IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Перший тур Умови задач


НазваIX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Перший тур Умови задач
Сторінка1/3
Дата14.05.2013
Розмір0.49 Mb.
ТипДокументи
bibl.com.ua > Астрономія > Документи
  1   2   3
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової
Перший тур
Умови задач
Молодша ліга. Група «А»
1. Знайдіть найменше число x, яке задовольняє нерівність . Тут — ціла частина числа x, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує x, а — дробова частина числа x.

2. Набір із n попарно різних натуральних чисел (де ) назвемо актуальним, якщо сума чисел набору, поділена на n, дорівнює 2012. При цьому порядок чисел ролі не грає і, наприклад, дві четвірки чисел {2010, 2011, 2013, 2014} та {2013, 2011, 2014, 2010} утворюють один і той самий актуальний набір чисел. Доведіть, що загальна кількість актуальних наборів скінченна й непарна.

3. Андрій, Богдан та Олеся якось сказали таке:

  • Андрій: «Я живу більш ніж удвічі далі від Богдана, ніж від Олесі».

  • Богдан: «Я живу більш ніж удвічі далі від Олесі, ніж від Андрія».

  • Олеся: «Я живу більш ніж удвічі далі від Богдана, ніж від Андрія».

Хто з друзів міг сказати правду, якщо відомо, що чесними були принаймні двоє?

4. В опуклому чотирикутнику ABCD кути A та C рівні, а бісектриса кута B перетинає пряму AD в точці P. Пряма, що перпендикулярна до BP та проходить через точку A, перетинає пряму BC в точці Q. Доведіть, що (якщо прямі збігаються, ми також уважаємо їх паралельними).

5. Назвімо n-цифрове натуральне число всебічно розвиненим, якщо до нього можна дописати справа три різні цифри так, щоб усі три утворених -цифрових числа були простими. Якого найменшого натурального значення може набути різниця двох усебічно розвинених чисел?

6. Натуральні числа a, b, c, d задовольняють рівність . Доведіть, що число складене.

7. Двоє гравців грають на нескінченному в усі боки аркуші в клітинку. Вони ходять послідовно: перший гравець у вузлі сітки (тобто в місці перетину її ліній) ставить червону точку, а другий гравець — чорну. Ставити точку можна у довільний вузол, де ще не стоїть точка жодного з гравців. Перший гравець переможе, якщо після 2012 його ходів деякі чотири точки червоного кольору будуть утворювати вершини квадрата зі сторонами, що паралельні лініям сітки. Якщо після 2012-го ходу першого гравця на аркуші не буде таких чотирьох червоних точок, виграє другий гравець. Котрий із гравців зможе забезпечити собі перемогу у цій грі?

8. Кісточка доміно — це два суміжних квадрати, на яких записано цифри від 0 до 6. У наборі доміно 28 кісточок: 0|0, 0|1, 0|2, …, 0|6, 1|1, 1|2, …, 1|6, …, 6|6. Чи можна з деяких восьми із цих кісточок скласти магічний квадрат за умови, що кісточки можна крутити й перегортати на 180°? Якщо скласти магічний квадрат можливо, то якому найменшому числу може дорівнювати сума всіх 16 цифр, записаних у квадраті?

Магічним квадратом називається квадратна табличка, що має таку властивість: суми чисел у кожному її рядку, стовпчику і на двох діагоналях однакові.
Молодша ліга. Група «Б»
1. Задача  1 групи «А» молодшої ліги.

2. Задача  2 групи «А» молодшої ліги.

3. Задача  3 групи «А» молодшої ліги.

4. Задача  4 групи «А» молодшої ліги.

5. Задача  5 групи «А» молодшої ліги.

6. Знайдіть найменше натуральне число , що задовольняє такі умови: , , , і .

7. Десять монет трьох типів розклали так, як показано на рис. 1. Вартість монети кожного з трьох типів — ціле число копійок, причому монети одного типу мають однакову вартість. Про розкладені монети відомо таке:

  • Якщо дві монети лежать поруч, вони мають різний тип.

  • Загальна вартість монет, що лежать у кожному з чотирьох горизонтальних рядів, ділиться на 3.

Доведіть, що загальна вартість монет кожного з трьох типів ділиться на 3.

8. Задача  8 групи «А» молодшої ліги.
Молодша ліга. Сьомі класи
1. Розставте між числами знаки « » та « », щоб наведений вираз набув найменшого можливого значення:

.

