|
|
Скачати 0.52 Mb.
|
|
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель Молодша ліга. Вихідний рубіж 1. (001) Відповідь: Андрій — стрибками в воду, Богдан — плаванням, а Леся — водним поло. Розв’язання. Якщо Андрій вибирає водне поло, то Богдан — стрибки у воду (з умови 1), але тоді і Леся — водне поло (умова 3), суперечність. Якщо Андрій вибрав плавання, то Леся — стрибки у воду (умова 2), тоді Богдану залишається водне поло, але це суперечить умові 3. Залишається єдиний варіант, що не призводить до суперечності: Андрій займається стрибками у воду. Якщо тепер Богдан вибрав водне поло, то й Леся мала вибрати водне поло (умова 3), суперечність. Таким чином, Богдан обрав плавання, а Леся — водне поло. 2. (002) Відповідь: 11. Розв’язання. Останні дві цифри (тобто остача від ділення на 100) добутку довільного набору натуральних чисел визначаються останніми двома цифрами кожного з множників. Випишімо останні дві цифри кількох перших степенів числа 2011: щоб знайти наступні дві цифри, достатньо попередні дві помножити на 11. , , , , , , , , , , , ... Легко зрозуміти, що наступні пари цифр повторюються з кроком 10. Оскільки , останніми двома цифрами числа будуть 11. 3. (003) Відповідь: . Розв’язання. Кількість риб, спійманих першим рибаком, повинна ділитися на 9, а другим — на 17. Тоді для деяких натуральних m та n має справджуватися рівність . Легко пересвідчитися, що єдиним розв’язком цього рівняння будуть та : . Таким чином, перший рибак спіймав 36 риб, а другий — 34. Тоді, з умови, обидва спіймали по 20 карасів та по 14 окунів. Отже, перший рибак спіймав двох щук (а другий — жодної). 4. (004) Відповідь: або Розв’язання. Якщо помножити обидві частини заданої в умові рівності на , дістанемо: . Тому умова рівносильна рівності , тобто справджується тоді й лише тоді, коли трикутник рівнобедрений. Отже, його кути можуть бути такими:
5. (005) Відповідь: 5. Розв’язання. Загалом було розіграно очок. У кожному виді розігрувалося по очок, тому число є дільником 35. До того ж могло розігруватися щонайменше очок, тому або , або . Перший варіант дає один вид спорту, що суперечить умові, а другий — 5 видів, причому відповідні a, b та c і розподіл результатів дібрати можна ( ; Олеся могла чотири рази посісти перше місце і один раз друге, Андрій — чотири рази друге і один раз третє, Богдан — чотири рази третє місце і один раз перше). 6. (006) Відповідь: 3. Розв’язання. Уведімо позначення: , . Якщо позначити найбільший спільний дільник чисел x та y через , можемо записати таку рівність: . Оскільки і (бо будь-який степінь четвірки дає остачу 1 від ділення на 3), число 3 і є відповіддю. 7. (007) Відповідь: 2. Розв’язання. Зробимо такі перетворення: Таким чином, шукане значення дробу дорівнює 2. (Зауважимо також, що рівняння , як многочлен непарного степеня, має хоча б один дійсний корінь, тобто умова задачі несуперечлива.) 8. (008) Відповідь: приміром, трикутники з кутами та (рис. 1). Розв’язання. Те, що умову задовольняє правильний трикутник — очевидно. Для трикутника ABC з кутами (рис. 1) позначимо через M середину гіпотенузи AB, а через K — точку на катеті BC, для якої . Тоді рівність випливає з рівностей сторін і (бо KM — висота і медіана трикутника AKB). Тоді, зокрема, , звідси ; оскільки , справджується також рівність ці трикутники мають рівні кути і спільну сторону AK. 9. (009) Відповідь: наприклад, ; можливі й інші варіанти. 10. (010) Відповідь: 0, 7 та 9. Розв’язання. Якщо серед вибраних цифр немає цифри 0, то трицифрових чисел, які виписав Петрик, рівно 6. Усі дають однакову остачу від ділення на 3, тому сума всіх шести має ділитися на 3. Тоді, оскільки число 3376 не ділиться на 3, одна з обраних цифр таки 0. Позначмо дві інші як a і b. Тоді виписаних трицифрових чисел чотири: . Їхня сума має дорівнювати 3376, звідки . Позаяк цифри різні, вони мають дорівнювати 7 та 9. 