання сприяє створенню сприятливого пізнавального середовища. Поєднання традиційних форм і видів роботи на уроці з комп’ютерною підтримкою дає можливість максимально диференціювати та індивідуалізувати навчання, зробити процес навчання творчим, дослідницьким. Застосування інформаційних технологій дає змогу скоротити час на вивчення теми, підвищити рівень сприйняття і розуміння учнями матеріалу. Позитивний результат гарантовано, оскільки молодь до комп’ютерів ставиться дуже доброзичливо, вона їх любить, їм довіряє, навіть їх обожнює. І треба розумно використати це ставлення школярів до комп’ютера під час планування навчального процесу. У діючій програмі з математики рекомендовано використання персонального комп’ютера як контролюючої машини, навчального тренажера, моделюючого стенда, інформаційно-довідникової системи, ігрового навчального середовища, електронного конструктора, експертної системи.
Використання комп’ютера під час вивчення математики дає наочні уявлення про досліджувані поняття, закономірності, функції, геометричні фігури, що сприяє розвитку образного мислення учнів.
Метод проектів
та комп’ютерні технології
Сьогодні в умовах гуманізації навчання особистісно-орієнтований підхід до навчання та виховання трансформується у компетентісний підхід. Але, у центрі уваги, як завжди, залишається особистість учня.
Одним з кращих прикладів формування та розвитку життєвих компетенцій учнів є проектна методика, у якій використовуються принципи рефлексації, партнерство, неординарність, креативність.Слово «проект» у перекладі з латинської мови означає «кинутий вперед – задум, план тощо».
Проект – сукупність дій, документів, тестів, призначених для створення реального об’єкта, предмета або теоретичного продукту. В основі методу проектів лежить розвиток в учнів пізнавальних навичок, уміння самостійно конструювати свої знання та орієнтуватися в інформаційному просторі, розвиток критичного мислення, формування навичок мислення високого рівня. Метод проектів завжди орієнтований на самостійну діяльність учнів – індивідуальну, парну, групову, - яку вони здійснюють упродовж певного часу. Метод проектів припускає можливість вирішення деякої проблеми; у ньому передбачається, з одного боку, необхідність використання різноманітних методів, засобів навчання, а з іншого – інтегрування знань, умінь з різних галузей науки і мистецтва. Результати виконаних проектів повинні бути «відчутними», тобто, якщо це теоретична проблема, то має пропонуватися конкретне її розв’язання, а якщо практична – конкретний результат, готовий до впровадження.
Метод проектів передбачає певну сукупність навчально-пізнавальних прийомів, що дозволяють вирішити ту чи іншу проблему шляхом самостійних дій учнів з обов’язковою презентацією отриманих результатів. З іншого боку, ця технологія включає в себе сукупність дослідницьких, пошукових, проблемних методів, творчих за своєю суттю.
Основні вимоги до використання методу проектів:
Наявність значущої в дослідницькому або творчому плані проблеми чи задачі, для розв’язання якої потрібні інтегровані знання та дослідницький пошук.
Практична, теоретична, пізнавальна значущість передбачуваних результатів.
Самостійна (індивідуальна, парна, групова) діяльність учнів.
Визначення кінцевої мети проектів (спільних, індивідуальних).
Визначення базових знань з різних галузей, необхідних для роботи над проектом.
Структурування змістової частини проекту (з вказуванням поетапних результатів).
Використання дослідницьких методів: визначення проблеми, дослідницьких задач, які випливають із проблеми, висунення гіпотез щодо їх розв’язування, обговорення методів дослідження, оформлення кінцевих результатів, аналіз отриманих даних, підведення підсумків, корегування, висновки.
Результати виконаних проектів мають бути оформленні (відеофільм, альбом, комп’ютерна газета, veb-сторінка, альманах тощо).
Для ефективної реалізації проекту вчителю необхідно створити та підібрати інформаційні, методичні та дидактичні матеріали, сукупність яких називається портфоліо навчального проекту. Структура портфоліо складається з плану проекту, прикладів учнівських робіт (мультимедійних презентацій, публікацій, veb-сайтів), дидактичних матеріалів для учнів та форм оцінювання їхньої діяльності, методичних матеріалів для вчителя та допоміжних матеріалів. Комп’ютерні технології дозволяють створювати електронні портфоліо. Комп’ютерні програми дозволяють швидко створювати, редагувати, видаляти, доповнювати, компактно зберігати документи, здійснювати їх швидкий пошук та у відповідній формі презентувати їх вміст.
Як учасник програми intel «Навчання для майбутнього» я опинилась у вирі новаторських ідей. Закінчивши навчання, я озброїлась досвідом роботи з комп’ютерними технологіями і створила своє портфоліо навчального проекту «Математика у нашому житті». До вашої уваги я пропоную деякі матеріали цього проекту.       
|