2. Доведіть, що з довільних 8 попарно різних натуральних чисел, менших за 16, можна утворити три пари такі, що різниця чисел кожної пари буде однаковою. При цьому одне й те саме число може потрапити у дві або й в усі три вибрані пари.

3. Задача  3 групи «А» молодшої ліги.

4. Задача  4 групи «А» молодшої ліги.

5. Задача  5 групи «А» молодшої ліги.

6. Задача  6 групи «Б» молодшої ліги.

7. Задача  7 групи «Б» молодшої ліги.

8. Задача  8 групи «А» молодшої ліги.
Середня ліга. Група «А»
1. Додатні числа x, y та z задовольняють умову . Доведіть, що

.

2. Усі коефіцієнти многочлена p(x) раціональні. Доведіть, що існує натуральне число n таке, що всі коефіцієнти многочлена цілі.

3. У вписаному чотирикутнику ABCD діагональ AC є бісектрисою . На промені AD за точкою D вибрано точку E. Доведіть, що .

4. Задано трикутник ABC із . Побудували два кола: перше з центром у вершині A, яке дотикається до прямої BC, а друге з центром у вершині C трикутника, яке дотикається до сторони AB. Кола перетинаються в точках M та N. Доведіть, що точки M, N та B лежать на одній прямій тоді й лише тоді, коли .

5. Знайдіть усі натуральні числа m, n та прості числа p, для яких значення виразу є точним квадратом.

6. Задача  6 групи «А» молодшої ліги.

7. Послідовність з n натуральних чисел , , …, , , задовольняє умови: , , і — парне число. Доведіть, що існує такий набір чисел , , …, , кожне з яких дорівнює 1 або , що справджується рівність .

8. На площині позначили n точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, та кожні дві сполучили відрізком червоного, зеленого чи синього кольору. Виявилося, що сторони кожного трикутника з вершинами у відмічених точках пофарбовані рівно у два різні кольори. Доведіть, що .
Середня ліга. Група «Б»
1. Додатні числа x, y та z задовольняють умову . Доведіть нерівність

.

2. Задача  2 групи «А» середньої ліги.

3. Задача  3 групи «А» середньої ліги.

4. Задача  4 групи «А» середньої ліги.

5. Задача  5 групи «А» молодшої ліги.

6. Доведіть, що для кожного натурального n, яке закінчується цифрою 5, значення виразу націло ділиться на 539.

7. Задача  7 групи «Б» молодшої ліги.

8. Кожну клітинку квадрата пофарбували в білий або в чорний колір таким чином, що жодну з фігур, зображених на рис. 2, не пофарбовано в один колір. Доведіть, що з чотирьох кутових клітин довільного квадрата дві є чорними, а дві інші — білими.
Старша ліга. Група «А»
1. Для додатних чисел a, b, c, d, які задовольняють умову , доведіть нерівність

.

2. Для кожного непарного знайдіть кількість коренів многочлена

.

3. У рівнобедреному трикутнику ортоцентр лежить на вписаному колі, радіус якого дорівнює . Знайдіть сторони трикутника.

4. До кіл радіусів 1500 і 9 провели спільну зовнішню дотичну, і виявилось, що відстань між точками дотику дорівнює 2012. Яку найменшу довжину може мати ламана, кінці якої лежать на колах і яка перетинає проведену дотичну пряму?

5. Задача  5 групи «А» середньої ліги.

6. Відомо, що многочлен P(x) з цілими коефіцієнтами набуває значення 1 при чотирьох різних цілих значеннях аргументу x. Доведіть, що при жодному цілому значенні аргументу цей многочлен не дорівнює 2012.

7. Задача  7 групи «А» середньої ліги.

8. Задача  8 групи «А» середньої ліги.
Старша ліга. Група «Б»
1. Задача  1 групи «А» середньої ліги.

2. Задача  2 групи «А» старшої ліги.

3. Задача  3 групи «А» старшої ліги.

4. Задача  4 групи «А» середньої ліги.

5. Задача  5 групи «А» молодшої ліги.

6. Задача  6 групи «А» старшої ліги.

7. Чи існує замкнена просторова ламана, що має такі властивості:

  • ламана не міститься цілком в одній площині;

  • ламана має рівно 6 ланок;

  • усі ланки ламаної мають однакову довжину;

  • кути між сусідніми ланками ламаної однакові?

8. Задача  8 групи «Б» середньої ліги.
Старша ліга. Група «В»
1. Задача  1 групи «Б» середньої ліги.

2. Задача  2 групи «А» середньої ліги.

3. Задача  3 групи «А» середньої ліги.

4. Задача  4 групи «А» середньої ліги.