11. (011) Відповідь: 27 годинників вартістю 15 гривень кожен. Розв’язання. Нехай у торговця є n годинників із собівартістю x кожен. З умови задачі маємо рівності: Звідси, додавши два рівняння, знаходимо, що та . 12. (012) Відповідь: квадрат зі стороною 3. Розв’язання. Описаний процес аналогічний алгоритму пошуку найбільшого спільного дільника двох чисел — сторін початкового прямокутника. Тож наприкінці залишиться квадрат, сторона якого дорівнює найбільшому спільному дільнику чисел 324 і 141, тобто 3. Легко зрозуміти, що і квадрат, відрізаний на попередньому кроці — останній відрізаний квадрат — матиме такий самий розмір. 13. (013) Відповідь: . Розв’язання. Набір чисел 48, 49 та 50 задовольняє умову: 48 ділиться на , 49 — на , 50 — на . Менших чисел із описаною властивістю нема. Щоби це показати, наведемо ряд чисел, які не діляться на жоден точний квадрат, більший від одиниці, і кожні два послідовні числа якого відрізняються не більше ніж на 3: 3, 6, 7, 10, 13, 15, 17, 19, 22, 23, 26, 29, 31, 34, 37, 39, 42, 43, 46, 47. 14. (014) Відповідь: . Розв’язання. Зробімо таке перетворення: Оскільки перший доданок завжди ділиться на , для виконання умови задачі необхідно і достатньо, щоб на ділилося число 29. Оскільки , а 29 — просте число, маємо, що , тобто . 15. (015) Відповідь: наприклад, Розв’язання. Будемо шукати дроби у формі . Сума дробів, обернених до них, складає . Числа a, b та c можна взяти такими, щоби сума дорівнювала одиниці: потрібними значеннями є 2, 3 та 6. Тоді довільне , яке не ділиться ні на 2, ні на 3, дасть шукану відповідь. 16. (016) Відповідь: . Розв’язання. Якщо позначити кути трикутника через x (шуканий кут), y та z, матимемо таку рівність: . Звідси , і 17. (017) Відповідь: усі четверо. Розв’язання. Хай ким є Дмитро, із тверджень 3 та 4 випливає, що Антон — злочинець. Тоді з першого твердження Борис — співучасник. Далі, з другого твердження (оскільки Антон — злочинець) Сергій — також злочинець. Тоді з третього твердження випливає, що Дмитро не може бути невинним, бо Сергій винен. Тому і Дмитро брав участь у злочині. 18. (018) Відповідь: динозавр. Розв’язання. Всі динозаври та принцеси загинути не могли, бо якщо динозаври з’їли всіх принцес, а їх була непарна кількість, то хтось із динозаврів мав з’їсти непарну кількість принцес, а тому його самого вбити не могли. З аналогічних міркувань не могли бути знищеними всі лицарі та динозаври. Тому міг залишитися лише динозавр. І таке справді можливо: приміром, один із лицарів міг убити 100 динозаврів, по тому котрась із принцес довела до смерті всіх 100 лицарів, а далі єдиний живий динозавр з’їв усіх принцес. 19. (019) Відповідь: 8. Розв’язання. Найлегший камінь важить , і сума восьми найлегших каменів складає . Звідси випливає, що більше ніж 7 каменів покласти в одну машину не можна. Таким чином, вантажівок потрібно щонайменше 8. Але восьми машин цілком вистачить, якщо покласти у дві перші вантажівки 14 найлегших каменів, — по 7 у кожну, — а в решту вантажівок покласти по 6 каменів. 20. (020) Відповідь: . Розв’язання. Позначмо кути трикутника через x, 2x та 4x. Тоді , і . Зовнішні кути трикутника, отже, складають , і , а тому шукане відношення — . Молодша ліга. Заліковий рубіж 1. (021) Відповідь: 84. Розв’язання. Між 6 червоними камінцями є 5 проміжків, у кожному з яких мусить лежати хоча б один синій камінець. Тож покладімо 6 червоних камінців, а також 5 синіх камінців між ними. Тепер кількість варіантів визначається тим, скільки є способів докласти до цих камінців 3 сині камінці, що залишилися. Для синіх камінців є 7 місць, куди їх можна покласти: 5 проміжків між червоними камінцями, а також місця ліворуч та праворуч від усіх інших камінців. Можливі три типи розташування:
Загальна кількість способів розкласти камінці — 2. (022) Відповідь: 2011. Розв’язання. Оскільки , а 2011 — просте число, множниками могли бути або числа 2011, 2 та певна кількість одиниць, або саме число 4022 і певна кількість одиниць. Другий варіант неможливий, адже тоді сума множників перевищувала би 4022. Тоді число 4022 могли подати лише як . Як видно, в цій сумі рівно 2011 доданків. 3. (023) Відповідь: . Розв’язання. . 4. (024) Відповідь: . Розв’язання. Нехай — точка відрізка така, що (рис. 2). Тоді: Отже, , а тому . Рівнобедреним є також і трикутник APB, тому ; . Звідси , , Нарешті, 5. (025) Відповідь: 4; приклад заповнення наведений на рис. 3 (чотири простих числа трапляються в третьому стовпчику). Розв’язання. Розфарбуймо таблицю в шаховому порядку. Якщо розташування чисел у таблиці задовольняє умову, його можна одержати в такий спосіб: у порожню спершу таблицю записати число 1, потім у сусідню клітинку записати 2, поруч записати 3 і т. д. Щоразу колір клітинки, в яку записуємо число, змінюється, а тому всі парні числа будуть у білих клітинках, а всі непарні — в чорних або навпаки. Оскільки довільний стовпчик містить принаймні 2 білих поля та принаймні 2 чорних, у ньому є два різних парних числа. Хоча б одне з них — не двійка, тобто не є простим. Таким чином, максимальна кількість простих чисел у стовпчику не може перевищувати 4. Залишається навести приклад, який потверджує, що 4 простих числа трапитися в стовпчику можуть. 6. (026). Відповідь: 3 та 5. Розв’язання. Уведімо позначення . Якщо деяке число виписане на дошці тричі, на нього діляться або водночас a та c, або водночас b й d. У першому випадку число є також дільником . Але оскільки a та c непарні, саме число обов’язково має бути непарним, тож воно може дорівнювати лише 3 або 1. При цьому одиниця, очевидно, умову не задовольняє, адже є дільником усіх чотирьох чисел. Трійка, з іншого боку, умову задовольняє:
У другому випадку виписане число є дільником Простою перевіркою можна переконатися, що не ділиться ні на 25, ні на 23, ні на 7. Залишається перевірити число 5. Числа b та d справді діляться на 5, оскільки закінчуються цифрами 0 та 5 відповідно. Перевірмо, чи діляться на 5 числа a та c:
Отже, число 5 теж є дільником рівно трьох чисел. |
|
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель Андрій, Богдан та Леся обрали один із трьох видів спорту, причому всі троє вибрали різні види. Відомо таке |
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової... Ч), зеленим (З), жовтим (Ж) чи синім (С). При цьому дві області, що мають спільний відрізок межі, не можна фарбувати в один і той... |
|
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Перший тур Умови задач Знайдіть найменше число x, яке задовольняє нерівність. Тут — ціла частина числа x, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує x,... |
ВОЛИНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ Рецензенти: Гаврилюк С. В., доктор історичних наук, професор, завідувач кафедри документознавства і музейної справи Волинського національного... |
|
ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ІНТЕГРАЦІЇ СТУДЕНТІВ З ОБМЕЖЕНИМИ МОЖЛИВОСТЯМИ... Оксана Бартків – доцент Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки, Оксана Дурманенко– аспірантка Східноєвропейського... |
«Математико-статистичні методи аналізу соціологічної інформації» Застосування математичних методів в соціології. Логічна і математична формалізації |
|
Київський національний університет імені Тараса Шевченка юридичний... Робоча навчальна програма / М.І. Неліп, О. Б. Костенко, Н. А. Вангородська. – Київ нац ун-т імені Тараса Шевченка / юрид ф-т. – К.,... |
О. М. Ніколенко (керівник колективу) С. П. Фоміна, зав навчально-методичного кабінету світової літератури та російської мови Кіровоградського ОІППО імені В. Сухомлинського... |
|
Тема. Творчість Лесі Українки Мета Мета. Розширювати знання дітей про життєвий і творчий шлях Лесі Українки. Формувати вміння аналізувати віршовані твори, удосконалювати... |
I. Актуальність дослідження Кафедра прикладної лінгвістики, Волинський національний університет імені Лесі Українки, Україна, м. Луцьк, пр. Волі, 13, E-mail |