8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель
|
|
Скачати 110 Kb.
|
|
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель Молодша ліга. Вихідний рубіж 1. (001) Андрій, Богдан та Леся обрали один із трьох видів спорту, причому всі троє вибрали різні види. Відомо таке:
Хто яким видом спорту займається? 2. (002) Знайдіть останні дві цифри числа  3. (003) В озері водяться карасі, окуні та щуки. Два рибаки спіймали разом 70 риб, причому  вилову першого рибака склали карасі, а  вилову другого рибака — окуні. Скільки щук спіймав перший рибак, якщо обидва спіймали порівну карасів та обидва спіймали порівну окунів?4. (004) Сторони трикутника  задовольняють умову:  . Знайдіть кути трикутника, якщо відомо, що один із них дорівнює  .5. (005) Андрій, Богдан і Леся цілий день змагалися в різних (щонайменше двох) видах спорту. У кожному з них за перше місце нараховувалося  очок, за друге місце —  очок, а за третє —  очок. При цьому жодне місце ніколи не ділили два або три учасники (тобто в кожному виді спорту хтось завжди посідав перше місце, хтось друге і хтось третє). Відомо, що a, b та c — натуральні і  . Скільки було різних видів спорту, якщо наприкінці дня Олеся набрала 18 очок, Андрій — 9, а Богдан — 8 очок?6. (006) Знайдіть найбільший спільний дільник чисел  та  .7. (007) Відомо, що  . Обчислити значення виразу  .8. (008) Наведіть приклад двох неподібних трикутників, кожен з яких можна розрізати на три рівних трикутники. 9. (009) Запишіть числа 1, 2, ..., 9 одним рядком так, щоб не було 4 послідовних чисел, які йдуть у порядку зростання чи в порядку спадання. 10. (010) Петрик вибрав три різні цифри та виписав усі трицифрові числа, що складаються тільки з вибраних цифр, причому містять кожну по разу. Далі хлопець обчислив суму всіх виписаних чисел, і вона виявилась рівною 3376. Які саме цифри вибрав Петрик? 11. (011) Торговець має на продаж кілька однакових годинників. Якщо він продасть їх по 13 гривень, то матиме 54 гривні збитку, а якщо по 18 гривень, то наживе 81 гривню. Скільки у торговця було годинників і якої собівартості? 12. (012) Від прямокутника  відрізають квадрати завбільшки  доти, доки не залишиться прямокутник, одна зі сторін якого менша за  . Від цього прямокутника знову відрізають квадрати — тепер зі стороною, що дорівнює меншій стороні прямокутника. Коли інша сторона стане меншою від неї, розмір відрізуваного квадрата ще раз змінюється і т. д. Квадрат якого розміру буде відрізаний останнім?13. (013) Знайдіть найменші три послідовних натуральних числа, кожне з яких ділиться на квадрат деякого цілого числа, більшого від одиниці. 14. (014) Знайдіть усі натуральні n, для яких число  ділиться без остачі на  .15. (015) Наведіть приклад трьох правильних нескоротних дробів із додатними знаменниками та різними додатними чисельниками таких, що коли їх «перегорнути» (замінити на обернені), їхня сума стане натуральним числом. 16. (016) Один із кутів трикутника дорівнює половині суми двох інших. Знайдіть величину цього кута. 17. (017) У деякому злочині підозрюють чотирьох людей: Антона, Бориса, Сергія та Дмитра. Достовірними є такі факти:
Хто серед звинувачених насправді брав участь у злочині? 18. (018) На Острів динозаврів, де жив 101 динозавр, заселилися 100 лицарів та 99 принцес. Лицарі вбивають динозаврів, динозаври поїдають принцес, а принцеси доводять до загибелі лицарів. На острові не можна вбивати того, хто сам знищив непарну кількість інших істот — мешканців острова. Зрештою на острові лишилася одна-єдина істота. Хто це міг бути: лицар, принцеса чи динозавр? 19. (019) 50 каменів розташовані в порядку спадання їхньої маси, найбільший важить 468 кг, а кожен наступний на 2 кг легший від сусіднього з ним. Якою мінімальною кількістю вантажівок можна перевезти ці камені, якщо вантажити їх дозволено в довільному порядку, але одна машина не може перевезти більше ніж 3 тони? 20. (020) Внутрішні кути трикутника відносяться один до одного як  . Як відносяться один до одного зовнішні кути цього трикутника?Молодша ліга. Заліковий рубіж 1. (021) Є 6 червоних та 8 синіх камінців. Камінці одного кольору розрізнити не можна. Потрібно розташувати їх усі в одну лінію таким чином, щоб між кожними двома червоними камінцями був принаймні один синій. Скільки є способів це зробити? 2. (022) Число 4022 подали як суму кількох (щонайменше двох) натуральних чисел так, що добуток доданків також склав 4022. Скільки доданків при цьому могло бути? 3. (023) Розв’яжіть рівняння:  .4. (024) У рівнобедреному трикутнику з основою  на бічній стороні  вибрано точку  так, що  . На відрізку  позначено точку  таким чином, що  , причому . Знайдіть величину кута ABC.5. (025) Таблицю  заповнили натуральними числами  таким чином, що кожне число трапляється в таблиці рівно один раз і кожні два послідовні числа містяться у сусідніх (таких, що мають спільну сторону) клітинках. Яка максимальна кількість простих чисел могла опинитися в одному стовпчику таблиці? У відповіді навести приклад заповнення таблиці, для якого таке найбільше значення досягається.6. (026). Учень виписав на дошці спершу всі натуральні дільники числа  , далі всі натуральні дільники числа  , потім натуральні дільники числа  і, нарешті, натуральні дільники числа  . Знайдіть усі числа, які були виписані рівно тричі.7. (027) Подати одиницю як суму  , де  — попарно різні додатні непарні числа.8. (028) Периметр опуклого чотирикутника дорівнює 73,3 см. Знайдіть довжини сторін цього чотирикутника, якщо відомо, що три його сторони мають цілу довжину в сантиметрах та відносяться як  .9. (029) 14 гномів вишикувалися в шеренгу. Кожен має кілька горіхів, причому не менше від 5. Щохвилини один із гномів може передати один свій горіх гномові, що стоїть праворуч, якщо в того горіхів було більше. Через деякий час усі горіхи зібралися в одного гнома. Яка найменша сумарна кількість горіхів могла бути у гномів? 10. (030) Знайдіть усі прості p такі, що число  має рівно 6 дільників.11. (031) Для якого найбільшого значення  будь-який набір дійсних чисел  можна розбити на дві групи так, що середні арифметичні чисел у них відрізнятимуться не менше ніж на ? У групі може бути від одного до десяти чисел.12. (032) Бісектриса при основі рівнобедреного трикутника ділить його на два трикутники, один із яких також рівнобедрений. Знайдіть кут при основі великого трикутника. 13. (033) Скільки існує восьмицифрових чисел, цифри яких ідуть у порядку спадання? 14. (034) Число  ділиться на 37. Знайдіть цифру b.15. (035) Знайдіть усі трійки чисел (не обов’язково різних) такі, що кожне з чисел трійки дорівнює квадрату різниці двох інших чисел. 