5. Задача  5 групи «А» молодшої ліги.

6. Задача  6 групи «А» старшої ліги.

7. Задача  7 групи «Б» старшої ліги.

8. Усі точки кола пофарбовані у жовтий та синій кольори таким чином, що кожен вписаний у коло правильний трикутник має дві жовті вершини й одну синю. Доведіть, що існує вписаний у коло квадрат із щонайменше трьома жовтими вершинами.

Відповіді та розв’язання
Молодша ліга. Група «А»
1. Відповідь: 4,75.

Розвязання. З означення цілої та дробової частин числа випливає, що незалежно від значення x справджується нерівність . Якщо , то , тож . Якщо , то , а у тому й лише в тому випадку, коли , тобто коли . Отже, найменшим значенням x, яке задовольняє умову, є число 4,75.
2. Розвязання. Припустімо, деякий актуальний набір містить число A, більше за , а також інші число. Тоді сума S усіх чисел набору буде не меншою за

.

Якщо поділити вираз на n, матимемо . Але цей вираз неодмінно більший за 2012, бо коли , то , а коли , то .

Таким чином, усі актуальні набори складаються зі скінченної кількості чисел від 1 до щонайбільше , а отже їх теж скінченна кількість. Тепер доведемо, що кількість актуальних наборів непарна.

Неважко помітити, що коли актуальний набір із n чисел , , …, не містить числа 2012, то й набір із числа , , …, , 2012 також буде актуальним: якщо , то . І навпаки, якщо набір із числа , , …, , 2012 є актуальним і , то набір із n чисел , , …, також, очевидно, буде актуальним. Це означає, що всі актуальні набори за винятком набору, який складається з єдиного числа 2012, можна розбити на пари, такі що в кожній парі один із наборів збігається з іншим, коли до того приєднати число 2012. Якщо пар k, то загальна кількість актуальних наборів дорівнює , тобто є непарним числом.
3. Відповідь: правду сказали Андрій та Олеся.

Розвязання. Позначивши через A, B та O точки, в яких розташовуються оселі відповідно Андрія, Богдана та Олесі, запишімо висловлювання друзів таким чином:

  • Андрій: .

  • Богдан: .

  • Олеся: .

Якщо справедливими є останні два твердження, то, додавши їх, отримаємо , або , що суперечить нерівності трикутника для точок A, B, O (рис. 3). А якщо справджуються перше та друге твердження, то , що знову дає суперечність.

З іншого боку, перше й третє твердження справді можуть виконуватися водночас, якщо, наприклад, Андрій та Олеся живуть поруч, а Богдан мешкає дуже далеко від них (як показано на рис. 3).
  1   2   3

Схожі:

IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової...
Ч), зеленим (З), жовтим (Ж) чи синім (С). При цьому дві області, що мають спільний відрізок межі, не можна фарбувати в один і той...
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель
...
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель
Андрій, Богдан та Леся обрали один із трьох видів спорту, причому всі троє вибрали різні види. Відомо таке
Гра проводиться в чотири тури. Тур перший бліц-турнір. Кожній команді...
Час на роздуми – 30 секунд. І останній четвертий тур найбільш видовищний: команди одна одній задають два питання в театралізованій...
Урок №7 Тема. Розв'язування задач
Мета: доповнити знання учнів поняттями: «достатня та необхідна умови», «критерій»; відпрацювати вміння відрізняти необхідні та дос­татні...
13. Інструментальні програмні засоби для розвязування прикладних математичних задач
ППЗ(прикладне програмне забезпечення)-прог-рамний засіб, у якому відбивається деяка пред-метна галузь, тією чи іншою мірою реалізується...
І тур. Бліц-турнір Тема. Моя держава — Україна Мета
Мета: ознайомити учнів із історико-географічними даними України, розвивати інтелектуальні здібності учнів, формувати національну...
ІІ тур. Бліц-турнір Тема. Державні символи України Мета
Мета: ознайомити учнів із державними символами України — прапором, гербом, гімном, історією їх походження, народнопоетичними символами,...
МЕТОДИКА РЕАЛІЗАЦІЇ ДИДАКТИЧНОГО ПРИНЦИПУ СВІДОМОСТІ І ТВОРЧОЇ АКТИВНОСТІ...

Тема. Творчість Лесі Українки Мета
Мета. Розширювати знання дітей про життєвий і творчий шлях Лесі Українки. Формувати вміння аналізувати віршовані твори, удосконалювати...
Додайте кнопку на своєму сайті:
Портал навчання


При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
Головна сторінка