16. (036) У прямокутному трикутнику кут між висотою та медіаною, що проведені до гіпотенузи, дорівнює  . Знайдіть найменший кут цього трикутника.17. (037) У Кості є кілька паличок, кожна з яких має цілу, але не обов’язково одиничну довжину. Він виклав із паличок квадрат  , розбитий на клітинки  , разом із межею. При цьому палички не перетинаються (але можуть дотикатися) у своїх внутрішніх точках. Яка найменша кількість паличок довжини 1 могла бути серед усіх Костянтинових паличок?18. (038) Знайдіть найменше натуральне число, яке після закреслювання його першої цифри зменшується у 58 разів. 19. (039) Знайдіть найменше п’ятицифрове число, яке націло ділиться на 71 та всі цифри якого різні. 20. (040) На колі вибрали 1000 точок і утворили опуклий багатокутник із вершинами у них. Усередині цього багатокутника обрали ще 500 точок таким чином, що жодні три точки з усього набору з 1500 точок не лежать на одній прямій. Далі багатокутник розрізали на трикутники з вершинами в цих точках, причому кожна з 1500 точок стала вершиною хоча б одного трикутника. Скільки трикутників могло при цьому утворитися? Середня ліга. Вихідний рубіж 1. Задача № 1 (001) молодша ліга вихідний рубіж. 2. (041) Множина A складається з 7 послідовних натуральних чисел, менших від 2011, а множина B складається з 11 послідовних натуральних чисел. Сума чисел множини A та сума чисел множини B збігаються. Яке максимальне число може містити множина A? 3. Задача № 3 (003) молодша ліга вихідний рубіж. 4. (042) На стороні AB заданого гострокутного трикутника ABC вибирають точку M. Із цієї точки опускають перпендикуляри MK та MP на сторони AC та BC. Для якого вибору точки M на стороні AB довжина відрізка PK буде мінімальною? 5. Задача № 5 (005) молодша ліга вихідний рубіж. 6. Задача № 6 (006) молодша ліга вихідний рубіж. 7. Задача № 7 (007) молодша ліга вихідний рубіж. 8. Задача № 8 (008) молодша ліга вихідний рубіж. 9. (043) У Миколи є 21 картка, на чотирьох із них записане число 1, на двох — число 2, на семи картках записане число 3 і ще на восьми — число 4. Із 20 карток Микола склав прямокутник  , суми чисел в усіх стовпчиках якого рівні між собою та суми чисел в усіх рядках якого рівні між собою. Картка із яким числом залишилась невикористаною?10. Задача № 10 (010) молодша ліга вихідний рубіж. 11. (044) Розв’яжіть рівняння:  .12. (045) Визначте величину найменшого кута прямокутного трикутника, в якого квадрат медіани, що проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів. 13. (046) Скільки серед десятицифрових чисел, запис яких містить лише цифри 3 та 5, є таких, у яких жодні дві трійки не стоять поруч? 14. Задача № 14 (014) молодша ліга вихідний рубіж. 15. Задача № 15 (015) молодша ліга вихідний рубіж. 16. (047) У трикутнику ABC з кутами  ,  провели висоту AH. Нехай точка O — центр описаного навколо ABC кола. Знайдіть величину кута OAH.17. Задача № 17 (017) молодша ліга вихідний рубіж. 18. Задача № 18 (018) молодша ліга вихідний рубіж. 19. Задача № 19 (019) молодша ліга вихідний рубіж. 20. (048) Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC; D — середина сторони AB трикутника. Відомо, що  . Знайдіть відношення  .Середня ліга. Заліковий рубіж 1 Задача № 1 (021) молодша ліга заліковий рубіж. 2. (049) Знайдіть усі трійки натуральних чисел  , для яких виконується таке:  3. (050) Послідовність чисел задовольняє умову  . Знайдіть найменше можливе значення виразу: 4. Задача № 4 (024) молодша ліга заліковий рубіж. 5. Задача № 5 (025) молодша ліга заліковий рубіж. 6. Задача № 6 (026) молодша ліга заліковий рубіж. 7. (051) Подати одиницю як суму , де — попарно різні (не обов’язково додатні) непарні числа.8. (052) У рівнобедреному трикутнику ABC з основою BC провели бісектрису BD. Знайдіть кути трикутника, якщо відомо, що  .9. Задача № 9 (029) молодша ліга заліковий рубіж. 10. Задача № 10 (030) молодша ліга заліковий рубіж. 11. Задача № 11 (031) молодша ліга заліковий рубіж. 12. Задача № 12 (032) молодша ліга заліковий рубіж. 13. (053) Скільки є трицифрових чисел, цифри яких ідуть у порядку спадання? 14. Задача № 14 (034) молодша ліга заліковий рубіж. 15. (054) Знайдіть усі набори з 11 чисел (не обов’язково різних) такі, що кожне з чисел дорівнює квадрату суми 10 інших. 16. (055) У прямокутному трикутнику ABC на катеті AC вибрано точку M так, що  . Знаючи, що точка M лежить на серединному перпендикулярі до гіпотенузи AB, знайдіть величину найменшого кута трикутника ABC.17. Задача № 17 (037) молодша ліга заліковий рубіж. 18. (056) Знайдіть найменше натуральне число, яке після закреслювання його першої цифри зменшується у 57 разів. 19. (057) Деяке число x задовольняє рівність:  . Чому може дорівнювати значення виразу  ?20. Задача № 20 (040) молодша ліга заліковий рубіж. Старша ліга. Вихідний рубіж 1. (058) Клітини дошки  пофарбовані в шаховому порядку в чорний та білий кольори. Дозволяється робити таку операцію — взяти довільні дві сусідні клітинки зі спільною стороною та перефарбувати їх за правилом: чорну клітинку перефарбовують у зелений колір, зелену — в білий, а білу — в чорний колір. Таким чином, під час однієї операції свій колір змінюють дві клітинки. За яку найменшу кількість операцій можна перефарбувати всі клітини дошки так, щоб ті, які були білими, стали чорними, а ті, які були чорними, стали білими?2. Задача № 2 (041) середня ліга вихідний рубіж. 3. (059) Від проміжку  числової прямої відрізали зліва  його частину, потім від відрізка, який залишився, справа відітнули частину цього відрізка, від нового залишку ще раз відрізали частину зліва, потім —частину залишку справа і т. д. Вкажіть усі точки числової прямої, які завжди залишатимуться на відрізку.4. Задача № 4 (042) середня ліга вихідний рубіж. 5. Задача № 5 (005) молодша ліга вихідний рубіж. 6. (060) Знайдіть усі пари натуральних чисел (n, k), які задовольняють рівність  .7. (061) Розв’яжіть рівняння:  .8. Задача № 8 (008) молодша ліга вихідний рубіж. 9. Задача № 9 (043) середня ліга вихідний рубіж. 10. Задача № 10 (010) молодша ліга вихідний рубіж. 11. Задача № 11 (044) середня ліга вихідний рубіж. 12. Задача № 12 (045) середня ліга вихідний рубіж. 13. Задача № 13 (046) середня ліга вихідний рубіж. 14. (062) Розв’яжіть у натуральних числах k, m, n рівняння:  .15. Задача № 15 (015) молодша ліга вихідний рубіж. 16. Задача № 16 (047) середня ліга вихідний рубіж. 17. Задача № 17 (017) молодша ліга вихідний рубіж. 18. (063) Розв’яжіть у натуральних числах m та n рівняння:  .19. (064) Функція  , що визначена для цілих невід’ємних n та k та набуває дійсних значень, задовольняє такі умови:
Обчисліть значення виразу  .20. Задача № 20 (048) середня ліга вихідний рубіж. Старша ліга. Заліковий рубіж 1 Задача № 1 (021) молодша ліга заліковий рубіж. 2. (065) Розв’яжіть у цілих числах систему рівнянь:  .3. Задача № 3 (050) середня ліга заліковий рубіж. 4. (066) Тангенси всіх кутів деякого трикутника є натуральними числами. Якими? 5. Задача № 5 (025) молодша ліга заліковий рубіж. 6. Задача № 6 (026) молодша ліга заліковий рубіж. 7. Задача № 7 (051) середня ліга заліковий рубіж. 8. Задача № 8 (052) середня ліга заліковий рубіж. 9. Задача № 9 (029) молодша ліга заліковий рубіж. 10. Задача № 10 (030) молодша ліга заліковий рубіж. 11. Задача № 11 (031) молодша ліга заліковий рубіж. 12. (067) Знайдіть площу трикутника, якщо відомо, що його сторони — три різні корені рівняння  .13. (068) Скільки є п’ятицифрових чисел, цифри яких ідуть у порядку спадання? 14. (069) Число  кратне 37. Знайдіть цифру b.15. Задача № 15 (054) середня ліга заліковий рубіж. 16. (070) Яку найбільшу кількість ребер правильної 2011-кутної піраміди може перетнути площина? Слід уважати, що площина перетинає ребро, якщо вона проходить через якусь його внутрішню точку. 17. Задача № 17 (037) молодша ліга заліковий рубіж. 18. (071) На дошці записане натуральне число. Дмитрик та Сашко грають у таку гру. Дмитрик своїм ходом називає деяке натуральне число x (не обов’язково кожного разу те саме), а Сашко міняє записане на дошці число, на свій розсуд або додаючи, або віднімаючи від нього x. Дмитрик прагне зробити так, щоб на дошці виявився записаним який-небудь степінь натурального числа k (зокрема, можливо, число  ). Для якого найбільшого значення  можна стверджувати, що Дмитрик досягне мети незалежно від того, яке число спершу було записане на дошці? Якщо на дошці із самого початку був записаний степінь числа k, вважаємо, що Дмитрик автоматично досяг бажаного результату.19. (072) Розв’яжіть у цілих числах систему рівнянь:  20. Задача № 20 (040) молодша ліга заліковий рубіж. |
;
, якщо 
.Схожі:
|
8-Й КИЇВСЬКИЙ ТУРНІР МАТЕМАТИЧНИХ БОЇВ ІМЕНІ ЛЕСІ РУБЛЬОВОЇ Математична карусель ... |
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової... Ч), зеленим (З), жовтим (Ж) чи синім (С). При цьому дві області, що мають спільний відрізок межі, не можна фарбувати в один і той... |
|
IX Київський відкритий турнір математичних боїв ім. Лесі Рубльової Перший тур Умови задач Знайдіть найменше число x, яке задовольняє нерівність. Тут — ціла частина числа x, тобто найбільше ціле число, яке не перевищує x,... |
ВОЛИНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ЛЕСІ УКРАЇНКИ Рецензенти: Гаврилюк С. В., доктор історичних наук, професор, завідувач кафедри документознавства і музейної справи Волинського національного... |
|
ТЕОРЕТИЧНІ АСПЕКТИ ІНТЕГРАЦІЇ СТУДЕНТІВ З ОБМЕЖЕНИМИ МОЖЛИВОСТЯМИ... Оксана Бартків – доцент Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки, Оксана Дурманенко– аспірантка Східноєвропейського... |
«Математико-статистичні методи аналізу соціологічної інформації» Застосування математичних методів в соціології. Логічна і математична формалізації |
|
Київський національний університет імені Тараса Шевченка юридичний... Робоча навчальна програма / М.І. Неліп, О. Б. Костенко, Н. А. Вангородська. – Київ нац ун-т імені Тараса Шевченка / юрид ф-т. – К.,... |
О. М. Ніколенко (керівник колективу) С. П. Фоміна, зав навчально-методичного кабінету світової літератури та російської мови Кіровоградського ОІППО імені В. Сухомлинського... |
|
Тема. Творчість Лесі Українки Мета Мета. Розширювати знання дітей про життєвий і творчий шлях Лесі Українки. Формувати вміння аналізувати віршовані твори, удосконалювати... |
I. Актуальність дослідження Кафедра прикладної лінгвістики, Волинський національний університет імені Лесі Українки, Україна, м. Луцьк, пр. Волі, 13, E-mail |
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання © 2013
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua
звернутися до адміністрації
bibl.com.ua